余弦定理教案大全11篇

余弦定理教案篇（1）

【Abstract】In this paper, according to the syllabus changes and front-line teaching experience, teaching trigonometric functions of the New Curriculum in the views.New Curriculum teaching trigonometric functions tend to focus on application rather complex deformation of identity is not practical things, more shows the instrumental role of mathematics.

【Key words】New Curriculum; trigonometric functions; practical

【中图分类号】G642.0 【文章标识码】C【文章编号】1326-3587（2011）08-0017-03

《新数学课程标准》新理念指导下的数学课堂教学，不仅改变了学生的学习方式，同时更重要的也改变了教师在教学中的作用。教师不仅是知识的传授者，更要成为学生学习的引导者、组织者和合作者。教师要与新课程同行，要适应新课程的要求，就必须转换角色，必须学习掌握新的专业技能，并在一线教学改革中实现专业技能的自我更新。

新教材更加注重学生的认识规律，及学生的学习兴趣。新知识的情景引入借助生活实例，不仅有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，更能激发学生的求知欲望，集中学生的注意力，提高课堂效率。通过对新教材的研究，来改变教师脑海中原有模式，发现新问题，采取新方法、新策略，打破旧框框，找到更加合理的授课方法。培养学生在合作探究中的合作的意识和独立解决问题的能力。立足新教材，但不局限于新教材，在教学中要有自己的方法。如实例引入时，我们适当增加学生比较好理解的实例，教材跨度大的地方，我们依据学生的情况加入过渡知识。

根据本人三年新课改一线教学过程中遇到的一些问题，通过考试要求的变化及新课标试题归纳一点自己在三角函数教学中的一点心得体会。

《2010考纲》考试要求的变化：

1、三角函数的考试要求中的“理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算”，改为“了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度角度的换算”；

2、三角函数的考试要求中的“掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义”，改为“理解任意角的正弦、余弦、正切的定义”。

2011高考大纲新课标：

3、基本初等函数Ⅱ（三角函数）。

（1）任意角的概念、弧度制。

①了解任意角的概念。②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数。

①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

②能利用单位圆中的三角函数线推导出 ，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 ， ， 的图像，了解三角函数的周期性。

③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）。理解正切函数在区间（ ， ）内的单调性。

④理解同角三角函数的基本关系式： =1， 。

⑤了解函数 的物理意义；能画出 的图像，了解参数 A， ， 对函数图像变化的影响。

⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

4、《标准》在三角函数部分删减了以下内容：任意角的余切、正割、余割，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性，已知三角函数值求角以及反三角函数符号。要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，不必在恒等变形上进行过于烦琐的训练。也就是说对三角函数的概念要求有所降低，突显了三角函数的工具性的作用，显现了知识内容向新课程转化的趋势。在高考中的具体体现为：（全国卷）

例1、（2007年17题）（本小题满分10分）。

设锐角三角形 的内角 的对边分别为 。

（Ⅰ）求 的大小；

（Ⅱ）求 的取值范围。

解法：

（Ⅰ）由 ，根据正弦定理得 ，所以 ，由 为锐角三角形得

（Ⅱ）

由 为锐角三角形知， ， ．

所以

由此有 ，

所以， 的取值范围为

例2、（2008年17题）（本小题满分10分）

设 的内角 所对的边长分别为 ，且

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）求 的最大值。

例3、（2009年17题）（本小题满分10分）。

在 中，内角A、B、C的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且 求b

分析：此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手。对已知条件(1)，左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分。

再来看海宁题：

例4、（2007年海宁17题）（本小题满分12分）。

如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个测点 与 ，现测得 ，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 ，如图一。

对传统内容的考查也适度创新，如改变了传统三角函数的考试模式，给解三角形问题赋予了实际背景，既简单，又体现数学应用的价值，很好的体现了课程标准的理念。

例5、（2009 年海宁17题）（本小题满分12分）

为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。

方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角 ；B点到M，N的俯角 ；A，B的距离 d （如图所示） 。……3分。

②第一步：计算AM。由正弦定理 ；

第二步：计算AN。由正弦定理 ；

第三步：计算MN。由余弦定理 。

方案二：①需要测量的数据有：

A点到M，N点的俯角 ， ；B点到M，N点的府角 ， ；A，B的距离 d。

②第一步：计算BM。由正弦定理 ；

第二步：计算BN。由正弦定理 ；

第三步：计算MN。由余弦定理

（2010）17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效)

已知 的内角 ， 及其对边 ， 满足 ，求内角 。

【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用。

（2009）17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）

在 中，内角A、B、C的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且 求b。

分析：此题事实上比较简单，但考生反应不知从何入手。对已知条件(1) 左侧是二次的右侧是一次的，学生总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件(2)过多的关注两角和与差的正弦公式，甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差，导致找不到突破口而失分。

余弦定理教案篇（2）

随着我国教育事业的不断发展，高职教育事业取得了一定的发展成效。数学作为一门重要的学科，是不少高职学生的薄弱环节。据调查，我国大部分高职院校依然在采取传统数学教学方法，无法提高高职学生数学学习质量，导致高职学生自卑感不足、对学习产生乏味、厌恶感，缺乏积极性，这种消极现象的长期存在不但不利于学生身心健康的发展，同时也不利于教学质量的提高。

一、高职数学课程教学现状

据笔者分析，当前高职数学课程教学中还存在诸多问题，主要表现在：教师教学方法单一、教师教学理念落后等。

目前，在我国大部分高职院校在数学教学过程中，依然在沿袭传统数学教学方法，这种传统教学方法无非是教师在讲台上夸夸其谈，学生在下面昏昏欲睡，之所以出现这种现状，主要是由于教师教学方法过于单一，导致学生学习兴趣不高。有些教师在数学课堂上采用了多媒体教学方法，但依然未能达到预期的教学效果。这就是因为教师过于依赖多媒体课件，忽视了与学生之间的互动交流，从而导致学习效率始终得不到提高。高职院校许多数学教师都具备一定教学经验，在一定程度上更加专业严禁，但就是由于其自身因素导致老师的思维跟不上时代，教学理念呈现出滞后性，不利于高职数学课程有效开展。

二、基于职业能力如何促进高职学生数学学习

数学是高职学生学习过程中的一门基础性学科，它抽象性、理论性强，仅仅是说教式的教学方法已经无法满足学生需求，据此，要想提高学生数学学习能力必须采取多种教学方法，例如：类比思维方法、数形结合方法、导学案教学方法。笔者将就这三个方面进行阐述。

（一）充分应用类比思维方法

数学概念、公式、规律等在高职数学教学过程中是一个难点，学生一般难以掌握这些偏向实验性的内容，因为高职数学各章节中的定理、公式、规律等都有差异。通常来说，多数学生认为数学难就是难在这些地方，由于公式与规律太多，学生来不及掌握，无法灵活运用进行解题，影响教学效率。类比思维运用在高职数学理论、规律、公式等方面都能达到很好的效果，实数系与向量系、平面几何与立体几何、圆与球的性质类比、三角形与四面体的性质类比、等差数列与等比数列类比、椭圆与双曲线类比等都能够通过类比思维讲授。比如在教师在讲余弦定理时，能够通过将余弦定理，与学生初中就学过的勾股定理进行比对，由于余弦定理是勾股定理的延伸，教师讲授余弦定理时结合勾股定理，学生就能迅速熟悉余弦定理，当学生通过类比法熟悉余弦定理后，教师能够教授学生运用类比法解题。

例如：DEF中有余弦定理：+-2DF・EFcos∠DFE。完成空间方面的拓展，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC―的三个侧面面积与其中两个侧面所称二面角之间存在的关系式，同时进行深入证明。教师能够引导学生通过类比猜想得出例题中：=+-・cos，其中侧面为与所成的二面角的平面角，然后根据三棱柱ABC―的直截面DEF，则∠DFE为面与面所成角，DEF有余弦定理，即可让学生自行推理题目证明方式，熟悉新章节所学知识并掌握类比法。

（二）将导学案教学法应用其中

导学案教学法在函数中的应用，它以函数的基本知识为基础，重新建立了学生对函数的敏感性，通过简单的运算和场景模型建立，从而提高学生对函数的理解能力。例如，在针对《对数函数及其性质》这一课程进行教学时，教师可以在事先编写导学案，了解学生实际情况，简单复习指数函数和对数函数之间的互化关系：ab=N?logaN=b，逐步引导学生进行函数对应关系y= logax（a>0，a≠1）的学习，以引出对数函数的涵义。然后，进行下列活动：①用编写好的《学案》让学生画出函数图像y= log2X（a>1）与y= log x（1>a>0），通过图像来研究对数函数的性质；②设置悬念，比较两个对数的大小，例如比较log40.7与log40.9的大小。解题思路：两个对数同底，将其放在同一个函数里通过比较两者的单调性即可得出其大小。首先考察y=log4x的单调性，有4>1知，函数y=log4x在（0，+∞）上单调递增，又因为0loga5.3；当a>1时，loga4.6

结束语

笔者对我国高职院校数学课程教学现状进行了分析，为了促进高职学生数学实际能力的提高，教师必须及时转变教学观念，灵活运用教学方法，例如：类比思维法、导学案教学法等，帮助学生打开数学创新思维，激发学生对数学的热爱，促进高职学生数学能力的有效提高。

【参考文献】

[1]谷志元.高职数学课程教学改革之我见[J].职教论坛，2012，

余弦定理教案篇（3）

“坐标系”法的依据：

sin（0+2kπ）=sin0=0

sin（ +2kπ）=sin =1

sin（π+2kπ）=sinπ=0

sin（ +2kπ）=sin =-1

把它们体现在坐标系上，得到：

同理可得cosx的坐标系：

学生可以在理解的基础上记住：正弦sinx在坐标轴上的值按逆时针顺序依次为：0，1，0，-1；余弦cosx在坐标轴上的值按逆时针顺序依次为：1，0，-1，0.

应用一：求坐标轴上角的正余弦值.

例1：计算sin180°-cos270°+sin360°+cos0°-cos180°

点评：学生碰到坐标轴上角如：180°、270°的正余弦，要么容易记错，要么用诱导公式推导，或者用三角函数的定义推导，但是如果学生记住以上的坐标系，则解题既快又不会错.

应用二：已知正余弦的范围，求角的范围.

例2：已知y=sinx，x∈R，求满足- ≤y< 的x的集合.

首先用图像法解：

第一种解法：

从图像得出符合条件的集合为：

[2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ）]∪[ +2kπ，2π+2kπ]（k∈Z）

第二种解法：

从图像得出符合条件的集合为[- +2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ]（k∈Z）.

点评：正余弦是周期函数，研究图像时，常取一个周期考虑，然后再加上周期性.正弦的一个周期常取[0，2π]，余弦的一个周期常取[-π，π]，得到上面第一种解法，图像分为三段，答案比较复杂.第二种解法有所改进，取的一个周期是[- ， ]，图像分为两段，答案比较简洁.学生在解题时常会困惑到底该取哪个周期比较合适，反而容易出错.

“坐标系”法：

第一步（准备）：画正弦坐标系，坐标轴按逆时针标上0，1，0，-1；

第二步（画终边）：在一、二象限用实线画正弦值为 的角的终边，在三、四象限用虚线画正弦值为- 的角的终边，此时坐标平面被分成四个区域；

第三步（定区域）：找出正弦值介于- 和 的区域，并用带有逆时针方向箭头的弧线标出；

第四步（确定角）：在同一周期取定四条终边对应的四个角，遵循原则：按逆时针方向角度从小到大.

结论：[- +2kπ， +2kπ）∪（ +2kπ， +2kπ]（k∈Z）.

点评：本方法最容易错的就是第四步，所以第三步中要用带有逆时针方向箭头的弧线标出区域，目的就是为了区分角的大小.第一象限那条终边对应的角如果取 ，而左边区域箭头指向它，所以第四象限那条终边对应的角要比 小，应取- ，而不是 .

应用二：已知角的范围，求正余弦的范围.

例3：已知- ≤x< ，求y=cosx的取值范围.

第一步（准备）：画余弦坐标系，坐标轴按逆时针标上1，0，-1，0；

第二步（画终边）：用实线画- 对应的终边，用虚线画 对应的终边，坐标平面被这两条终边分为两个区域；

第三步（定区域）：找出角介于- 和 的区域，并用带有逆时针方向箭头的弧线标出，目的：从小角指向大角；

第四步（观察值）：顺着箭头方向可以看出，cosx的值从 增到1，再从1减到- .

结论：-

点评：用“坐标系”法解已知正余弦的范围，求角的范围和已知角的范围，求正余弦的范围方法大致是一样的，这个方法的优点就是不需要作图，解题速度快且容易做对.

相关练习：

1.计算sin540°+cos270°-cos90°+sin180°.

余弦定理教案篇（4）

“以学定教”是“以生为本”的理念在课堂教学中的具体表现；“以学定教”是由“为学而教”所决定的。“教”的目的是“学”。首先要认真研究《正弦、余弦》教材、大纲以及参考资料，并根据我班学生的学业基础、学习能力、学习习惯制定了本节课的教学目标：① 理解并掌握正弦、余弦的含义，② 会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。③ 能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。根据教学目标制定课前自主学习部分：① 通过实际问题激发学生的求知欲，引出正弦、余弦的定义，② 通过给学生一个示范，帮助学生掌握解题方法，③ 通过由简到难，有梯度的设计了三个小练习加以巩固。设置的问题门槛高低不一，主要是让不同层次的学生通过自主学习体会和感受正弦、余弦的定义，以及简单的应用，为本节的课堂教学作知识储备，课堂例题选择就有了深度和广度。其次通过批阅教学案发现大部分学生对本节课的基本知识和方法已经掌握，只有个别同学没能掌握，因此我采取课外个别辅导的方法帮助他们解决困惑。

二、 多学少教，学教互动

“多学少教” 与“学教互动”是“以学定教”的延伸，也就是强调数学课堂中应以学生的学习活动为主体内容，为学生的学习留足时间和空间，为学生的学习创造平台，并适当引导，课堂教学中教师要尽可能地减少语言的密度，少讲，学生要尽可能地多讲，多思考，多讨论，多练习。通过自主学习，学生已经解决的问题，则不花时间讲；对学生有点困难的，让学生通过“生生互动”解决；对学生有很大困难的，再通过“师生互动”或教师重点讲解来解决。

首先：课堂上，留足时间让学生利用自主学习所获得的知识，解决教学案中检查建构的两题。目的是为了检查学生的预习情况，以便进行更为合理的教学。

1.ABC中，∠C＝90°，BC∶AC=3∶4,求sinA和cosA的值。

2.在RtABC中，∠C＝90°，cosA=1213，AC=24，求AB和sinB的值。

这两道题目非常简单，我通过实物展台展示两名数学薄弱生的解题情况，让其他同学帮助纠错，目的是为了发现他们的闪光点，对他们进行及时的表扬的同时，增强他们学习的自信心，并带动全班同学一起进步。

其次：在构建本节课的知识结构时，我则让数学薄弱生来谈你在预习中的收获！然后请其他优等生同学来加以补充，这样就能给不同层次的学生提供思考、创造、表现及成功的空间。充分激发了每位学生自主学习的积极性，调动学生全身心地参与学习，自主体现学习高效性。通过同学们自己的努力就能建构出本节课的知识体系是：① 正弦、余弦的定义；② 正弦、余弦的定义中，要注意强调在RtABC中，∠C＝90°；③ 三角函数的定义，重点强调三角函数的作用是反映直角三角形中边的比值；④ 等角的的三角函数值相等。

三、 精讲精练

课堂教学中做到精讲，就要求淡化教师的主导作用，突出学生的主体地位。精讲要在精字上下工夫，每个教师都有自己鲜明的个性特征，精讲要做到和自己的实际相结合，形成自己独特的教学风格。1.可以不讲的内容做到该放手时就放手，让学生唱主角，让学生表演，相信学生的能力，给学生自由发挥的时间和空间。2.可讲可不讲的内容尽量不讲，或者稍加启发、引导即可。不要事事包办，认为这里重要，那里也重要，每个地方都要讲到。 3.应该着重讲的内容要认真讲，讲清楚，即把时间用在刀口上，突出重点突破难点。

例如在RtABC，∠C＝90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD，cos∠BDC=35，求BC的长。

(1) 学生先做，同时老师要做好预习指导。当学生做题的时候，老师适时要参与进去，对学生的做题情况，通过观察、询问，发现学生遇到困难，教师要及时予以点拨，帮助学生度过难关。

(2) 学生讲：我是通过多媒体展示一名中等生的解题情况，并问你解决本题的关键是：把cos∠BDC=35转化为cos∠BDC=DCBD=35

(3) 同学质疑：同学们通过看刚才同学的解题过程，发表不同的看法。课堂上教师要是为学生创造条件，让学生发展自己的弹跳力，自己跳过横杆，而不是把学生托过横杆。教师应 “把舞台让给学生”，一个个学生的慷慨激昂，造成的是学生之间的聪明才智的相互传染，这不是教师一个人在那块瘠薄的土地所能比拟的。教师的责任，就是为学生创造条件，使学生得到更好的发展。

(4) 教师点评：① 知识点。② 解题的关键。③ 注意事项。④ 容易出现的错误。⑤ 一题多解的不同点与相同点。⑥ 重点、难点。教师点评的目的是为了帮助学生解决问题，激发学生的学习兴趣，优化学生的学习态度，使前后知识贯通，有时要根据情况进行有效的补偿教学。

(5) 反思整理解题过程。目的是通过一个例题解决一类问题，跳出就题论题的怪圈。师生互动，是师生思维碰撞的智慧火花，星星之火可以燎原。

最后精练，及时练习可起到巩固知识、技能的作用。

余弦定理教案篇（5）

关键词：HPM（数学史与数学教育）；探究

当我再次看到《数学通报》（2007年第8期）南京师范大学附属中学张跃红老师的“余弦定理”一课的教学设计时，我由衷地发出“返璞归真，自然而然”的感叹． 它让我觉得探究不再那么“高贵”，而是离我很近，离我的学生很近．

美国1991年出版的乔治.E.德博尔著的《科学教育思想史》指出：“在1950年后期开始的30年中，如果选择一个单词来描述科学教育的目的，那会是探究．”的确，在我国新课程改革中，探究也是被关注的焦点．

在实践中，一些探究过程复杂化，人为化，矫揉造作，让我们觉得望而生畏． 很多探究过程场面轰轰烈烈，所学知识的意义、来龙去脉却让学生感到费解，可谓关乎其形，忘乎其意． 深思这则教学设计，我发现借鉴数学史，深思数学学习的内容，认真研究数学史与数学教和学之间的关系，对我们认识、理解教学中探究过程的设计有着启发意义．

[⇩]以史为鉴 返璞归真

数学史的作用不仅体现在用数学家的故事和数学发展过程中的趣闻逸事、史料来吸引学生，而且数学发展过程中所展示的数学思维的连续性、完整性、思想性和本质性对于数学教育有着重要的启发作用．

从HPM视野看，追寻数学知识发展的历史足迹，让我们明确该如何引导学生开展探究，展现知识自然生成的过程，保证正确的探究方向．

一些余弦定理证明的教学，给我的感触最深．

方案1（详细过程可参见《数学通报》2007年第8期）

1. 在与实际生活的联系中提出问题，让学生借助已有知识（用勾股定理）解决问题.

2. 一般化，得出余弦定理（锐角），再讨论钝角和直角.

3. 统一角，寻求简单的证法（利用向量或坐标法等）. （注：教材上往往是直接给出向量法或坐标法的证明过程）

方案2

[A][D][C][B]

图1

第一层探索：

师生经过讨论，一致认为BC的长度与∠A的大小有关．

当∠A=90°，有a2=b2+c2（这是大家熟悉的勾股定理）；

当∠A>90°，有a2>b2+c2；

当∠A

归纳上面三种情况，在ABC中，必定有a2=b2+c2－k．

关于k，有两点需要探索.

1． k不是常数，它是关于α（∠A）的函数，可以写成k（α）.

2． 当α∈0

，时，k（α）>0；当α∈

，π时，k（α）

第二层探索：

k（α）=？

当α=30°时，CD=b，DB=c－b.

所以a2=

2+

c－b2=b2+c2－bc.

同理可得，

当α=60°时，a2=b2+c2－bc；

当α=120°时，a2=b2+c2+bc；

当α=150°时，a2=b2+c2+bc.

观察后，大胆猜想得出余弦定理为a2=b2+c2－2bccosα.

历史上，伴随着航海学和地理学的发展，人们开始对球面三角进行研究．阿拉伯数学家阿尔・巴塔尼在进行球面三角研究的过程中，利用平面三角的知识来证明球面余弦定理，他的方法是通过作出斜三角形某一个边上的高之后，将问题转化为求直角三角形的解，只是当时他并不知道平面三角形的正弦定理和余弦定理，而研究出的余弦定理的结果可以应用到证明球面三角形的余弦定理．

从这一点来看，方案1顺应了历史上知识产生的过程，从一开始就深深扎下了探索之根，使得探索过程不是无源之水．

尽管我们不可能完全展现人类认识和创造知识的过程，但可以数学史为背景，把数学历史上知识的发生过程与课堂上知识的生成过程自然融合，揭示知识的源头和动态发展的过程，其探究过程返璞归真、自然朴实、源远流长．

[⇩]以史为鉴 自然而然

探究是一个知道什么，为什么知道以及怎样达到知道的过程． 所以“知道什么”是一个探究的源头． 《国家科学教育标准》中提到“探究”不仅包含从事探究的能力，还包含了进行探究所需要的基础概念． 探究过程中学生必须运用他们已建构的概念进行探究，在此基础上建构新（未知）的科学概念． 在第一点中我们寻求了探究对象（或内容）的源头，作为教师，我们还必须认识到探究过程的主体 “知道什么”，并以此作为开展探究的源头．

正如在生物学中，德国生物学家海克尔（1834―1919）提出“个体的发展重现种系发展”的重现法则一样，数学发展的历史也是个体数学知识不断发展的历史，个体的认知过程在一定程度上是人类认知发展的缩影，往往呈现历史的相似性． 数学教育家波利亚的数学教育思想有两个基点，其一是关于对数学学习的认识，他认为生物发生律（也称重演律）可以运用于数学教学与智力开发，他曾在1962年发表了《数学教学与生物发生律》一文， 1965年又在《数学的发现》一书中进一步强调了人类的后代学习数学应重走人类认识数学的重大几步． 因此恰当地借鉴数学发展的历史，可以作为我们了解学生认知规律的一条途径，改善我们的教学．

历史上，当人们认识了勾股定理后，提出了如下的问题，在任意的ABC中，三边a，b，c又存在着什么样的关系？而人们认识这一问题，是将任意ABC的三边关系问题转化为直角三角形三边的关系问题，转化过程中，自然引进了角，从而产生了余弦定理最初的探索途径． 这恰是一个分类讨论的问题，其分类标准是A角为锐角、直角、钝角． 在课堂教学实践中，我们发现能够解决问题的同学中，100％的同学采用了以上方法，不能解决问题的同学则认为案例1更容易为他们所接受，他们用了一句话“显的平易近人”来形容自己的感受． 那是因为无论是古人还是学生，探索发现都是建立在合情推理的基础之上的，这一点很重要． 如果没认识到这一点，那将会使我们的探索过程误入歧途．

在案例2中，由归纳的三种情况得到，在ABC中，必定有：a2=b2+c2－k．

观察后，大胆猜想得出余弦定理：a2=b2+c2－2bccosα．

这些都不在学生最近认知可能发展的区域内，显得突然，让学生一下子失去探索的动力． 数学教学中，知识产生的过程展现不是把简单的问题复杂化，让学生在教师的牵引下硬着头皮“探呀探”．

在案例1中，不厌其烦地给出余弦定理的锐角、钝角和直角的讨论过程，可以让学生体验：（1）人们最初对余弦定理的认识过程； （2）这一认识过程是一个十分繁琐的证明过程；（3）我们现在的问题是能否化简上述论证过程．当我们还历史本来面目时，余弦定理的发生发展过程使我们感到赏心悦目，这必将引起学生学习的共鸣．

把余弦定理的历史浓缩到课堂上，从学生思维最近发展区的范围加以提炼和加工，从萌探索之芽到开探索之花，遵循学生的认知规律：从易到难，不断增强信心，激发学生创造新的意义． 实践证明：HPM视野下的探究过程以学生为本，探究过程因为源自于学生对事物的疑问和发现事物的愿望而成为一个活跃的动态过程，显得自然而然．

[⇩]结束语

《美国国家科学标准》的“科学作为探究标准”这一部分提出：“探究是一个超越‘科学作为一个过程’的步骤，……学生从事探究，目的是帮助他们发展．”学史可以使人明智，科学的本质在于探究，教育的本质在于发展．

余弦定理教案篇（6）

对于正弦定理，教材首先引导学生回忆初中对三角形的定性认识：任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系，就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中，边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦，就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理，考察结论是否适用于锐角三角形，可以发现asinB和bsinA实际上表示了锐角三角形边AB上的高。这样，利用高的两个不同表示，就容易证明锐角三角形中的正弦定理。钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式。如果∠A

2.用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用，教科书首先说明了什么是解三角形。应该注意，对于解三角形的描述是对传统的关于解三角形的一个简化。在传统的解三角形问题中，还把三角形的中线、高、角平分线等也作为三角形的元素。教科书对此作了简化的处理，仅把边和角作为元素。

上面的每一个等式都表示了三角形两个角和它们的对边的关系，因此，正弦定理可以用于两类解三角形的问题：

（1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。

（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

3.教科书用两个例题说明应用正弦定理解三角形的方法。在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形，教科书在探究与发现：“关于解三角形的进一步讨论”中对此作了说明。

4.对于余弦定理，教科书首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。根据判定三角形全等的方法，已知三角形的两条边及其所夹的角，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。解这个三角形，就是从量化的角度来研究这个问题。教科书先研究如何用已知的两条边及其夹角来表示第三条边，设法找出一个用已知的两条边及其夹角来表示第三条边的一个公式的问题。涉及边长问题，考虑用向量的数量积来加以证明。教科书利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角，这就是余弦定理的推论，也可以说是余弦定理的第二种形式。

5.应用余弦定理及其推论，并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题有：

（1）已知两边和它们的夹角解三角形。

（2）已知三角形的三边解三角形。

教科书中的例3和例4说明了余弦定理及其推论并结合正弦定理，可以解决的解三角形问题。在已知两边及其夹角解三角形时，可以用余弦定理求出第三条边，这样就把问题转化成已知三边解三角形的问题。

余弦定理教案篇（7）

一、案例背景

一堂好课即一堂学生学得好的课。好的课堂教学不是结果的教学，而是动态的思维活动的教学。教师可以设置一些好的问题，引导学生主动质疑、探究，实施“问题引导探究”，在探究过程中，让学生动手操作，生成智慧，发现数学的本质。

“两角和与差的余弦”这节课是苏教版《必修4》第三章“三角恒等变换”3.1 “两角和与差的三角关系”中的第一节内容，是在学习过第一章“三角函数”和第二章“平面向量”后学习的内容，可以借助三角知识，利用平面向量这个工具，加以研究。 因为和前面两章都有紧密的联系，需要用到前面两章的知识，所以这节内容的难度大，探究性强，所渗透的数学思想方法较多。 并且这节课为后面学习“两角和与差的正弦、正切”打下基础。

二、案例描述

（一）设置问题情境，实际背景中感知两角差的余弦公式形式特征

情境引入：

教师：同学们，翻到课本P90第22题，解决这个问题。 用向量数量积的两种形式求a・b，可以得到什么结论？

学生：cos？兹=cos75°cos15°+cos75°cos15°

教师：向量a，b的夹角是多少呢？（学生思考）

教师：如果要求两个向量的夹角，这两个向量要共起点，不妨设起点为O，设a=■，b=■，那么点P，Q在哪里呢？

学生：75°，15°角与单位圆的交点，夹角为60°。

（学生回答过程中，在黑板上画出直角坐标系和单位圆）

教师：可以得到什么结论？

学生：cos（75°-15°）=cos75°cos15°+sin75°sin15°

教师：如果这个结论可以推广到一般的形式，那么一般形式是什么呢？

学生：cos（？琢-？茁）=cos？琢cos？茁+sin？琢sin？茁

教师：那这就是我们这一节的任务：验证这个式子是否成立。

（板书：3.1.1两角和与差的余弦）

（二）类比特殊情况，继续创设问题，探究两角差的余弦公式

教：能不能借助刚才的研究方法来研究任意角？琢，？茁呢？

（学生自主探究。在探究的过程中引导学生分两种情况来研究：①若？琢∈[0，2？仔），？茁∈[0，2？仔），不妨设？琢>？茁；②若？琢，？茁是任意角，则存在？琢0，？茁0∈[0，2？仔），使得？琢=？琢0+2k1？仔，？茁=？茁0+2k2？仔，其中k1，k2∈Z）

教师：任意的两个角你觉得在什么范围内可以方便地在单位圆内显示出两角的大小关系呢？

学生： [0，2？仔）。

教师：回答得很好。那么两个角的大小对他们差的余弦值有没有影响？

学生：没有，因为cos（？琢-？茁）=cos（？茁-？琢）。

教师：非常好，试一试能否类比刚才15°，75°角的方法得到cos（？琢-？茁）=cos？琢cos？茁+sin？琢sin？茁。

（学生尝试得出结论）

教师：但是角？琢，？茁是任意角，如何把刚才的结论推广到任意角的范围呢？

学生：若？琢，？茁是任意角，则存在？琢0，？茁0∈[0，2？仔），使得？琢=？琢0+2k1？仔，？茁=？茁0+2k2？仔，其中k1，k2∈Z，cos（？琢-？茁）=cos（？琢0-？茁0）最终得出结论：对任意角？琢，？茁，有cos（？琢-？茁）=cos？琢cos？茁+sin？琢sin？茁成立。

（三）利用已知结论，探究两角和的余弦公式

教师：能否利用刚才推出的两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式呢？

（学生思考，探究推导）

学生：cos（？琢+？茁）=cos[？琢-（-？茁）]

（四）巩固延伸，拓展应用

例1：利用两角和（差）的余弦公式，求

（1）cos15°

（2）cos（■+？兹）+cos（■-？兹）

目的：正用公式，解决前面不能解决的问题。

例2：化简

（1）cos24°cos36°-sin24°sin36°

（2）sin25°cos115°-sin65°sin115°

目的：逆用公式，体会数学学习中的灵活性。

三、案例反思

（一）设置的问题要具有启发性、层次性、激励性、体验性

“问题是数学的心脏。”有效的问题设置至少要符合四个基本特征：一要有启发性，设置的问题要能够启发学生思考，让学生产生共鸣，让他们积极去寻找解决办法或答案。二要有层次性，问题的设置要由易到难，引导学生一步步走向目标，达到一节课的目的。三要有激励性，设置的问题要能够激发学生强烈的求知欲望，调动他们的思维，产生学习兴趣。四要有体验性，问题的设置应该顾及全班不同层次的学生，让每一位学生都能参与到学习中，体验知识形成的过程。

但是，本节课虽然经过精心的准备，还是有瑕疵，需要提醒各位同仁注意。比如，在最开始引入的时候，因为和前面三角函数知识相距较远，学生一时反应不过来，对点P，Q应该在单位圆上什么地方有些不清楚，这是课前预习工作没有做好。应该先提前复习一下三角函数的相关知识，或者提前用几个问题慢慢引导。

（二）给学生合适的时间

课堂的主体是学生。教师给出的每一个问题，都需要给学生一段时间思考，甚至要给学生小组交流合作讨论的时间，这样他们才不会感觉到知识产生得突兀和生硬。在这个过程中，教师的作用是引导，引导他们探究出正确结果。学生有了自己的思考，又有教师的引导和点拨，思维才会更加活跃，产生智慧的火花。所以，教师要杜绝害怕“冷场”的心理，尤其是公开课的时候更是要敢于给学生冷静的思考时间。

（三）允许不同的声音存在

余弦定理教案篇（8）

关键词 ：正弦曲线 零件图样分析 加工方案分析

随着机械制造业的发展，数控技术也在飞快发展，对于数控加工专业从业人员来说，不仅要掌握系统而扎实的数控理论知识，更要有过硬的实践能力，对特殊零件也应不断研究，不断实践，例如正弦曲线类零件在数控车床上的加工，如图1所示。

笔者结合多年的教学及实际操作经验，探讨正弦曲线类零件在数控车床上的加工工艺。

一、相关的理论知识

正弦曲线（图2）的峰值为A，则该曲线是X的正弦函数。

其中X为半径值，设曲线上任一点M的Z坐标值为ZM，对应的角度为γM。由于曲线一个周期为360o，对应在Z轴上的长度为L，则：ZM /L=γM /360，M点在曲线方程中对应的角度为：

二、加工准备

根据零件图，选择FANUC数控车床，φ45mm的铝合金棒料；选择35°的外圆机夹刀、4mm切断刀、游标卡尺、千分尺等。

三、工艺知识

1.零件图样分析

本例中难点是零件曲线部分由两个周期的余弦曲线组成，一个周期对应的Z向长度L为20mm，曲线的峰值A为4mm。我们可将余弦曲线转化成正弦曲线形式，看成是正弦曲线在Z向平移后得到的，即起点位置不同的正弦曲线，这样就可以用上述相关方程。对于这类可以用公式描述的曲线，一般都不能直接进行编程，必须经过数学处理后，以直线或圆弧逼近的方法来实现。但这样工作量大，因此最好采用计算机自动编程软件或宏程序编程。在这里，我们采用直线逼近法进行手工编制宏程序。

2.确定工件坐标系

以工件的右端面与轴心线相交的点为工件原点，采用手动试切法对刀，确定工件坐标系。

3.加工方案分析

（1）用三爪自定心卡盘装夹毛坯外圆，一次装夹，完成工件φ20mm、φ30mm、φ40mm外圆的粗精加工，保证外圆各项尺寸。

（2）不拆除工件，用宏程序完成余弦曲线的粗精加工。

（3）保证总长用切断刀切断工件。

（4）去毛刺倒棱，并对工件进行检测。

4.确定切削用量

切削用量根据机床性能、相关的手册并结合实际经验确定。

5.变量设定

（1）选择自变量。以角度γ为自变量，设为#101；正弦曲线上任一点M的X、Z坐标分别用#102、#103表示。

（2）确定自变量起止点的坐标值（即自变量的定义域）：[810°，90°]。

（3）用自变量表示因变量的表达式。将已知量A=4mm，L=20mm和自变量带入M点的函数关系方程即可。

四、编制余弦曲线粗精加工程序

用条件转移语句（IF语句）编制宏程序。余弦曲线精加工参考程序：

五、小结

本例中零件加工的关键是余弦曲线的宏程序编程。在宏程序的编制中，除了采用IF语句外，也可以采用WHILE语句，进行宏程序编程。另一关键点是在加工余弦曲线时刀具的正确选择，以避免在余弦曲线加工过程中，刀具的副刀刃与零件轮廓曲面发生干涉现象，造成工件表面缺陷。在此选用35°菱形刀片的外圆机夹刀。只有在实际加工中发现问题、解决问题，才能更好地将理论知识运用在实际工作中，更好地为企业、社会服务。

余弦定理教案篇（9）

提出问题：

师：请同学们翻到课本第10页。看习题1.1A组第2题的第(2)小题。题目是：在ABC中。a=lSem，b=10cm，∠A=60。，求c。

学生通过思考后能用正弦定理求解。

师：正弦定理我们是怎样推导的?三角证法的关键点是什么?

生：三角证法的关键是作高线，把解斜三角形问题转化为解直角三角形阃题。

此问题学生很难用正弦定理求解，对学生来说有一定的挑战性，此问题的设计给学生创设了很大的思维空间，学生思考后觉得比较难解，教师提示能用学过的知识解决，前面三角证法的关键点是作高线，这里是否也可以呢?学生通过作高线，作CDAB，垂足为D，在RtAADC和RtACDB中求出AD、CD与BD，用勾股定理求出BC(即a)的值，再次让学生感受三角证法的关键点是作高线。

然后给出了变式2：在ABC中，已知c，b，∠A，求a。

余弦定理源于向量和基于向量，它是“好看又好用”的又一数学典范。余弦定理向量证法的价值：向量的数量积是―个重要的工具。余弦定理向量证法基于一种新的数学结构――空间向量。

问题的引入：引用荷兰弗赖登塔尔数学研究所的一个问题“甲离学校10千米，乙离甲3千米，问乙离学校多少千米?”这问题太简单了，简直是小学生的问题。不过，该问题并没有说明甲、乙、学校三点是否在一条直线上。若三点在同一直线上，答案是13千米或7千米；若不在同一直线上，甲、乙、学校三点可以构成直角三角形，问题可以用勾股定理解决；若甲、乙、学校三点不能构成直角三角形，就变成已知三角形的“两边夹一角”如何确定第三边的问题，明确地指向余弦定理。

二、科学地解渎教材、合理地挖掘、利用教材

教材是课程的重要资源，是教师教学的重要依据和学生学习的重要文本。科学地解读教材，合理地挖掘、利用教材是每个教师必备的基本功，教师只有静下心来，仔细研究教材，充分发挥教材在教学中的引领作用，才能提高教学的有效性。教材是学术数学到教育数学转化的产物，教师使用教材的过程又是一个吸收和改造的过程。一节课教学设计的是否适合学生，首先取决于教师对整节课教学内容的准确把握。教师只有在认真研读新课标、全面理解全章节知识的基础上才能正确地把握整节课的教学内容，才能正确组织教学内容进行设计，才能明白本节课重点、难点，学生的疑点是什么。哪些内容不宜放在这一课，哪些知识在本节课学习比较合理，哪些知识适合后续学习；有没有必要在课堂上引领学生进行探究，习题该怎样变式，变式的核心是什么，问题的解决还有哪些方法，教学过程中要渗透什么数学思想方法，要培养学生什么能力等等，这些都值得教师深思。这要求教师从整体性、联系性的视角审视教学内容，应该根据学生的实际情况去进行教学，使教学设计不偏离数学本质。其实，余弦定理的证明方法很多，教材介绍了用极坐标证明余弦定理和复数证明余弦定理等等。为了培养学生对数学的兴趣，课后可以引导学生对定理给出新的证明方法。教师把握并使用教材是极富主动性、创造性的工作。在具体的教学过程中，我们要从学校、学生和自身的实际情况出发，主动地、合理地对教材进行解读，引领学生走进教材，要努力形成适合于自己、有益于学生的教学设计和方法。只要我们下真功夫研读教材，科学、合理、有效地用好教材，学生求知的星星之火定能成燎原之势。

余弦定理教案篇（10）

关键词：数学史;三角函数;教学设计

一、研究背景

国家教育部制订的《普通高中数学课程标准》的基本理念之一就是在高中数学课程中体现数学的文化价值，在适当的内容中提出对数学文化的学习要求，并明确规定数学史选讲纳入高中数学课程，但有关三角函数的历史却没有在课程中体现。现在数学史融入数学教学中的研究理论很强，但实际的具体操作方法很少，所以有很多数学史与数学教育的研究者提议要多研究一些关于数学史融入数学教学中的具体的案例。目前针对三角函数部分进行研究的人较少，主要查到了几篇关于数学史视角下的弧度制教学的论文，而且对正弦函数单独研究的人更少，这是由于正弦函数的历史比较零散，内容庞杂，研究时无法整段整段的研究。本文在前人研究的基础上，写了一份将数学史与弧度制教学结合的教学案例，继而通过设计正弦函数的模型来研究如何对正余弦函数的定义进行教学。

二、数学史视角下的弧度制教学

（一）关于数学史视角下弧度制教学的论述

课本中关于角的弧度制教学是通过测量同样的圆心角所对的弧长与半径，发现同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数。但相当多的高一学生感觉弧度很“糊涂”， 为了解决这个问题，研究数学历史上弧度制的产生及发展历程，发现其产生及发展的必要性，从数学史中找到答案则显得尤为重要。根据相关的论文，本人查到的几篇基于数学史的弧度制的教学，对弧度制教学引入数学史必要性提出以下证据：

1.很多人对弧度制概，念产生的动机缺乏正确的理解。有人认为在角度制里，三角函数是以角为自变量的函数，对研究三角函数的性质带来不便，引入弧度制后，便能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系，从而将三角函数定义在实数集或其子集上。事实上，无论是角度制还是弧度制，都能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系。只不过在建立一一对应时，弧度制为十进制，不需要换算，方便;在角度制里，若将 n°的角对应实数 n 也能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系，但是需要做 60进制的换算（例如 30°15′的角对应实数 30.25），不方便。但是使用的方便与否不足以说明弧度制产生的动机。

2.有人认为由弧长公式可得lr=nπ180，因此 l与 r 的比值只与圆心角的大小有关，而与所取的半径大小无关，因而把 l 与 r 的比值作为对应的圆心角的弧度数。当 l=r 时，比值为 1，所以把等于半径长的圆弧所对的圆心角作为 1 弧度的角。这样对学生讲也缺乏说服力，因为能够确定圆心角的大小而与所取的与半径大小无关的量有很多，如为什么不把等于半径长的弦所对的圆心角作为 1 弧度的角？

（二）教学过程设计

1. 历史链接：将圆分为360度源于数学史。360这个数实际上与圆的任何基本性质之间并没有任何关系。美索不达米亚的苏美尔人使用了六十进制，他们之所以选择这种位值制，可能是因为30，60，360这样的数能被许多数整除，巴比伦人和埃及人沿用了这种制度，将圆分为360等份，每一份所对的圆心角叫做 1 度，1度有60分，1分有60秒。埃及人还创用了度数的符号。

2 .弧度制产生的基础

随着对圆周运动的研究，对角的认识，角的单位发生了很大的变化和发展，且出现了很多的优势。最初，在平面几何里，我们把圆周分成 360 等份，每一份叫做 1 度的弧，把1 度的弧再细分就得到分和秒。1 度的弧所对的圆心角叫做 1 度的角。也就是说度、分、秒最初是度量圆弧这样的曲线的长度单位，在圆弧与圆心角之间建立一一对应后，度、分、秒便成了度量角的单位。 n°的角对应实数 n 也能在角的集合与实数集合之间建立一一对应的关系，但是需要做 60进制的换算。如下图：

六十进制的角度制十进制的角度制角度对应实数弧长表示

3030′30.530.530.5

我们可以看出当时的人们已经发现圆中角与弧长之间的一一对应关系。

这种方法是把圆周长的1360作为单位长度（长度单位不是我们学过的统一的国际长度单位，而是根据具体的实际情况取圆周长的1360）来测量弧长，此时的整个圆的长度为360，那么很显然我们可以求出半径为3602π，此时半径为无理数，不方便计算。印度数学家阿耶波多根据这种方法制作了正弦表时，就取π=3.14159，按 60 进制，整个圆周长是 360 度=21600 分。如果半径也用弧长的“分”作单位，由上式可推得 r=3437.746 分，略去小数部分，取半径为 3438 分。我们可以看到此时的计算数字非常的大，求角所对的弦或者弧的时候计算量很大。 在这可以举一个例子：倘若我们知道半径为3米，那么你能计算出30.50所对的弧长吗？根据扇形相似，对应边成比例我们可以得出设所对的弧长为x，则34383=30.5*60x，可得x=1.597。（给出合理解释：我们知道圆的大小形状可以由半径来确定，那么在确定了半径为3602π后，我们就可以得出圆的周长为360，而且存在着对于任意角α0有唯一的弧长为α的弧与之对应）。

3.弧度制的产生

经历千年之久后，1748 年欧拉主张用半径为单位来量弧长。设半径等于 1，那么整个圆周的长就是2π个半径，半圆周的长就是π个半径。此时是将圆周长划分为2π个单位长度，同样的圆心角360°也分为2π个单位长度，得到角的弧度制的表示方法。即如下：

角度制3601809057.296

弧度制2πππ21

这就是现代的弧度制。

根据北师大版高中课本弧度制的定义如下：在定义 1 度角的时候，先把圆周长分成 360 份，每一份弧所对的圆心角就是 1 度的角。类似地，在定义 1 弧度角时，以半径为单位，把圆周分成 2π 份，每一份弧所对的圆心角就是 1 弧度的角。这时，每一份的弧长就是半径长。因此，也有定义把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

角的角度制与弧度制的比较：两种角的单位在处理角度与弧长时都是一一对应的关系。利用角度制时，角度为α度的角所对的弧长为α. 利用弧度制，角度为αrad的角所对的弧长为α。可以发现根据扇形相似，对应边成比例可以得到通过这两种方法在已知弧所对的圆心角α，半径时，可以求出弧的长度。同样的在已知弧和弧所对的圆心角时，可以求出这个圆的半径，即这两种方法都揭示了对于任意圆心角α，其所对应的lr的比值是一定的。另外第一种方法是选择了半径为3602π，圆周长为360的圆作为单位圆来表示这种关系，而第二种方法是选择了半径为1，圆周长为2π的圆做为单位圆来表示这种关系。都是采用了单位圆直观形象的表示这种关系。 但相比较第一种，第二种的计算方便，所以在以后的学习中，我们一般都会用弧度制来表示角。

4. 角度与弧度的互化

因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360，所以

360=2πrad，180=πrad，1=π180rad

1rad=（180π）≈57.30=5718′

n=nπ180rad，nrad=（180nπ）

（角的角度制与弧度制间的转换公式3602π=角的度数角的弧度数，乃是基于一整圆得到的。也可以使用基于半周所得到的等价公式：180π=角的度数角的弧度数。）

三、数学史视角下的正弦函数教学

（一）关于正余弦函数教学的论述

高中数学北师大版必修四该章节是在初中学习的基础上，通过在单位圆中将锐角α的正弦函数坐标化得到锐角α的正弦函数值与余弦函数值的定义，继而将其推广到任意角α的正弦函数值，余弦函数值。最后是利用终边定义法的原理解释角α的正弦值是唯一确定的，与角α终边上点的选取无关。在教学过程中学生会很困惑：为什么要在角、该角与单位圆的交点两者之间定义这样的函数关系，感觉到莫名其妙。在以后的学习中会很容易得产生厌烦心理。

（二）正余弦函数教学过程设计（问题引导）

1.复习引入，揭示课题

在初中，我们学习了锐角的正弦函数和余弦函数，大家回忆一下，它是如何定义的？

在直角三角形中，锐角α的正弦函数为sinα=对边斜边，余弦函数为cosα=邻边斜边 即对每一个给定的（0，π2）内的角就可以得到一个正弦函数值（若以后不做说明，角的单位均为弧度）。

但初中所学的三角函数定义并不是三角函数的原始定义。在古代，数学家们在研究三角函数时，并不是以直角三角形为基础的，而是在圆中来研究的。

2.构建模型

本章第一节中我们了解了现实生活中存在着大量的周期现象。它的变化规律用什么数学模型来刻画呢？首先我们需要将圆周运动数学化，即转化为数学问题来解决。

研究圆周运动呢，即研究当物体沿圆形路径运动时，如何来确定某一刻它所在的位置，即倘若知道了任意时刻它的位置，那么我们就可以将其路径确定下来，它的变化规律也就可以研究了。

寻找圆周运动的函数模型，就是当点P 绕圆周运动时，如何来刻画点P 的位置。我们知道任意角是一条射线绕端点O旋转形成的，在角的变化过程中，角的终边上的点都绕点O 作圆周运动。因此，为了研究问题的方便，在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心，以 1 为半径作一个圆，这个圆我们称作单位圆。把点P 看做角 的终边与单位圆的交点，点P 坐标为（x，y）。

3.析出函数

问题 1：随着角α的变化，角α的终边与单位圆交点 P 的坐标也变化，那么角α与点P（x，y）之间有怎样的关系呢？（一一对应的关系）

问题 2：“说一说”什么叫点P 确定？角α 与它的终边OP 谁确定谁？

角α――终边OP ――点P（x，y）

①任意角 ――唯一的数x②任意角 ――唯一的数 y

问题 3：大家还记得函数的定义吗？任意角和它终边上的点P 满足函数的条件吗？

任意角α分别于点P 的横纵坐标满足函数关系

问题4：上面两个函数刻画了圆周运动中点的变化规律，那我们给他们取什么名字呢？请同学们能给任意角的三角函数下个定义吗？

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x，y），那么：①y叫做α的正弦，记作sinα，即 sinα= y;②x叫做α的余弦，记作cosα即cosα=x。

正弦、余弦都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。

4.函数规范化

（1），我们知道sinα=y，cosα=x。通常我们用x表示自变量，y表示函数值，那么任意角的三角函数该如何表示？

正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx

（2），我们知道我们函数中的变量x，y是变化的数，我们讲到x表示角的大小，那么x可以表示实数吗？

通过前一节角的弧度制的学习，我们知道弧度把角度单位与弧度单位统一起来，角的大小可以用角在单位圆中所对的弧长表示。所以x可以看做是角的弧度制表示的。这样三角函数就成为x为实数，y也为实数的函数，是数与数的对应关系。以后若不做特殊说明，角的单位均为弧度制。

5.补充正弦函数的历史，介绍数学家欧拉

目前所学的正弦函数的定义，并不是数学家们最初研究的成果。最初正弦函数的研究是从弧到弦长，后发展为角到弦长，再到比值的表示，这个过程历经了 20个世纪。

在古希腊时期，由希腊数学家托勒密制作出第一张有记载的正弦表，但那时的正弦值和现在的正弦值有所不同。在希腊时期也没有函数的概念，科学家为了研究天文学，从而产生了三角学，正弦函数只是三角学的一部分。随着历史的发展，三角学也逐渐丰富起来。和我们现在意义相同的正弦函数概念出现在18世纪，由瑞士著名的数学家和物理学家欧拉提出。

1748年欧拉在《无穷小分析论》中说：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。欧拉给出了包括正弦函数在内的六个函数的定义。欧拉提出的三角函数定义，使三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来，成为一门反映现实世界中某些运动和变化、具有现代数学特征的学科。欧拉不仅用直角坐标来定义三角函数，他还令圆的半径等于1，定义了单位圆，以相应线段与半径的比值定义三角函数，这样使得三角函数的定义更为简单。并引入了弧度制，从而使三角公式和计算大为简化。

参考文献：

[1]严士健，王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学必修4[M].北京：北京师范大学出版社，2010.9-16

[2]杜雨珊.三角学历史研究[D].辽宁：辽宁师范大学科学技术史，2009.

余弦定理教案篇（11）

数学课堂教学是一个复杂动态的过程，常常会有意外的场面出现，这就需要教师有较强的应变能力，根据课堂上的实际情况，抓住契机，适时的调整，创新教学内容。

案例1　关于“正弦定理”的教学

师：请同学们回忆初中都学过三角形的哪些知识?

短暂的沉默之后，经交流讨论碰撞出智慧的火花，回答的闸门一下子打开，同学们争先恐后，从三角形有三个顶点、三条边，到勾股定理，到三角形中大边对大角，到三角形的稳定性，甚至说到三角形的五心，林林总总，他们不求全，知道啥就说啥，自由得很，

生：我们还学习了三角形的面积公式：

SABC=1／2absinC=1／2bcsinA=1／2acsinB。

师：很好!把它当面积公式看，充分显示了数学的对称美，如换个角度看，把等式变形一下，则有a／sinA=b／sinB=c／sinC，这就是我们这节课要学习的正弦定理。

好一个“换个角度看”，这正是数学灵感的源泉，换个角度看，如果三角形中的∠C=90°，直角三角形的正弦边角关系，其实就是正弦定理的特例；换个角度看，其实锐角三角形、钝角三角形在它的外接圆中，角的正弦与边之间的关系都可以转化成圆内接直角三角形来研究，于是正弦定理的另一种形式a／sinA=b／sinB=c／sinC=2R就出现了。

当前，新课程改革正在走向内化，为个性化的数学课堂教学搭建了一个广阔的平台，在新课改理念下，数学课堂教学应坚持长期积累，不断实践得来的个性化教学方式

二、突出学生的自主探索与合作交流，调动思维的积极性

《数学课程标准》特别强调：教师要通过问题来支撑学生的学习活动，善于创设真实的问题情境，让学生的学习能够经历(具体)感知――(抽象)概括――(实际)应用这样的一个认知过程、把求知当作乐事，激发学生自主探求知识的积极性，在此过程中获得积极的情感体验。

案倒2　关于“三角函数的对称性”教学

正弦函数y=sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦函数y=sinx的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗?如果有，对称中心坐标是什么?另外，正弦曲线是轴对称图形吗?如果是，对称轴的方程是什么?你能用已经学过的正弦函数的性质解释上述现象吗?对于余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx，讨论上述同样的问题，将问题延伸到课外，可以让学生从中发现利用三角函数的图像和周期性来研究其对称性，同学们经过合作探讨，最后得出结论：正弦曲线、余弦曲线的对称中心都是曲线与x轴的交点，即平衡点，对称轴都正好是正弦或余弦函数值取到最大(小)值，而正切曲线对称中心包括曲线与x轴交点，还包括一些其他在x轴上的点。

三、激发兴趣是教学中最值得研究的课题

教学实践充分证明：学生对某学科学习的积极性的高低，学习效果的优劣，很大程度上取决于学生对该学科的兴趣的浓厚与否，这就需要教师动脑筋、想办法，通过一些数学故事，设计数学活动来吸引学生的注意力，提高课堂效果。

案例3　关于指数函数的教学

在讲授指数函数这节内容前，我先拿出一张白纸说：“虽然这张白纸只有0.1mm，但经过反复对折27次后，其厚度超过了世界第一高峰――珠穆朗玛峰的高度!”学生惊奇，疑惑不信，论证一下：对折一次厚度为0.1×2=0.2(mm)；对折两次厚度为0.1×4=0.4(mm)；……当对折第27次时，其厚度为0.1×227=13421.7728(m)，大于珠穆朗玛峰的高度8844m，再比如，教师在讲授等差数列前n项求和公式这节课时，先讲少年高斯速算1+2+3+…+100的故事，既吸引了学生，又为探求等差数列前n项和的公式埋下了伏笔，通过这种紧扣教材又生动有趣的问题解决，把学生引入诱人的知识境界，求知欲望由此激发，从而学习的积极性被充分调动。