勾股定理教案大全11篇

勾股定理教案篇（1）

1.了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程。

2.掌握直角三角形中三边的关系。

二、数学思考

在勾股定理的探索过程中,发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。

三、解决问题

1．通过探究勾股定理的过程，体验数学思维的严谨性。

2．在探究活动中，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探究的结果。

四、情感态度目标

1．通过对勾股定理历史的了解，激发学生爱国热情，激励学生奋发学习。

2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神。

【重点难点】

重点：探索和证明勾股定理。

难点：用拼图的方法证明勾股定理。

【设计思路】

本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生动手、动脑、动口自主探索，并强调学生之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。

【教学流程安排】

活动一：了解历史，探索勾股定理

活动二：拼图并证明勾股定理

活动三：例题讲解，巩固练习

活动四：反思小结，布置作业

活动内容及目的：①通过了解勾股定理的历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。②观察、分析方格图，得到直角三角形的性质――勾股定理，发展学生分析问题的能力。③通过例题和练习，熟悉和掌握勾股定理。④回顾、反思、交流。布置作业，巩固、发展提高。

【教学过程设计】

【活动一】

(一)问题与情境

1、你听说过“勾股定理”吗？

(1) 我国著名的《周髀算经》中记载有“勾广三，股修四，径隅五”。

(2) 西方国家认为勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，称它为“毕达哥拉斯定理”。

2、相传在2500年以前，毕答哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某些特性。

（1）现在请你也观察一下，你能发现什么？

（2）你能找出图中三个正方形A、B、C面积之间的关系吗？

（3）图中A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?

（4）一般直角三角形是否也有这样的特点吗？

（二）师生行为

教师讲故事（勾股定理的发现）、展示图片，指导、倾听学生交流。针对不同认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。

学生听故事发表见解，分组交流、在独立思考的基础上以小组为单位，采用分割、拼接、数格子的个数等方法，阐述自己发现的结论。

（三）在本次活动中教师应重点关注：

1、学生能否将实际问题（地砖图形三个正方形围成的一个直角三角形）转化成数学问题（探索直角三角形的三边关系）。

2、学生能否准确挖掘图形中的隐含条件，计算各个正方形的面积

3、能否用不同的方法得到大正方形的面积，引导学生正确地得出结论。

【活动二】

问题与情境

（1）以直角三角形的两直角边a,b为边拼两个正方形，你能拼出来吗？

（2）图1、图2面积分别怎样来表示，它们有什么关系呢？

图1图2

分析：两个正方形边长相等，则它们的面积相等。

图1：S=4× ab＋c2图2：S=（a+b）2

则 4× ab＋c2=（a+b）2

化简可得勾股定理。

（二）师生行为

教师提出问题，学生在独立思考的基础上以小组为单位，动手拼接。

学生展示分割、拼接的过程

学生通过图形的拼接、分割，通过数学的计算发现结论。

教师引导学生通过图1、图2的拼接（FLASH课件演示拼接动画）让学生发现并验证结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

（三）在本次活动中教师应重点关注：

1、学生对拼图的积极性。2、学生能否进行合理的分割，能否通过拼图活动获得数学结论。3、学生能否通过已有的数学经验来验证发现结论的正确性。

【活动三】

问题与情境

例1、甲船以10海里/小时的速度从港口向北航行,乙船以20海里/小时的速度从港口向东航行,同时行驶3小时后乙遇险，甲调转航向前去抢救，船长想知道两地间的距离，你能帮忙算一下吗？

例2、求如图所示(单位:mm)矩形零件上两孔中心A和B的距离.

练习

在RtABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c (1)已知∠C是Rt∠,a=6,b=8,则c=（ ）

(2)已知∠C是Rt∠,c=25,b=15,则a= （ ）

(3)已知∠C是Rt∠,a=3,c=4,则b=（ ） (4)已知∠C是Rt∠,a:b=3:4,c=25,则b=（ ）

（二）师生行为

教师提出问题,学生思考、交流，解答问题。教师正确引导学生运用勾股定理来解决实际问题。

（三）在本次活动中教师应重点关注：

学生能否用勾股定理来解决实际问题，语言表达是否规范。

【活动四】

（一）问题与情境

1、通过本节课你学到哪些知识？有什么体会？

2、布置作业

①通过上网收集有关勾股定理的资料，以及证明方法。

②P77习题1、2、3题

（二）师生行为

教师以问题的形式提出，让学生从知识、技能、数学思考等方面加以归纳、总结，进行自我评价。

勾股定理教案篇（2）

课堂教学开展之初，应利用一些生动有趣的故事引入，让学生对所学知识产生兴趣.

在教学勾股定理时，我用《九章算术》中的一题引入：如图1，有个一丈见方的水池，在这个池中生长着一株植物，植物形似芦苇，恰好伸出水面一尺长，假如把这株植物弯向岸边，直到其与地面相连时，可否得出这一池水的深度，以及这株植物的长度？

图1在方案设计时融入故事和趣味问题，主要的意图是通过这些妙趣横生的情境来激发学生的想象力，让他们对学习勾股定理产生兴趣，从而调动起他们的探究热情.

图2二、定理探索

定理的探索是一个发现的过程，主要分为以下两步.

1.直角三角形的三边数量关系的猜想

结合图2，若图中小方格的单位面积为1.问题（1）：如何求出三个正方形的面积？问题（2）：三个正方形的面积之间有什么等量关系？问题（3）：你能否得出直角三角形三边的数量关系？

2.猜想验证

首先作出八个全等的直角三角形，它们的两个直角边和斜边分别设定为a、b、c，再作三个正方形，它们的边长分别为a、b、c.然后按照图3所示，将它们拼成两个大的正方形.我们从两个大正方形中可以发现，它们的边长均为a+b，因此可以断定它们的面积等同.即.

图3通过上述验证探索我们可以得知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）.

三、定理应用

在验证完上述定理之后，还需要针对学生掌握的情况进行解题尝试，让学生可以进一步应用定理. 以上述《九章算术》的习题为例，让学生尝试求出池水的深度以及这株植物的长度.

因为学生此时已经大致了解了勾股定理，因此在理解题意的基础上，可以整理出AB2=AC2+BC2，再将有关代数式代入等式中，通过解方程可以得出水深12尺，这株植物的长度为13尺.

四、定理证明

图4 当学生完成了对勾股定理的猜测、验证和应用后，最后还要对勾股定理进行证明.对此，我们将学生分为几个小组，让学生组内合作进行定理的证明.当然，勾股定理的证明方法有很多，所以针对不同的小组，让他们采用不同的方法加以证明.就拿拼图法来说，除了像图3那种方法外，也可以用图4来证明.

这一部分的操作意图是为了让学生之间的互动交流得以加强，使他们对勾股定理的原理和认知能够得到全面的巩固.

五、习题巩固

勾股定理教案篇（3）

我国现行教育正面临从义务教育向素质教育的转变，这就要求教师在教学过程中不仅注重知识的传授，还要注重学生自主获取知识能力的培养。在初中数学教学过程中，有意识地对学生进行自学训练，有助于提高教学效果，增强学生自主思考和分析的能力。

一、初中数学教学中如何培养学生的自学能力

在初中数学中培养学生的自学能力可以从以下步骤开始：

1.明确教学目的

在新章节的教学过程中，教师先通读教材内容，明确教学目的然后对其进行分析，掌握重点难点。

2.预习与引导

对教学内容分析完成后，根据实际情况对学生的预习方向加以引导，要求其完成课前预习的部分，并进行思考，设计预习提纲就相关问题提问，让学生尝试自主寻找

答案。

3.习题训练

习题可分为两种类型，一是以掌握学习要点为主的基础知识题，二是灵活运用学习内容的提高训练题。通过解答习题，让学生掌握和提高对所学知识的自主运用能力和解题技巧。

二、以勾股定理为例的自学教案设计

以勾股定理的教学为例，自学教案的设计主要包括三个部分。

1.课前准备

教学目的：掌握勾股定理和勾股定理的逆定理。

教学分析：用数学公式对勾股定理进行证明。

预习提纲：

（1）勾股定理的内容和定义

（2）勾股定理的逆定理

（3）如何对勾股定理进行证明

（4）尝试解答：已知RtABC的两条直角边长分别为4 cm 和9 cm，求斜边长多少？

2.课堂教学

对勾股定理的课文内容详细讲解。

（1）勾股定理

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：直角三角形两直角边长度为a、b，斜边长度为c时，三边关系a2+b2=c2。

（2）勾股定理的逆定理

如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

即：如果三角形的三边分别为：a、b、c，且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

（3）勾股定理的证明

解说勾股定理的常见证明方法。

（4）勾股数

记住常见的勾股数，如3，4，5；6，8，10；5，12，13等，帮助提高学生的解题速度。

3.根据教学内容设计相关习题

例如：①下列说法正确的是（ ）

A.若a、b、c是ABC的三边，则a2+b2=c2

B.若a、b、c是RtABC的三边，则a2+b2=c2

C.若a、b、c是RtABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2

D.若a、b、c是RtABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2

②ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是

（ ）

A.a+b=c B.a+b>c C.a+b

4.课后总结

就习题中学生错得较多的部分给予详细解答，确定辅导的重点、难点，巩固所学知识。

在初中数学教学过程中培养学生自学能力在提高教学效果的同时，有利于对学生进行全面的训练，帮助他们自主学习和独立思考。

勾股定理教案篇（4）

问题情境教学手段是目前初中数学改革的最热门的话题之一，也是众多一线教师在教学实践中不断尝试探索的课题之一。所谓问题情境是指将生活中或大自然中出现的一些数学问题或数学事件，引发学生探索事件的本质或者解决问题的欲求。创设数学问题情境的本质在于揭示这些现象的真实规律，带动学生主动思考，激发学生探求知识的动机，使学生成为问题探索者的“小主人”，带着兴趣“无意识”的进入学习状态、主动学习。

在学习新内容――“勾股定理”之前，学生已经学习了关于三角形的一些基本知识，如三角形的面积公式，三角形三条边的不等关系，三角形全等的判定方法等等。勾股定理是初中数学几何部分非常基本和重要的内容。如何让学生加深对勾股定理的理解和掌握，对于初中数学三角形部分知识的学习是至关重要的。同时，这一节也是学生认识无理数的基础，体现了数学知识承前启后的连续性。

设计“勾股定理”这一课的主要目的是让学生初步掌握勾股定理的相关内容，并且学会在日常生活中发现数学、寻找数学、总结数学，从而激发学生对于学习数学的兴趣。在对本节教学内容的处理上，我们采用由特殊到一般、由形象到抽象这样一个过程，加深学生的理解程度。基本的教学程序是“提出问题-创设情境-交流谈论-问题解决-知识确认-延伸拓展”几个环节。具体操作可以分为以下五个步骤：

第一步：通过故事，引出问题。

首先，师生共同学习一个古老的故事。相传两千多年前，古希腊著名的数学家、哲学家毕达哥拉斯去一个朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽情的欢乐，只有毕达哥拉斯看着朋友家的地砖发起呆来。原来，这位朋友家的地砖是用一块块黑白相间的直角三角形的地砖铺设而成，颜色对比鲜明，图案美观大方。

第二步：根据问题，创设情境。

通过故事创设的情境，调动学生的情绪进入思考状态。随后，教师呈现下面这幅图，看看与学生们想象的图像是否一致。

看图并提出下列的问题：1.通过观察，请问图中黑色的三角形和白色的三角形分别是什么三角形？2. 图中的每一块地砖分别是由几个黑色的三角形与几个白色的三角形拼成？

第三步：讨论交流，解决问题。

接下来让学生分组讨论上述问题。首先从特殊的等腰直角三角形入手。让学生随时报告他们的研究状况，发现了什么？并且及时把不同学生的不同研究方法向全班同学提出来。

结合同学们的讨论结果，教师可以提出这样的问题：如图2所示，同学们能指出上图中三个正方形P，Q，R的面积与数量关系吗？并进一步的提问：由此可见，直角三角形三条边之间有怎样的数量关系呢？

结合图形，开始引导学生进行如下的操作：在草稿纸上画出边长为3cm、4cm的直角三角形，来验证一下，对于刚才提出的问题，同学们讨论的结果是否是正确。从图形测量上发现，得到的结论是正确的。

第四步：总结归纳，确认结论。

首先，教师引导学生思考：是不是对于一般的直角三角形都是有这样的结论呢？我们在课堂上用《几何画板》演示一下，让学生能更加直观的感受到动态的变化，注意观察各个正方形面积的变化及他们之间量的关系，从而顺理成章的得到勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

教师可以在此基础上进一步介绍中国古代《九章算术》中关于勾股定理的描述和证明的问题。并且介绍关于“勾”、“股”和“弦”的含义。

从心理学的角度上讲，八年级的学生已经具有比较强烈的探究欲望，并且能在学习探索的过程中有自己的观点和看法，能与在同伴的交流碰撞中改进和完善自己的观点。那么，这一段关于勾股定理的情境设计，始终是强调以学生为中心，强调学生对知识的有意识探索，主动发现问题，主动思考问题，主动解决问题。在整个过程中，教师扮演的角色就是设计合适的“情境”，提供学习的“机会”，学生通过与同伴的合作，与教师的配合，进行有效率有意义的学习。在整个定理的推导过程中，学生的认知过程是按照从“特殊”到“一般”这样的阶段进行的。整个认知的过程循序渐进，学生能够思考；在总结归纳定理的时候，形象可知，学生易于接受。

第五步：拓展延伸，加深理解。

关于“勾股定理”这一节的课后拓展延伸问题，自然就是关于勾股定理的证明了。作为数学定理其证明方法也是最多样的，到目前为止，不完全统计的勾股定理的证明方法已经多达500多种。例如面积法、割补法等等，还有关于椅背上的新娘等故事，更是为勾股定理的证明方法添上了别开生面的一笔。

数学之外，勾股定理蕴含的深厚文化价值。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙的关系，将数与形完美的结合起来，是反映自然界基本规律的一条重要结论，闪耀着科学的智慧之光。同时，通过对勾股定理的学习，我们可以感受到不同文化背景下、不同时代背景下、不同国家的人，数学思维模式的不同特点。我国古代数学家侧重直观展示和实际应用计算，而西方数学家侧重于逻辑演绎和严密的推理，正是由于中西方文化火花的碰撞，才更加丰富了数学的历史，促进了数学的发展。

《全日制义务教育数学新课程标准》指出“数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程。”本人认为这里“互动”是关键，给学生留有空间、让学生有能力并有时间去自主思考是前提，问题情境教学或许是实现互动的一种有效手段。以上“勾股定理”情境教学法的课堂实践就是一种有效的尝试。

参考文献：

[1]杨静，浅谈高中历史教学中的探究性学习，《软件：教育现代化（电子版）》，2014.

勾股定理教案篇（5）

初中数学新课程标准对学生学习能力、创新能力都提出了全新的、更高的要求，而对学生学习能力和创新水平产生直接影响的则是学生的知识串联能力. 所谓知识串联能力，简而概之，便是学生举一反三，有效联系各类知识，形成强有力的知识正迁移，有效促进学生课程学习的一种能力. 初中数学知识学习在所有初中学科中是最成体系、最富结合度的，各个知识点串联运用的频率高、范围广，因此学生的知识串联能力对于初中数学的教、学同样具有重大意义. 勾股定理是解释直角三角形三边关系的重要定理，同时也是初中数学课程中最为重要的几个定理之一. 勾股定理具有形式变化多、应用范围广等特点，能与代数运算、图形推导、函数演算等数学内容进行串联应用. 基于这一特性，勾股定理便成为初中数学培养学生知识串联能力的极为有效的工具. 为了进一步培养学生的知识串联能力，推动初中数学课程改革，笔者就初中数学勾股定理教学如何与学生知识串联能力培养“擦出火花”进行探究，总结出如下三点建议.

勾股定理串联数字运算，培养

学生的代数运算能力

代数是初中数学非常重要的内容，包含有理数、整式、实数的代数运算，等式、不等式、方程等内容，是学生开拓初中数学知识时必不可少的工具. 将勾股定理及逆定理与代数知识内容进行串联，将为初中数学代数练习注入新鲜血液，将极大地丰富初中代数运算练习的内容与形式，有助于激发学生代数练习热情，提升学生代数综合解析、运算能力. 初中数学代数运算要与勾股定理有效串联，笔者认为要做好“换”的文章. 怎么“换”？就是将代数运算中的必备条件、必要数字、必定过程勾股定理化，将这些本来现成的代数运算条件全部换成勾股定理内容，让学生的代数运算能力在勾股定理和代数运算概念的灵活转化中得到提升.

应用题是数学运算中非常经典的表达形式，笔者将勾股定理串联到代数应用题中，设计了这样一道试题：“某条高速公路的快车道规定时速不能超过120 km/h，已知一辆小汽车沿着一段直道高速公路的快车道行驶，在路过车辆测速仪正前方时，汽车与测速仪相距60 m，2 s后，汽车距离测速仪100 m，请问汽车超速了吗？”要求汽车是否超速，就必须求出汽车的时速，这是一道典型的代数应用题，但这道代数题却把学生难住了，因为要求速度，必须知道路程和时间，时间是知道了，路程呢？于是笔者引导学生根据题意画了一张图（如图1）. 学生可以发现，汽车正对测速仪时刚好在A点，2 s之后，汽车在B点，测速仪和A，B两点刚好围成一个直角三角形，测速仪到A点的距离是60 m，到B点的距离是100 m，由此很容易得出AB2=1002-602，即AB=80 m. 由此可知小汽车的时速是80÷2=40 m/s=144 km/h，显然汽车已经超速了. 像这样利用勾股定理与代数运算串联，能有效培养学生分析问题、转化问题、解决问题的能力.

勾股定理串联几何证明，培养

学生的图形解析能力

三角形证明几乎占据了初中数学几何证明中的绝大部分内容，而勾股定理又是体现直角三角形三边关系、解决三边问题的有效定理，因此，勾股定理与初中数学几何证明可以说是无缝对接. 通过勾股定理的延伸运用，将为学生的几何证明打开一个全新的思路，许多看似难解、难证的几何问题，也将在勾股定理的引进和串联下迎刃而解. 勾股定理和初中数学几何证明之间的串联，笔者觉得其关键是“找”，教师要引导学生找到几何图形中潜在的勾股定理，并准确地把握勾股定理与图形证明之间的关系，从而解决证明问题.

例如，笔者为了将勾股定理与相似三角形证明进行串联，设计了这样一道试题：“如图2所示，AB与CD相交于点E，已知AB=11，AE=5，CD=13，DE=10，AC=4，DB=8，求证：ACE∽DBE.”学生一看此题，都一筹莫展，于是我开始引导学生：“同学们，我们知道AB=11，AE=5，那能不能求BE的长？”学生回答“能”，我再问：“那我们知道CD=13，DE=10，能不能求CE的长？”学生也点头说“能”，我接着引导：“同学们，经过计算后，我们手头掌握的条件如下，在ACE中，AE=5，AC=4，CE=3，根据这组数字我们可以发现，AC2+CE2=AE2，符合勾股定理，所以ACE是直角三角形；再看看DBE，DE=10，DB=8，BE=6，根据这组数据我们可以发现DB2+BE2=DE2，符合勾股定理，所以DBE是直角三角形. ”通过这样的引导，学生在图形解析时，利用勾股定理打开了突破口，能找到图形之间的联系，最终解决几何证明题，这有助于培养学生的发散思维，增强学生的图形解析素养，提升学生的几何证明能力.

勾股定理串联函数演算，培养

学生的抽象思维能力

勾股定理教案篇（6）

一、教学内容与学情分析

本节课主要是对勾股数进行探索，了解勾股数的规律，经历观察、发现、验证勾股数的一组或几组计算公式的探究的过程，注重让学生积极主动参与新知的探索，切身体会知识的发生过程，提高自身数学教学素养.通过探究学习的过程，学生能够体会到分类、类比思想，初步感受科学思维的价值.

对于初二的学生，具体形象思维开始逐步向抽象逻辑思维过渡，探究问题时，能够进行一些思维的探索，在本次活动课之前学生已经学习了勾股定理，对勾股数有了大致的了解，对其规律还没有进行过探究，所以这节课可以说是学生对勾股定理知识体系的完善，对探究式学习的一次较深入的锻炼.

二、案例过程片段呈现与分析

片段一考古学家在考古的时候发现了一块石碑（如图），经过潜心研究临摹发现碑文上实际上是一张部分数据缺损表格.大家看看表格中的数有什么特征？

生：这些数都是勾股数，要想找出缺损的数据，应先研究勾股数的规律.

师：很好！这位同学很快地看出了这些数据的特征.大家接下来想研究什么内容呢？

片断分析开放的情境，立马调动学生的积极性，让学生了解这节课要学习的相关知识点，并会对缺损数据自然留下了一点探索的想法.创设“情境”，调动学生的参与热情的热身.好的“情境”，可以激发学生的参与热情，为调动学生积极参与探究问题埋下了伏笔，笔者在一次赛课时上这节课而言，这样的问题情境设计，很快就吸引了学生的注意力，达到了比较好的效果.数学教学应当需要给学生创设有利于学生再发现、再创造的情境，去激发学生的探究、创造热情.该情境之后，很自然引入下面的环节：

片断二师：什么是勾股数？你能写出哪些勾股数？

生1：3，4，5；6，8，10；9，12，15；5，12，13.

生2：8，15，17；10，24，26；12，16，20.

师：（板书上面的数组）很好，大家还能写出更多的勾股数吗？

生3：可以，我可以由一组勾股数得到很多组的勾股数.

师：很棒！那你是如何做到的呢？能与大家一起来分享吗？

生3：由3，4，5这组可以再找出：6，8，10；9，12，15；12，16，20等等，就是把3，4，5放大了n（n是正整数）倍以后，仍然是勾股数.

师：很好，非常好的寻找勾股数的方法，也就是说你发现了找勾股数的一组规律.总结成结论呢？

生3：（老师板书）当（a，b，c）是一组勾股数时，（ka，kb，kc）也是一组勾股数.

就在此时，部分思维积极严谨的学生开始有怀疑了：

生4：你怎么知道当（a，b，c）是一组勾股数时，（ka，kb，kc）也是一组勾股数？

师：不错哦，这个问题问得非常有水准.生3的发现的规律是否正确，应该要给予理论的证明吧？有哪位同学愿意帮助解决吗？

生5：（证明过程书写略）利用到了整式的性质.

师：一些勾股数之间还有没有其他的规律？你能观察这些写的勾股数并探究其中的规律吗？你会用什么方法来研究呢？

生6：分类谈论.

师：很好，可以小组合作进行研究规律.

片断分析精抛锚，创设探索空间.这个环节，让学生自己积极主动地去写勾股数，给了学生参与活动的空间，同时学生写的勾股数越写越难，想绞尽脑汁的去构造.在巡视完学生写的结果后，展示大家写的结果，又可以自然抛出下一个探究性问题：大家发现越往后越难写出勾股数，勾股数有没有什么规律？你想怎么研究这些写出的勾股数？后面自主研究与小组合作探究相结合这种开放式的探究，给学生充分的探究空间，通过小组的观察讨论，擦出思维的火花，大部分同学在观察数据后，都积极寻找探索方法，经过谈论，会从分类谈论入手，找到规律以后小组很兴奋，会积极地总结自己的发现，并将自己发现的规律用公式表示出来.在这个过程中，老师只是偶尔去指导一下，主要活动操作，都是由学生自己完成，充分让学生参与进了探索的过程.

片断三师：分类研究的分类标准是什么呢？

生：设（a，b，c）为一组勾股数，其中a是这组数中最小的，可以分a是奇数和偶数的情况对上面写出的一些勾股数进行研究.

该片断主要是想让学生理清楚思路，同时也让学生体会到了分类、类比思想在解决问题中的应用.经过学生自主探究与小组合作讨论以后，得到了勾股数多彩的规律计算公式，老师只是将学生得到的另两类公式进行展示：

小组1：设（a，b，c）为一组勾股数，当a=2n（n是大于等于2的正整数）时，a=2n，b=n2-1，c=n2+1，这样的（a，b，c）是一组勾股数.

小组2：设（a，b，c）为一组勾股数，当a=2n+1（n>1的正整数）时，a=2n+1，b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1，这样的（a，b，c）是一组勾股数.

师：其他小组可以对这两组的发现规律进行理论证明吗？

片断分析在以上的探索过程中，学生充分体现课堂主体的地位，获得到了自主探究与合作交流带来的成功喜悦.同时也体会到了分类思想在研究问题中的运用.活动性课程比较注重学生的参与性与探究性，在教学中，老师应该要放手、留时间让学生去探索，真正实现学生自主探索与小组合作的价值，让学生体验到自主获得知识喜悦.老师只是对学生的探究适时进行指导与启发.

片断四（拓展部分）师：现在你能帮助考古学家将表格中前三组缺损的数据补齐吗？

生1：可以9，12，15；11，60，61；45，60，75.

生2：含9的勾股数还可以是：9，40，41.

师：很好，通过这两位同学的答案，大家有没有什么新的发现？

生：有，含9的勾股数有多组，不知道还有没有其他的含有9的股股数了？

师：这位同学总结得特别好，还提出了一个非常有价值的好问题.大家以小组的形式进行探究含有9的勾股数组，谈谈你的研究方法是什么.

片断分析这一教学环节的设计不仅是对勾股数探索出来的规律加以运用，实际上是给了学生再次创造了探索的空间，学生在填表的时候发现：（9，12，15）是一组含9的勾股数；（9，40，41）是一组含9的勾股数，到了这里，学生发现含9的勾股数不唯一，借此，教师在精心抛出一问：含9的勾股数有几组？你会怎么去探究？

这时学生又有了一个新的探索热情，对于这样多种可能的问题该如何去研究、怎么去找突破口呢？需要学生自主探究与小组合作相结合.老师只需进行适当启发，学生主体的探索精神在本节课中得到充分的培养与体现.

勾股定理教案篇（7）

中国的文化既悠久又丰富，中国的民间艺术丰富，其中中国结就是中国民间艺术的智慧结晶.中国结从头到尾都是用一根丝线编结而成，每一个基本结又根据其形、意命名.把不同的结饰互相结合在一起，或用其它具有吉祥图案的饰物搭配组合，就形成了造型独特、绚丽多彩、寓意深刻、内涵丰富的中国传统吉祥装饰物品.勾股定理的发现可以从中国传统的吉祥装饰物品中体现出来，同样这种数学元素也反映在非洲的装饰品中[1]，如此一来，这一素材又反映了数学多元文化的特点.具体地，图1展现了“结”的前后表面形状，图2是“结”形状的轮廓，包括可以看见的线条以及不可见的线条，由此可以看出中间是一个近似的正方形.

如果按照这个中国结的编织图形（图3）进行分割，通过截取变化（图4）便能得到并证明结论：SC=SA+SB.（图5）

2由纸风车到勾股定理的证明方法

纸风车是一种来自民间的折纸艺术，做法简单，制作后的纸风车形状具有数学对称美，而其形状又成为了证明勾股定理的良好素材.通过观察可以看出纸风车的形状成中心对称，将纸风车中的结点连接，大正方形被分割成一个小正方形和四个全等的四边形（图6）.将图6中的几何图形进行如图7的拼接，可以巧妙地证明勾股定理.

3文化素材的教学应用

多元文化数学的进一步挖掘会使数学的教与学变得更加丰富多彩[2]，从教学的角度思考勾股定理的教学，将上述的文化素材切入勾股定理的学习，将数学融入文化，并从学生认知规律出发设计一堂生动有趣的数学文化课堂.具体而言，上述文化素材可以通过两种方式加以应用.

一是在形成了有关勾股定理的猜想之后，展现中国结与纸风车等文化素材，通过数学化，将生活形状抽象为几何图形，然后再利用拼图游戏来直观化地验证勾股定理.这样做的目的有三.首先，适应学生的几何认知水平.荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索，指出学生的几何思维存在5个水平：直观（Visualization）、分析（Analysis）、推理（Inference）、演绎（Deduction）、严谨（Rigor）[3].初中学生的逻辑思维能力还不是太强，因此需要通过直观、操作等手段帮助学生理解抽象的几何关系与演绎逻辑.而借助中国结、纸风车等为载体抽象出来的几何图形，通过拼图能直观地验证勾股定理，这对于数学学习基础尤其是抽象思维能力较弱的学生而言是极为重要的，降低了思维难度，但同时又提高了学生的参与度、兴趣与信心.其次，密切数学与生活的关联.在很长一段时间里，学生学校的数学学习与其生活是相互割裂的.这样的学习也造成了很大的教育问题，即学生的数学学习未能被正当地赋值，甚至有人还提出数学无用论.因此，在教学中需要借助学生生活中常见的素材，并由此学习这些素材中蕴含的数学元素与数学关系，这也即是“数学生活化”的教学设计逻辑[4].这即是指，教师首先确立的是“勾股定理”这一数学维度上的学习目标，然后寻找到如中国结、纸风车等生活中常见的素材，并使之融入到教学之中，以实现“数学生活化”.再次，为了学生文化浸润式的学习.除了密切学生的现实生活与数学之间的关联之外，还要让学生体会到数学的文化厚重感.即借助富有中国传统特色的中国结、流传历史悠久的纸风车来学习数学，能让学生产生历史厚重感.

二是在学生已经学习了勾股定理之后，向学生展现中国结和纸风车图片，要求学生抽象出其中的数学元素，并由此探索这些数学元素之间的数学关系.与前一种将文化素材作为验证勾股定理的载体不同，这里将其后置到定理学习之后作为拓展性的问题让学生探索.这种用法的价值除了具有前述“密切数学与生活之间的关系”、“为了学生文化浸润式的学习”等两个方面之外，还有以下意义.首先，为了知识的巩固与活化.学生在学习了勾股定理之后，除了常规的练习之外，事实上更重要的是要将知识迁移到类似的但又不那么封闭与明确的情境之中.后者不仅在于巩固知识，同时也使知识得到活化.因为，无论是中国结还是纸风车，都需要学生作一定程度的数学化，并将不熟悉的问题化归为刚刚学习的勾股定理相关的问题，显然这就不仅仅是知识的巩固了.其次，从教育目标的角度来看，这种做法还期待培养学生“生活数学化”的能力.关于数学价值，不同的人也许有着不同的理解.但显见的是，在数学上研究越深入的人越能认识到数学的内在价值.造成这种现象的一个重要原因在于，数学的价值有时是非常内隐的，甚至很难为人所感知的.如果在教学中不去挖掘数学的内在价值，有时就会产生误导，甚至会认为数学只是用于计算.也正因如此，我们强调这些文化素材在数学教学中加以应用，就是希望所培养的学生能逐渐拥有用数学思考问题的意识和习惯，拥有用数学更好地组织生活的能力.就本案例而言，中国结与纸风车都是我们文化生活中所常见的，但我们更习惯于用工艺品（或艺术品）的角度来理解，而很少会从数学的角度研究这类物品.但事实是，当我们用数学的角度来理解生活中的这些事和物的时候，往往能带来惊喜：原来我们身边处处有数学.再次，有助于培养学生的数学学习习惯.过去我们所理解的数学学习习惯往往指的是学生伏在案头学习数学的习惯.我们认为，数学学习习惯除了上述方面外，一个更高的层次是学生随时而自然地会想着用数学的角度思考问题.后者当然是理想的状态，但教学中的有意识培养也能帮助学生朝着这个方向前进.其中一个重要的培养策略就是让学生尝试探索也许表面上与数学风马牛不相及的素材中的数学元素，除了中国结、纸风车，还有包括建筑物等素材.需要进一步说明的是，与前一种用法相比，这种用法对学生的数学要求也更高，当然所培养的探索能力也会更强一些.

总之，数学文化的观念已引起人们越来越多的关注，关于数学文化与数学课程教学的整合也是研究的热点问题之一.但关于富含数学元素的民俗文化的挖掘与教育学转换还比较有限，本文也是在这一方向上的一种努力.

参考文献

[1]张维忠.数学教育中的数学文化[M].上海：上海教育出版社，2011：233.

勾股定理教案篇（8）

中图分类号：G633.6 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2014.04.048

但凡学过勾股定理的人都知道，对于一个直角三角形（如图），∠C是直角，AB是斜边（c），两条直角边分别是BC（a）和AC（b），三条边之间满足关系式c2=a2+b2，称为勾股定理。

毋庸讳言，勾股定理可用于解直角三角形，教科书上都写道：已知直角三角形的两条边的长，可用勾股定理求出第三边。其实勾股定理灵活多变，在解决数学问题的许多方面有广泛的运用。通过对勾股定理的深入了解，特别是牢记一些特殊的直角三角形，可以大大加快解题速度，答案可以脱口而出。以下从几个方面探究勾股定理的多方位应用。

1 确知任意两条边求解第三边

例1.在一个直径为10的圆里边，有长为8的弦与直径垂直，求该弦到圆到圆心的距离是多少？

解法一：如图，由垂径定理可知：OC垂直且平分AB，所以AC=[1

2]AB=4，而且OAC是直角三角形，根据 勾股定理，有：OC2=OA2-AC2=52-42=9，

OC= [9]=3.答：这条弦到圆心的距离（弦心距）等于3。

解法二（特解）：熟悉了勾股定理后，可以直接用常数求解。

在直径为10的圆里边，当弦与直径垂直时，若弦长为8（其一半为4），则弦心距为3；若弦长为6（其一半为3），则弦心距为4。依据是“勾三股四弦五”！

2 知道斜边求两条直角边

对于等腰直角三角形，由于两条直角边相等，故可在仅知斜边的情况下求解两条直角边。

例2. 已知一个正方形的对角线长4 [2]，求这个正方形的边长。

解：如图，四边形ABCD为正方形，AC是对角线，ABC是等腰直角三角形，根据勾股定理，有：AB2+BC2=AC2，即2（AB）2=（4 [2]）2，AB2=16。

AB= [16]=4.答：正方形的边长为4。

由上例可得到一个推论：正方形的面积等于对角线平方的一半。

有这样一个智力测验题：在一个正方形的水池的四个顶点各有一棵树，现要将水池的面积扩大一倍，扩大后水池仍要求为正方形而且树不能浸在水里，怎样可以实现这一目标？答案是：分别以四边为底边向外作等腰直角三角形，得到以原正方形对角线为边长的新正方形，面积当然是原正方形的2倍，而且树仍在水池外。

3 确知一条直角边，另外仅知其余两条边的数量关系（差值），求解另外两条边

在此条件下，也可以用勾股定理求解且无需开平方，甚为简捷。

例3.（古代算题）有一个正方形的水池边长一丈，水池中心生一根芦苇，芦苇顶端高出水面一尺。若将芦苇拉至岸边，芦苇恰好没于水下。求水深及芦苇长（注：丈、尺为古代长度单位，1丈=10尺，3尺合现代1米）。

解：如图，若将芦苇拉至岸边，构成一个直角三角形，水面中心到岸边的距离为5尺，设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理，有： （x+1）2=x2+52，即x2+2x+1=x2+25，2x=24，x=12，x+1=13.答：水深12尺，芦苇长13尺。

解法二（特解）：直接用常数求解。在直角三角形中，一条直角边等于5，斜边比另一条直角边大1，斜边必然等于13！

4 确知斜边以及两条直角边的和或差，求解两条直角边

在这种情况下，必须勾股定理与一元二次方程配合使用方可求解，好在这时的一元二次方程都非常简单，一望而知答案。

例4. 已知一个直角三角形的斜边为41，两条直角边的和为49，求两条直角边的长。

解：设一条直角边为x，则另一条直角边为（49-x），根据勾股定理，有：x2+（49-x）2 =412 ，整理得 x2-49x+360 =0，解这个一元二次方程，得x1=40，x2=9，经检验，两根均符合题意。实际上，它们分别是两条直角边的长。答：两条直角边的长分别是40和9。

5 用勾股定理解决代数问题

勾股定理教案篇（9）

直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.

本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.

在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.

历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是图形在经过适当切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对图形面积的不同算法推出图形的性质.在教科书中，图17.1-6（1）中的图形经过切割拼接后得到图17.1-6（3）中的图形，证明了勾股定理.

根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.

在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.

2编写时考虑的几个问题

2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程

勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.

教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.

这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.

2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感

我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.

我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.

本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦图”，然后介绍赵爽利用弦图证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦图”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果.

课本习题是一种重要的教学资源。在总复习教学中，通过探索课本典型习题的知识生长点、能力发展点、思想方法蕴涵点，挖掘课本典型习题的潜在教学价值，有利于激发学习兴趣，提高复习教学效率；通过反思、拓展、应用，完成习题教学的第二次飞跃。培养学生探究质疑精神，提高创新意识和实践能力。下面就一课本习题教学进行的再认识和再设计问题予以探究.

题目现行华师大版9年级《数学》上第24章《图形的相似》复习题C组第20题：

（1）已知，如图1，MN是ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足，求证：AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如图2），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.

图1图21质疑证法

华师大版配套教师用书提示：记O为ABCD两条对角线的交点，过O作OO′MN，垂足为O′。

（1）由梯形中位线定理，易证所需结论.

（2）由梯形中位线定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可证AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.

根据提示，运用梯形中位线定理是关键，证明如下：

图3（1）证一：连结AC、BD交于O，过O作OO′MN，垂足为O′.

因为BO=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.

证二：如图3，分别连结AC、BD交于P，过P作PHMN于H，连结C′P，并延长交A′A的延长线于W。因为BP=PD，BB′∥PH∥DD′，则B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位线。所以BB′+DD′=2PH.

又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位线，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。证明（转化法）：如图2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分别延长AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）证得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.

问题分析对（1）的两种证明，关键性依据是“过梯形一腰的中点且平行于两底的直线必平分另一腰”，然后利用中位线性质获证，证明看似顺畅简洁，但现行华师大版数学教材中始终没有这样的学习内容，造成推理无依据，难消学生心中的疑虑。证法二中用到的结论“过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边”可以在教材P67开头部分找到依据.

这些结论如果补证，会增加学生负担；如果直接告诉这个结论，会增加学生理解难度。其实，还有适合学生的其他证法.

图4改进证法（1）如图4，分别过C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因为BB′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）可仿（1）证明.

2质疑猜想

问题（2），在不给学生任何提示的前提下，学生的思考几乎呈散放、无序的状态，又测量因误差，容易导致误猜，实践证明学生很难获得有效的猜想。中科院院士张景中认为，一个题目，光想不动手，往往不得其门而入，动手做，常会有启发，代数问题，把字母代成数试一试，几何问题，多画几个图看一看，这比你冥思苦想效果好得多，学生通过数学实验，动手算一算、画一画、量一量，手脑并用，获得直接的感性认识，能最大程度地发挥其主观能动性，有利于右脑的开发，并能由此引发奇思妙想，产生大胆的猜想和创新。正所谓“直觉的产生要以逻辑分析为‘前奏曲’”。由此可见，猜想不是凭空乱想。教学中要教给学生猜想的方法和猜想的途径。猜想的方法主要有：归纳、类比、合情推理。猜想的途径主要是：观察、实验、探索。教学改进设计如下：

（1）实践操作，感知确认。试一试，测量这些线段，通过计算，它们有什么的关系呢？有人测得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。还有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。谁的猜想更合理呢？再画一个图形试一试，发现：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.

（2）通过引入辅助元素，转化为熟悉的问题或已经解决了的问题，通过推理获得猜想.

3变式探究

勾股定理教案篇（10）

华师大版八年级下册第19章第二节安排了勾股定理内容的学习，在教材的阅读材料中，有《九章算术》中的“葭生池中”的问题，这道题很有趣，能够调动学生的兴趣，因此，我决定给大家呈现一节利用勾股定理解决生活中实际问题的研究课，探讨教师应如何设计教案、把握教学，提高学生学习数学的积极性。

我们准备好教案后去请教两位数学特级教师，听取他们的意见和建议。两位专家对我们的教学设计给予了充分肯定，认为课题设计非常新颖，课程内容人文价值丰富，很好地体现了数学与生活的密切联系。两位专家还就讲课过程的设计给我们提出了中肯的意见。我们参考专家的意见和建议对教案进行了修改。

二、上课和观课

1.第一次上课

教学环节一：复习

①勾股定理的历史及内容（学生回答）；

②勾股定理的变式（多媒体展示）；

③应用勾股定理的必备条件，没有条件的话，如何解决？（学生回答，教师补充）

教学环节二：新课引入

①出示例题：名题鉴赏――“莲花戏水”（板书：勾股定理在生活中的应用）；

12世纪的印度数学家婆什迦罗（Bhaskara）的著作中有一道“莲花戏水”的问题：

波平如镜一湖面，半尺高处出红莲。

亭亭多姿水中立，劲风吹来斜一边。

偏离原地两尺远，花贴湖面似睡莲。

请你动脑想一想，池塘水面多深浅？

②展示示意图，让学生思考并说出题目已知什么、要求什么（板书分析过程）；

③挖掘图形中线段之间的关系；

④设未知数，根据勾股定理列出方程，求解；

⑤总结解决问题的方法：先将生活实际问题转化为数学问题，再利用勾股定理列出方程，解方程。

教学环节三：练习

应用归纳的解题方法，自己解决问题（学生朗读、思考后提问）

《九章算术》中的趣题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”（注：1丈=10尺）

教W环节四：小结和作业

①小结（提问）：今天你学到了什么知识？你的哪方面能力得到了提高？

②作业：练习2。

2.听课教师评价

听课教师普遍认为课题设计新颖，以古代题目为背景，用优美的诗词创设问题情境，拓展了学生的思考空间。教学中渗透了应用意识，具体包括三层转化：一是实际问题转化为数学模型，即把实际问题数学化；二是把不可解的问题转化为可解的问题，构造直角三角形；三是把几何问题转化为代数问题，利用勾股定理构造方程。

3.在反思中发现课堂教学得与失

针对第一次试教的不足，我们把教学目标定位为“让学生成为学习的主人”，让学生经历知识发生、发展的过程，在实际问题数学化的过程中，学会学习、学会发现、学会创造。第二次教学对学生来说具有一定的挑战性，课堂的时空得到开放，学生的主体作用充分体现。课堂教学环环相扣，巧妙创设情境，注重与学生的情感交流，充分调动了学生的自主性和积极性。

三、分享成果

勾股定理教案篇（11）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2013）18-0121-02

适当开展数学开放题的教学不但是平常教学的有效补充，而且也是与当前新课改的要求相适应的，是培养学生实践、探究与创新能力的重要方式方法，因而对初中数学开放题教学的研究是非常有意义的。

一、适当进行开放题的教学非常有必要

从新课标的内容和要求来看，它加强了数学与学生平时生活的联系。如：张师傅想造一张长200cm，宽40cm的桌面，但目前身边的材料是长300cm，宽60cm的木板，问怎样将木板裁剪，最后能制成长200cm，宽40cm的桌面，请设计出裁剪方案。就与学生平时的生活联系得很紧密。新课标的内容和要求体现在数学问题中，就是内容和形式逐步开放，不局限于书本，注重学科之间的联系。笔者对七年级人教版的教材作了统计，其中开放题占了19.5%，其所占比例还是比较大的。这些都为教师开展开放题教学提供了很好的素材，也为培养学生主动参与、积极探究的习惯提供了有利条件。

二、数学开放题的案例剖析

在初中数学教学的内容中，不但有概念的教学，还有公式与定理的教学。因此，应该想办法将这两方面的内容与开放题进行有机地融合。开放题的特点决定了其教学过程不可能事先完全清楚，因为学生的思维与创新能力非常强，教师不可能将各种情况都事先想到，而应视具体情况具体分析。因此，为了更好地说明开放题的教学实践，本文给出了教学案例。

案例：勾股定理的教学

1.教学目标：在学生动手操作，自主探究的基础上，掌握勾股定理的结构特征，培养学生的动手实践、合作交流以及数学语言的表达能力。

2.教学过程。

（1）教师提出问题：现在给你4个全等的直角三角形，你能不重叠、没有缝隙地拼出一个正方形吗？（开放题①）

（2）学生积极动手操作实践，自主探究，合作交流，得出以下方法：①以直角三角形的斜边为拼成的正方形的边长，如图1。②以直角三角形两条直角边的和为大正方形的边长，如图2。

（3）若图中直角三角形的两条直角边为a与b，斜边为c，可用哪些方式表达几何图形的面积：①直接用正方形的面积公式，在图①中大正方形的面积为C2。在图②中正方形的面积为（a+b）2。②也可用4个小直角三角形的面积与中间的一个小正方形求和来解。在图①中大正方形的面积为：4×■ab+（b-a）2。在图②中大正方形的面积为：4×■ab+c2。

（4）结合图①与图②以及刚才所得到关系式，你能发现它们之间的关系吗？

（5）学生基于刚才的活动得出它们应该相等，有如下等式：（a+b）2=4×■ab+c2或者c2=4×■ab+（b-a）2。

（6）教师：将以上式子进行化简，你能说出它们的特点吗？（开放题②）

（7）学生在紧张的思考后得出：a2+b2=c2，它有如下特点：①左边是两边的平方和，右边是斜边的平方。

②a、b、c是直角三角形的边长。③它反映的是直角三角形中所特有的三边关系。

（8）你能仿照这个等式，再举出几个例子，满足以上关系吗？（开放题③）

（9）学生很快找出常见勾股数：32+42=52，62+82=102，92+122=152，82+152=172，52+122=132，72+242=252，92+402=412，等等。

（10）教师：对于以上的等式a2+b2=c2（a、b、c为直角三角形的三边长且C为斜边），就是几何中非常著名的定理――勾股定理，你还有别的方法证明它的正确性吗？

（11）学生提出可用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形来证明。

（12）教师拿出题板，给出巩固提高题。

（13）学生在教师的指导下，解完巩固训练题后提问：勾股定理的使用条件是什么？（开放题④）

（14）学生回答如下：①只有在直角三角形中才成立；②两直角边的平方和等于斜边的平方；③对于三边关系不能用错。

（15）根据以上回答，教师进一步提问：勾股定理中的a、b还可以表示什么？（开放题⑤）

（16）学生回答：可以代表数字、单个字母、单项式、多项式。

（17）教师提出问题：你能构造出可用勾股定理解决的实际问题吗？（开放题⑥）

学生各抒己见，发表自己的观点。

3.教学评析：

（1）本课例用到的开放题有结论开放（开放题②③④⑤），策略开放（开放题①），综合开放（开放题⑥）

（2）教学过程的（1）～（5）是勾股定理的发现过程，强调关注学生的思维。开放题①的作用是展示给学生耳目一新的问题情境，使其能够体会到不同的方式方法带来的不同解题效果，由此既让学生对勾股定理的形式有所感知，又为下一步问题的深化作了铺垫。

（3）环节⑥～⑩是对定理的进一步升华，开放题①的作用是引导学生动手实践，自主探究，从而使学生印象深刻。开放题②③的作用是培养学生的语言表达与概括能力，从而带动学生积极思考，但此时学生的思考尚处于比较浅的层次，举出的例子变化少。

（4）环节（11）是定理的再次探索，问题注重对学生举一反三能力的训练，为下面的开放题④作准备。

（5）环节（12）～（17）是定理的概括、延伸过程。开放题④⑤引导学生对勾股定理进行回顾，反思定理的本质，形成对勾股定理的完整认识。开放题⑥实际是整节课的回顾与总结，同时避免了乏味的单调练习。

对于以上案例，笔者只是截取了教学实践中的某个部分来说明概念及定理与公式这两方面的教学是如何展开的。

三、结论

笔者的教学实践表明：开放题教学能使学生在自己原有的认知基础上，实现对学习内容的主动建构，能促使学生独立思考，大胆质疑，勇于探索，从而培养学生的创新能力，提高其学习兴趣。

参考文献：