函数教案大全11篇

函数教案篇（1）

(二)能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线；

(三)能从图像上由自变量的值求出对应的函数的近似值.

教学重点和难点

重点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象.

难点：对已知图象能读图、识图，从图象解释函数变化关系.

教学过程设计

(一)复习

1.什么叫函数?

2.什么叫平面直角坐标系?

3.在坐标平面内，什么叫点的横坐标?什么叫点的纵坐标?

4.如果点A的横坐标为3，纵坐标为5，请用记号表示点A(答：A(3，5)).

5.请在坐标平面内画出A点.

6.如果已知一个点的坐标，可在坐标平面内画出几个点?反过来，如果坐标平面内的一个点确定，这个点的坐标有几个?这样的点和坐标的对应关系，叫做什么对应?(答：叫做坐标平面内的点与有序数对一一对应)

(二)新课

我们在前几节课已经知道，函数关系可以用解析式表示.像y=2x+1就表示以x为自变量时，y是x的函数.

这个函数关系中，y与x的对应关系，我们还可以用在坐标平面内画出图象的方法表示.

具体做法是

第一步：列表.(写出自变量x与函数值的对应表)先确定x的若干个值，然后填入相应的y值.

(这种用表格表示函数关系的方法叫做列表法)

第二步：描点，对于表中的每一组对应值，以x值作为点的横坐标，以对应的y值作为点的纵坐标，便可画出一个点.也就是由表中给出的有序实数时，在直角坐标中描出相应的点.

第三步：连线，按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来，得到的图形就是函数式y=2x+1图象.

例1在同一直角坐标系中画出下列函数式的图像：

(1)y=-3x;(2)y=-3x+2;(3)y=-3x-3.

分析：按照列表、描点、连线三步操作.

解：

它们的图象分别是图13-25中的(1)，(2)，(3).

例2某化我厂1月到12日生产某种产品的统计资料如下：

(1)在直角坐标系中以月份数作为点的横坐标，以该月的产值作为点的纵坐标画出对应的点.把12个点画在同一直角坐标系中.

(2)按照月份由小到大的顺序，把每两个点用线段连接起来.

(3)解读图像：从图说出几月到几月产量是上升的、下降的或不升不降的.

(4)如果从3月到6月的产量是持逐平稳增长的，请在图上查询4月15日的产量大约是多少吨?

解：(1)，(2)见图13-26.

(3)产量上升：1月到2月；3月，4月，5月，6月逐月上升；10月，11月，12月逐月上升.产量下降：8月到9月，9月到10月.产量不升不降：2月到3月；6月到7月，7月到8月.

(4)过x轴上的4.5处作y轴的平行线，与图象交于点A，则点A的纵坐标约4.5，所以4月15日的产量约为4.5吨.

(三)课堂练习

已知函数式y=-2x.用列表(x取-2，-1，0，1，2)，描点，连线的程序，画出它的图象.

(四)小结

到现在，我们已经学过了表示函数关系的方法有三种：

1.解析式法——用数学式子表示函数关系.

2.列表法——通过列表给出函数y与自变量x的对应关系.

3.图象法——把自变量x作为点的横坐标，对应的函数值y作为点的纵坐标，在直角坐标系描出对应的点.所有这些点的集合，叫做这个函数的图像.用图象来表示函数y与自变量x对应关系.

这三种表示函数的方法各有优缺点.

1.用解析法表示函数关系

优点：简间明了.能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算.

缺点：在求对应值时，有进要做较复杂的计算.

2.用列表法表示函数关系

优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便.

缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律.

3.用图象法表示函数关系

优点：形象直观.可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化.

缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值.

函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点.因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法.在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图像.

(五)作业

1.在图13-27中，不能表示函数关系的图形有().

(A)(a),(b),(c)(B)(b),(c),(d)(C)(b),(c)(e)(D)(b),(d),(e)

2.函数的图象是图13-28中的().

3.矩形的周长是12cm，设矩形的宽为x(cm),面积为y(cm2).

(1)以x为自变量，y为x的函数，写出函数关系式，并在关系式后面注明x的取值范围；

(2)列表、描点、连线画出此函数的图象.

4.(1)画出函数y=-x+2的图象(在-4与4之间，每隔1取一个x值，列表；并在直角坐标系中描点画图)；

(2)判断下列各有序实数地是不是函数.y=-x+2的自变量x与函数y的一对对应值，如果是，检验一下具有相庆坐标的点是否在你所画的函数图像上：

5.画出下列函数的图象：

(1)y=4x-1;(2)y=4x+1.

6.图13-29是北京春季某一天的气温随时间变化的图象.根据图象回答，在这一天：

(1)8时，12时，20时的气温各是多少；

(2)最高气温与最低气温各是多少；

(3)什么时间气温高，什么时间气温最低.

7.画出函数y=x2的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺次连结各点)；

8.画出函数的图象(先填下表，再描点，然后用平滑曲线顺序连结各点)：

作业的答案或提示

1.选(C).因为对应于x的一个值的y值不是唯一的.

2.选(D).当x＜0时，｜x｜=-x,所以,当x＞0时，｜x｜=x,所以

3.

(1)y=x(6-x)其中0＜x＜6，(图13-30).

(2)

4.

5.

见图13-32.

6.(1)8时约5℃，12时约11℃，20时约10℃.

(2)最高气温为12℃，最低气温为2℃.

(2)(2)14时气温最高，4时气温最低.

7.

课堂教学设计说明

1.在建立平面直角坐标系后，点的坐标(有序实数对)与坐标平面内的点一一对应；不同的坐标与不同的点一一对应；函数关系与动点轨迹一一对应.把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种重要的思想方法.

2.本课的目标是使学生会画函图象，并会解读图象，即会从图象了解到抽象的数量关系.为此，先在复习旧课时，着重提问会标平面上的点与有序实数对一一对应.接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤.

3.教学设计中的例3，即训练学生从已有数据画图象，又训练学生逆向思维、解读图象、在图象上估计某日产量的能力.对函数图象功能有一个完整的认识.

4.在小结中，介绍了函数关系的三种不示方法，并说明它们各自的优缺点.有利于对函数概念的透彻理解.

5.作业中的第1～3题，对训练函数概念及函数图象很有帮助.

第1题，目的要说明，对于x的一个值，必须是唯一的值与之对应.而(b),(c),(e)都是对于x一个值，y有不止一个值与之对应，所以y不是x的函数.本题还训练解读形的能力.

函数教案篇（2）

二、教学重点

形成增减函数的形式化定义。

教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。

三、教学过程

师：日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降,上下楼梯也是一样。

问题1：函数y=x的图象是如何变化的？

生：交流并观察y=x的图象，发现从左到右呈上升趋势。

师：观察y=x2图象，指出图象的升降情况，并与y=x进行比较，指出它们的不同点。

生：观察图象发现在左侧下降，右侧上升。不同点是：不同函数其变化趋势不同，同一函数在不同区间的变化趋势也不同。

师：一般的，设函数f（x）的定义域为I，区间A?哿I：如果对于区间A内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）［f（x1）＞f（x2）］，那么就说f（x）在这个区间上是单调增（减）函数。

师：你认为增、减函数定义中的关键词是什么？

生：定义域内某个区间。

师：很好！

师：讲解例1（如图）定义在区间［-5，5］上的函数y=f（x）的图象，根据图象说出y=f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f（x）是单调增函数还是单调减函数。

生：得到答案［-5，-2］，［1，3］减；［-2，1］，［3，5］增

师：对函数的单调减区间学生易错写成［-5，-2］∪［1，3］的形式加以澄清，并举反例加以说明。

■

师：讲解例2，说出函数f（x）=■的单调区间，并证明在该区间上的单调性。

生：用定义尝试证明，碰到困难。

师：区间分为（-∞，0），（0，+∞），证明略。

师：证明单调性的步骤：

（1）取值：设x1，x2是给定区间上的任意两个值，且x1＜x2；

（2）作差与变形：作差f（x2）-f（x1），变形，一般化成几个因子积的形式（或平方和形式）；

（3）判断：确定f（x2）-f（x1）的符号；

（4）下结论。

生：尝试练习画出f（x）=3x+2的图象，判断它的单调性，并加以证明。

课堂小结：本堂课我们学习了：1.函数单调性的定义，对于区间A内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）［f（x1）＞f（x2）］，那么就说f（x）在这个区间上是单调增（减）函数。2.证明单调性的步骤、取值、作差与变形、判断、下结论。

函数教案篇（3）

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2012）10-0077-02

根据我校的课改要求，本人在校本教材与校本练习开发中，就课案设计构思上作了如下安排，课堂效益与辅导效果良好。

一、化归铺垫，认知数与形的结合

1.将非零有理指数变形为分数的形式： p、q既约，分母q为正整数，分子p为非零整数；当有理指数为整数时，分母q=1。

2.在第一象限，作三条辅助线x=1【过点（1，1）的x轴的垂线】；y=1【过点（1，1）的y轴的垂线】；y=x【过点（1，1）的第一象限的角分线】。

并将y=1变形为y=x0【补充规定当x=0时，y=1】；y=x变形为y=x1 。

3.分别作二次函数y=x2，反比例函数y=以及函数y=x的图象并观察：

①在第一象限中，观察抛物线、双曲线及y=x图像与三条辅助直线的位置关系：

y=x2在直线x=1的右侧位于直线y=x1之上，而有理指数>1；

y=x在直线x=1的右侧位于直线y=x0与y=x1之间，而有理指数0

y=x-1在直线x=1的右侧位于直线y=x0之下，而有理指数

②判断三个函数的奇偶性，观察有理指数转化为既约分数后分子、分母的奇偶性：

y=x2是偶函数，y=x2可变形为y=x，=，分母q为正奇数，分子p为正偶数；y=x-1为奇函数，y=x-1可变形为y=x，=，分母q为正奇数，分子p为负奇数；

y=x为非奇非偶函数，=，分母q为正偶数，分子p为（正）奇数。

4.①分析y=x，y=x分别与直线x=，x=4交点与三条辅助直线的相对位置关系；

②分析y=x，y=x分别与直线x=，x=8交点与三条辅助直线的相对位置关系；

③分析y=x，y=x分别与直线x=，x=4交点与三条辅助直线的相对位置关系。

5.讨论y=x，y=x，y=x，y=x在y轴左侧的图象情形，分析指数分数的符号，分母q、分子p的奇偶性。

二、分类讨论，合情归纳推理

第一类情形：分数为大于1的正数（>1）

在直线x=1的右侧，y=x位于直线y=x1的上方，第一象限的图象示意图为：

（一） 分母q为正偶数，分子p恒为正奇数（举例如：y=x）

1.自然定义域为[0，+∞）（偶次根式 中，xp≥0，x≥0）

2.y=x为非奇非偶函数，图象如图1-1

3.值域为[0，+∞）（图象在y轴上的正射影为y正半轴，包括原点）

4.图象恒过点（1，1）以及原点。

（二）分母q为正奇数，分子p为正奇数（举例如：y=x3）

1.自然定义域为R（奇次根式中xp∈R，x∈R）

2.y=x为奇函数，推知图象如图1-2

3.值域为R（图象在y轴上的正射影为y轴）

4.图象恒过点（1，1）以及原点。

第二类情形：分数为小于1的正数（0

在直线x=1的右侧，y=x位于直线y=x0与y=x1之间，第一象限的图象示意图为：

（一） 分母q为正偶数，分子p恒为正奇数（举例如：y=x）

1.自然定义域为[0，+∞）（偶次根式中，xp≥0，x≥0）

2.y=x为非奇非偶函数，图象如图2-1

3.值域为[0，+∞]（图象在y轴上的正射影为y正半轴，包括原点）

4.图象恒过点（1，1）以及原点。

（二）分母q为正奇数，分子p为正奇数（举例如：y=x）

1.自然定义域为R（奇次根式中，xp∈R，x∈R）

2.y=x为奇函数，推知图象如图2-2

3.值域为R （图象在y轴上的正射影为y轴）

4.图象恒过点（1，1）以及原点。

第三类情形：分数为负数（

在直线x=1的右侧，y=x位于直线y=x0的下方，第一象限的图象示意图为：

（一） 分母q为正偶数，分子p恒为负奇数（举例如：y=x）

1.自然定义域为（0，+∞）（代数式中，x-p>0，x>0）

2.y=x为非奇非偶函数，推知图象如图3-1

3.值域为（0，+∞）（图象在y轴上的正射影为y正半轴，包括原点）

4.图象恒过点（1，1），不过原点。

（二） 分母q为正奇数，分子p恒为负奇数（举例如：y=x-1）

1.自然定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）（代数式中，x-p≠0，x≠0）

函数教案篇（4）

指数函数是高中数学的重点内容之一，从教学要求看，一是理解指数函数的定义;二是掌握指数函数的图像与性质。下面是笔者在公开教学中对指数函数教学设计的三处改进。

案例一:新课引入的改进

(一)原始设计

1.复习旧知:

②函数y=x的定义域是

2.引入新课:师问:函数y=()与函数y=x，从形式上看有什么不同?生答:从形式上看，前者指数是自变量，后者底数是自变量。(引入课题)

(二)改进设计

1.创设情境:有人说，将一张白纸对折50次以后，其厚度超过地球到月球的距离，你认为可能吗?设白纸每张厚度为0.01mm，已知地球到月球的距离约为380000千米。

对折的层数y与对折次数x的函数关系式是什么?设纸的原面积为1，对折后纸的面积z与对折次数x又有什么关系?(y=2x，z=()x)

2.提出问题:师问:能发现y=2x，z=()x的共同点吗?

学生思考片刻，教师提示:从形式上，有什么共同点?并用红粉笔标出指数x。

生答:指数x是自变量，底数是大于0且不等于1的常数。(引入课题)

(三)教学反思

凯洛夫的“五环节”教学理论:“复习旧课—导入新课—讲授新课—巩固—作业” 目前还深深地影响着我们的教学。但如果总是这样一成不变，就显得呆板与程式化。我们现在上课总喜欢说:“今天我们学习……”。教师不说，学生不问，教师怎么讲，学生就怎么学。我们知道，数学来源于生活，又应用于实践。在原始设计中，先复习与新授知识相关的内容，然后再从实际引入新课，与教材编排相一致，这样就数学讲数学，显得枯燥无味，很难调动学生的学习兴趣。为此，从学生感兴趣的一个生活实例出发，引起学生注意与争议，教师再创设实际问题情境，就激发了学生的学习兴趣，牢牢地吸引了学生的注意力，增强了学生的求知欲望，强化了学生内在的学习需求，巧妙地导入了新课。

案例二:多媒体使用的改进

(一)原始设计

1.电脑作图:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。

2.观察猜想:教师引导学生观察y=2x、y=()x的图像，猜想y=3x的图像形状。

3.电脑验证:教师用几何画板做出y=3x的图像，验证猜想。

4.归纳猜想:由特殊到一般，给出指数函数的图像分为01两类，并用多媒体演示它们的图像特征和性质。

(二)改进设计

1.学生作图:在教师的指导下学生分组后用几何画板作y=2x、y=()x的图像。然后，让学生在电脑上作y=3x，y=5x y=10x，y=0.2x，y=0.7x等函数的图像，并对图像形状的变化加以观察与讨论。

2.猜想形状:让学生猜想函数y=8x，y=0.3x的图像形状，师生讨论，并列出有关观察结论。

3.分组探究1:一般地指数函数的图像大致有几类(几种走势)?

4.分组探究2:分别满足什么条件的指数函数图像大致是图1、图2?

5.电脑验证:用几何画板作y=ax(a>0且a≠1)图像，任意改变a的值，展示底变化对图像的影响。

(三)教学反思

原始设计，多媒体演示放在猜想之后，仅仅起了一个验证的作用，体现不了计算机辅助教学的目的，有点画蛇添足，成了一种花架子。

改进之后，按照“动手操作—创设情境—观察猜想—验证证明”的思路设计，首先电脑作图，为学生观察、交流创设情境;然后，引导学生深入细致地观察图像，学生在相互争论、研讨的过程中进行民主交流，倾听他人意见，分享研究成果，猜想出图像分两种情形;最后，再用多媒体验证猜想。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯，激发了学生的求知欲，增强了学习的自信心，张扬了学生的个性，顺利地解决了这一教学难点。

我们在使用计算机辅助教学时，千万不要忘记“辅助”二字，辅助在不用多媒体教学时的难点处，辅助在点子上，而不能为了用多媒体而用多媒体。

案例三:指数函数的性质发现过程的改进

(一)原始设计

1.师生作图:教师作y=2x的图像，以作示范。然后学生模仿作y=()x的图像，以巩固作图方法。

2.电脑演示:教师用多媒体演示y=2x、y=()x的作图过程。

3.观察特征:教师引导学生观察上述两个图像的特征，并推广到一般情形。

4.归纳性质:根据图像特征，写出它们的性质。

(二)改进设计

在前面学生分组用多媒体做出y=2x，y=()x，y=3x，y=5x，y=10x，y=0.2x，y=0.7x等函数图像的基础上，教师引导学生观察、讨论、归纳得出性质。

1.自主观察:对一般的指数函数，图像有哪些特征?

2.分组讨论:学生分组讨论后，展示讨论的结果。除得到图像的一般特征，更值得一提的是，有的学生还说出了函数y=2x与y=()x的图像关于y轴对称等特征。

3.归纳性质:根据图像特征，写出它们的性质。

4.作示意图:根据指数函数的性质，教师让学生作出y=8x，y=0.6x等函数图像的示意图。

师:观察与猜想是一种感性认识，并不表示结论一定正确，还需要进行理性证明……

(三)教学反思

新课程标准指出:要改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现象，倡导主动学习、乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力及交流合作的能力。因此，教师要把学习过程中的发现、探究、研究等认知活动突显出来，使学习过程更多地成为学生发现问题、研究问题及解决问题的过程。

上述两种设计都注重让学生从事有意义的数学活动，都涉及了学生的探索活动和经常使用的研究方法，如从特殊到一般，再由一般到特殊，类比、联想、猜想等。

原始设计在实际教学中，活动缺乏内在联系，加上教师的束缚，活动单一，学生得出图像分两类显得较为生硬，接着研究的一般情形又似乎来得“突然”，从特例到一般情形并未起到搭桥引渡的作用，形成了一个认知难点。这样的设计没有真正发挥学生的主体作用，实际上还是教师主导着课堂，牵着学生走，还是在教知识、教教材，是一种主导性教学模式。

改进后，改变了教学方法，教师放弃了全程主导，把学习的主动权交给了学生，由他们自己去观察、去发现，在学生交流、研讨、互动的过程中，学生观察深入，思维活跃，富有创造性。教师则以学生伙伴的角色参与学生的认知学习，在与学生的互动交流中指导学生，并积极地关注、倾听学生的交流。这样设计符合学生的认知规律和思维习惯，为学生营造了安全的心理环境，学生非常顺利地学习了指数函数的性质，而且学生觉得这些思想方法是非常自然的，可以学到手且以后能用得上，为今后的学习作了必要的铺垫，这是一种典型的指导性教学模式。

学生是学习的主人，自主学习是他们的天然权利，任何硬性灌输和强制训练都是侵犯学生学习主权的行为。

参考文献

函数教案篇（5）

一、问题的提出

新课程理论指出：学生学习知识不单是从教师授课的课程中获取，还需要学生结合教师的指导以及同学的合作，将自身的学习经验运用于一定的情境中，主动构建以获取课堂知识。理论主要阐述学生是学习的主体，课堂知识的获取应以学生主动学习为重心，而教师的作用只是辅导或促进学生获取知识。几年来，笔者通过对新课程理论的学习和实践，发现在中学数学教学中若能贯彻这一原则，数学课堂将是一种高效的活动。

二、教材中的地位

众所周知，初中教纲中已经涉及初步探讨正比例函数、反比例函数、一次函数以及二次函数的图象与性质。高中数学《指数函数的图象与性质》这节内容是在指数范围扩充到实数的基础上引入指数函数的，而指数函数是高中研究的第一种具体函数。由此可知，指数函数的图象与性质是课程知识学习的重点，而正确理解和掌握底数a对函数变化的影响是学习的难点。本节课主要是要求学生利用描点法画出函数的图象，并描述出函数的图象特征，从而指出函数的性质。通过这样的授课活动，从而使学生强化从形到数的熟悉，体验研究函数的过程与思路，实现意识的深化。

三、教学背景设计

新课改给予了我们全新的教学理念，在新教材的教学中，笔者慢慢体会到新教材渗透的、螺旋式上升的基本理念，知识点的形成过程经历从具体的实例引入，形成概念，再次运用于实际问题或具体数学问题的过程，它的应用性、实用性更明显的体现出来。学数学重在培养学生的思维品质，经过多年的数学学习，学生还是害怕学数学，尤其高中的数学，对于学生来说显得很抽象。所以，如果再让学生感到数学离我们的生活太远，那么将很难激发他们的学习爱好。在教学中要尽力抓住知识的本质，以实际问题引入新知识。另外，就本章来说，指数函数是学习函数概念及基本性质之后研究的第一个重要的函数，让学生学会研究一个新的具体函数的方法比学会本身的知识更重要。在这个过程中，所有的知识都是生疏的，在大脑中没有形成基本的框架结构，需要老师的引导，使他们逐渐建立。数学中任何知识的形成都体现出它的思想与方法，因而授课中注重让学生领悟其中的思想，运用其中的方法去学习新的知识是非常重要的。

四、教学目标确立

1．知识目标：准确理解指数函数定义，初步掌握指数函数图象与性质，并能简单应用。

2．过程与方法：由实例引入指数函数的概念，利用描点作图的方法做出指数函数的图象，（有条件的话借助计算机演示、验证指数函数图象）由图象研究指数函数的性质，利用性质解决实际问题。

3．能力目标：一是探讨指数函数的图像与性质，培养学生观察、分析和归纳能力，并使学生进一步了解数形结合的数学思想方法；二是分析指数函数变化规律，使学生能掌握函数变化的基本分析方法。

【教学过程】

由实际问题引入：

问题1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……以此类推，1个细胞经过x次分裂后，细胞个数y与x的函数关系表达式是什么？

分裂次数与细胞个数：1，2；2，2×2＝22；3，2×2×2＝23；……；x，2×2×……×2＝2x，归纳：y＝2x。

问题2：某种放射性物质经过不断放射会转为其它物质，该物质每经过1年放射后占原先物质总量的84％，x年后该物质的剩留量y与x的函数表达式是什么？

经过1年，剩留量y＝1×84％＝0．841；经过2年，剩留量y＝0．84×0．84＝0．842…… 经过x年，剩留量y＝0．84x。

寻找异同：由以上两个实例中，能归纳总结出函数表达式的异同点吗？

共同点：以上两个实例中，变量x与y函数表达式都为指数函数形式，底数都为常数，自变量为指数；不同点：底数的取值不同。

下面，我们来学习一个新的基本函数：指数函数。指数函数的定义：函数表达式为y＝ax（a＞0且a≠1）的函数叫做指数函数。我们在以前所学的函数中，函数表达式为y＝kx＋b（k≠0）的函数是一次函数，函数表达式为y＝k／x（k≠0）的函数是反比例函数，函数表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数是二次函数。对于其一般形式上的系数都有相应的限制。问：为什么指数函数对底数有这样的要求呢？

若a＝0，当x＞0时，恒等于0，没有研究价值；当x≤0时，无意义。

若a＜0，当x＝0，……时是无意义的，没有研究价值。

若a＝1，则x＝1，y是一个常量，也没有研究的必要。

所以有规定a＞0且a≠1。

由定义，我们可以对指数函数有一初步熟悉。

进一步理解函数的定义：

指数函数的定义域：在我们学过的指数运算中，指数可以是有理数，当指数是无理数时，也是一个确定的实数，对于无理数，学过的有理指数幂的性质和运算法则都适用，所以指数函数的定义域为R。

研究函数的途径：

由函数的图象的性质，从形与数两方面研究。函数的应用是函数学习的重要课堂目标，通过探讨分析函数图象与性质，从而使用函数的图象与性质解决实际问题以及数学问题。根据以往的经验，你会从那几个角度考虑？（图象的分布范围，图象的变化趋势，……）函数图象分布与函数的定义域和值域有关，函数的变化规律表现出函数的单调性。引导学生从定义域，值域，单调性，奇偶性，与坐标轴的交点情况着手开始。

首先做出指数函数的图象，以具体函数入手，让学生以小组形式取不同底数的指数函数画它们的图象，将学生画的函数图象展示，（画函数图象的步骤是：列表、描点、连线）。 最后，老师在黑板（电脑）上演示列表，描点，连线的过程，并且画出取不同的值时函数的图象。要求学生描述出指数函数图象的特征，并试着描述出性质。

数学演变过程表明，任何重要的数学概念从提出到发展都有着丰富的经历，新课程教学理论中已经较好地阐述出这点。在新课程理论指导下，学生要了解数学知识的学习是一种数学化的过程，也就是说，学生通过仔细观察和思考常识材料并经过分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，对常识材料进行归纳总结。文章案例正是从数学实验过程研究以及数学知识研究的角度进行设计，学生的思维过程可能没有重演人类对数学知识探索的全过程，然而学生通过数学实验的观察和思考，并经历分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，能真切地感受将数学知识数学化的探索过程，从而激发学生学习数学知识的兴趣，并能了解数学知识的一些研究方法。

学生学习的数学知识虽是前人已经提出并发展好的，然而课堂要求掌握的数学知识对于学生来说是全新的，需要学生经历自身的思维活动再现数学知识形成的过程。教师应该把教学设计成学生动手操作、观察猜想、揭示规律等一系列过程，学生的探索、分析与思考，侧重于过程的探究及在此过程中所形成的一般数学能力。

函数教案篇（6）

(2)能应用指数函数概念解决简单的数学问题；

(3)从图像和解析式的不同角度研究指数函数性质；

(4)培养学生主动学习、合作交流的意识，使学生获得研究函数的规律和方法。

二、教学重点与难点

(1)教学重点：指数函数的概念、图像和性质。

(2)教学难点：对底数的分类，如何由图像、解析式归纳指数函数的性质。

三、教学过程

1.利用电子白板的特点，创设有效的数学情景、提出问题、引入课题

电子白板投出：“某种细胞分裂的示意图”(如图1所示)， 提出问题：这种细胞每过30分钟就由1个分裂成2个，设想经过900分钟(15个小时)后会产生多少个细胞？

图1

学生回答后，教师在白板上拖动文本框，公布估算的数据：900分钟后细胞总个数10.74亿个。

教师提问：在上面这个问题中，细胞个数用y表示，分裂的次数用x表示，y与x之间的关系是什么？

学生得出公式y=2x( x∈N* )

问：如果经过990分钟(16.5小时)后细胞总数是多少？

师生用白板计算：990分钟后细胞总个数85.90亿个。

教师：y=2x 就是我们今天要学习的指数函数。

设计意图：利用白板创设问题情境，引出课题―指数函数，让学生体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律，激发学生学习新知的兴趣和欲望。

2.利用电子白板进行师生互动、探究新知，找出规律

(1)指数函数的定义

教师在电子白板上投影关系式 y=0.84x

叙述：我们在本章开始的学习中，接触到一个与y=2x 类似的关系式，y=0.84x。

问题：①y=2x 和y=0.84x这两个解析式有什么共同特征？(是指数形式)

②它们能否构成函数？(能)

③它们是否是我们已学过的函数类型？(否)

教师通过上述问题，引导学生观察上述两个函数的共同特点：指出指数函数的表达式的特点，指数是自变量。用字母a代替底数，上述两式可以表示成y=ax的形式。称作指数函数。

设计意图：人天生有模仿和尝试的欲望，学生此前已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，这时用白板创设一个看似认识，但又不同的函数，引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型，在具体问题中抽象出共性，激发学生的学习兴趣，建立概念。

(2)指数函数中底数的分类

问题：在指数函数中，底数可以为下列3类吗？

①a＜0

②a=0

③a=1

你能写出上述3种情况下的指数函数形式吗？

学生上台在电子白板上书写几个符合上述条件的指数函数形式。

教师引导学生分析上述底数与指数之间的关系，说明一般情况下不研究这3种情况的指数函数。本课我们主要研究当a＞0且a≠1时的指数函数的性质。

问学生： y＝2×3x是指数函数吗？

教师分析：有些函数式貌似指数函数，实际上却不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为 y＝(a-1)x，其中a-1＞0，且a-1≠1。

例题讲解：下列函数为指数函数的有 ② ③ 。

①y=x2 ； ②y=8x； ③y=(2a-1)x(且a≠1)；④ y=(-4)x。

学生在白板上用拖动的方式，将②，③2个正确答案的序号拖到填空线上。

设计意图：底数的分类是本节课的难点，只有认识清楚底数a的特殊规定，才能理解指数函数的定义域；并为后续学习打好基础。让学生通过白板写出三种情况下的指数函数形式，然后指出问题，可使学生加深印象，再通过练习强化概念的理解和应用。

(3)指数函数的图像和性质

教师在电子白板上投影(见表1)：

表1 分析y＝ax的图像和性质

请学生分成小组讨论，完成上表中的图象和解析式。

学生活动：分成两组，一组讨论指数函数的解析式，另一组研究指数函数的图像；然后进行交流。

交流、总结：教师在电子白板上用几何画板软件，改变参数a的值，追踪y＝ax的图像，让学生在图像的变化过程中，观察图像的变化规律和指数函数的性质。

师生共同总结指数函数的图像和性质，教师边总结边在电子白板上分步显示表1的图像和解析式(见表2)。

表2 分析y＝ax的图像和性质

设计意图：通过学生的自主探索、合作学习，变被动为主动，学生成为学习的主人，让学习过程成为一种自觉的行动，从而加深学生对指数函数图像和性质的理解、记忆。

3.应用典型例题理解概念

(1)练习：在同一平面直角坐标系中画出y=3x和 y=(1/3)x的大致图像，并说出这2个函数的性质；

(2)例1：已知指数函数f(x)=ax的图像经过点 (3,27)，求f(0)，f(1)，f(-3) 的值。

(3)例 2： 比较下列各题中两个值的大小。

①1.82.5，1.83.2 ；②0.61.2 ，0.6-1.2 ；③1.50.6 ，0.61.5 。

根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？

教师用电子白板讲解、画图、板书，与学生互动交流、小结。

设计意图：例题设计围绕所学的内容，引导学生理清思路，在熟悉指数函数单调性的基础上学会构造指数函数方法，利用单调性比较两个幂的大小。解题后及时引导学生进行小结，总结在数学活动中所获取的数学经验，领悟数形结合的数学思想方法。

4.巩固训练提升总结

(1)若函数y =(a－1)x 在R 上为减函数，则a的范围为

(2)已知下列不等式，比较m，n 的大小。

① am

② am>an ( a＞1 )；

③ m=a2.5，n=a3(a＞0，a≠1 )。

设计意图：检查教学目标是否达成，对学生出现的错误，师生及时用白板进行纠正。

四、教学反思

本节课的设计力求能体现新课程的教学理念，采用如下教学模式：创设情境学生活动意义建构形成概念知识运用回顾反思。

利用白板工具，改变教学方法，创设情境，从不同的角度理解指数函数，通过对比总结得到指数函数的性质，让学生体会研究方法。

白板的使用，增强了课堂教学的交互性，操作性，学生在动手操作的过程中学习知识，形成概念，探究方法，反馈练习，提高了教学的有效性。

参考文献

函数教案篇（7）

2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.

3.在学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.

教学重点,难点

重点是奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断

难点是对概念的认识

教学用具

投影仪,计算机

教学方法

引导发现法

教学过程

一.引入新课

前面我们已经研究了函数的单调性,它是反映函数在某一个区间上函数值随自变量变化而变化的性质,今天我们继续研究函数的另一个性质.从什么角度呢?将从对称的角度来研究函数的性质.

对称我们大家都很熟悉,在生活中有很多对称,在数学中也能发现很多对称的问题,大家回忆一下在我们所学的内容中,特别是函数中有没有对称问题呢?

(学生可能会举出一些数值上的对称问题,等,也可能会举出一些图象的对称问题,此时教师可以引导学生把函数具体化,如和等.)

结合图象提出这些对称是我们在初中研究的关于轴对称和关于原点对称问题,而我们还曾研究过关于轴对称的问题,你们举的例子中还没有这样的,能举出一个函数图象关于轴对称的吗?

学生经过思考,能找出原因,由于函数是映射,一个只能对一个,而不能有两个不同的,故函数的图象不可能关于轴对称.最终提出我们今天将重点研究图象关于轴对称和关于原点对称的问题,从形的特征中找出它们在数值上的规律.

二.讲解新课

2.函数的奇偶性(板书)

教师从刚才的图象中选出,用计算机打出,指出这是关于轴对称的图象,然后问学生初中是怎样判断图象关于轴对称呢?(由学生回答,是利用图象的翻折后重合来判定)此时教师明确提出研究方向:今天我们将从数值角度研究图象的这种特征体现在自变量与函数值之间有何规律?

学生开始可能只会用语言去描述:自变量互为相反数,函数值相等.教师可引导学生先把它们具体化,再用数学符号表示.(借助课件演示令比较得出等式,再令,得到,详见课件的使用)进而再提出会不会在定义域内存在,使与不等呢?(可用课件帮助演示让动起来观察,发现结论,这样的是不存在的)

从这个结论中就可以发现对定义域内任意一个,都有成立.最后让学生用完整的语言给出定义,不准确的地方教师予以提示或调整.

(1)偶函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做偶函数.(板书)

(给出定义后可让学生举几个例子,如等以检验一下对概念的初步认识)

提出新问题:函数图象关于原点对称,它的自变量与函数值之间的数值规律是什么呢?(同时打出或的图象让学生观察研究)

学生可类比刚才的方法,很快得出结论,再让学生给出奇函数的定义.

(2)奇函数的定义:如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就叫做奇函数.(板书)

(由于在定义形成时已经有了一定的认识,故可以先作判断,在判断中再加深认识)

例1.判断下列函数的奇偶性(板书)

(1);(2);

(3);;

(5);(6).

(要求学生口答,选出1-2个题说过程)

解:(1)是奇函数.(2)是偶函数.

(3),是偶函数.

前三个题做完,教师做一次小结,判断奇偶性,只需验证与之间的关系,但对你们的回答我不满意,因为题目要求是判断奇偶性而你们只回答了一半,另一半没有作答,以第(1)为例,说明怎样解决它不是偶函数的问题呢?

学生经过思考可以解决问题，指出只要举出一个反例说明与不等.如即可说明它不是偶函数.(从这个问题的解决中让学生再次认识到定义中任意性的重要)

从(4)题开始,学生的答案会有不同,可以让学生先讨论,教师再做评述.即第(4)题中表面成立的=不能经受任意性的考验,当时,由于,故不存在,更谈不上与相等了,由于任意性被破坏,所以它不能是奇偶性.

教师由此引导学生,通过刚才这个题目,你发现在判断中需要注意些什么?(若学生发现不了定义域的特征,教师可再从定义启发,在定义域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,从而发现定义域应关于原点对称,再提出定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的什么条件?

可以用(6)辅助说明充分性不成立,用(5)说明必要性成立,得出结论.

(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.(板书)

由学生小结判断奇偶性的步骤之后,教师再提出新的问题:在刚才的几个函数中有是奇函数不是偶函数,有是偶函数不是奇函数,也有既不是奇函数也不是偶函数,那么有没有这样的函数,它既是奇函数也是偶函数呢?若有,举例说明.

经学生思考,可找到函数.然后继续提问:是不是具备这样性质的函数的解析式都只能写成这样呢?能证明吗?

例2.已知函数既是奇函数也是偶函数,求证:.(板书)(试由学生来完成)

证明:既是奇函数也是偶函数,

=,且,

=.

,即.

证后,教师请学生记住结论的同时,追问这样的函数应有多少个呢?学生开始可能认为只有一个,经教师提示可发现,只是解析式的特征,若改变函数的定义域,如,,,,它们显然是不同的函数,但它们都是既是奇函数也是偶函数.由上可知函数按其是否具有奇偶性可分为四类

(4)函数按其是否具有奇偶性可分为四类:(板书)

例3.判断下列函数的奇偶性(板书)

(1);(2);(3).

由学生回答,不完整之处教师补充.

解:(1)当时,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.

(2)当时,既是奇函数也是偶函数,当时,是偶函数.

(3)当时,于是,

当时,,于是=,

综上是奇函数.

教师小结(1)(2)注意分类讨论的使用,(3)是分段函数,当检验,并不能说明具备奇偶性,因为奇偶性是对函数整个定义域内性质的刻画,因此必须均有成立,二者缺一不可.

三.小结

1.奇偶性的概念

2.判断中注意的问题

四.作业略

五.板书设计

2.函数的奇偶性例1.例3.

(1)偶函数定义

(2)奇函数定义

函数教案篇（8）

电子表格Excel软件的使用是遵义师范学院非计算机专业的一门公共必修课《计算机文化基础》课程的一个模块,它数据处理功能强大,具有完备的函数运算、精美的自动绘图、方便的数据库管理等功能,主要用来管理、组织和处理各种各样的数据,方便用户使用,其中本章节学生学习的一个重难点在公式与函数的学习上,如何设计一个综合案例能把常见的函数与公式使用尤为重要。

1案例设计

设计一个16级物理本科(1)班学生成绩表的案例,首先输入基本数据信息,然后把常用的函数和公式的使用进行教学。

2案例分析

(1)利用AVERAGE函数计算各科成绩的平均分。

(2)利用公式计算总评成绩,总评=平均分×0.7+操行×0.3。

(3)利用MAX函数计算各科成绩最高分。

(4)利用MIN函数计算各科成绩最低分。

(5)利用SUM函数计算各科成绩的总分。(6)利用RANK函数根据总评成绩计算学生排名情况。

(7)利用SUMIF函数计算男、女生总评成绩之和。

(8)利用IF函数计算等级,总评成绩大于等于85为优秀,小于60为不及格,其余为及格。

3案例知识点讲解

3.1公式

公式的一般形式为:＝<表达式>。表达式可以是算术表达式、关系表达式和字符串表达式等,表达式可由运算符、常量、单元格地址、函数及括号等组成,但不能含有空格,公式中<表达式>前面必须有“=”号。

3.2函数

Excel2010函数是系统为了解决某些通过简单的运算不能处理的复杂问题而预先编辑好的特殊算式。函数包括函数名、括号和参数3个要素。函数名称后紧跟括号,参数位于括号中间,其形式为:函数名([参数1[,参数2[,…]]]),不同函数的参数数目不一样,有些函数没有参数,有些函数有一个或多个参数。一个函数有一个唯一的名称。

4案例实践步骤

(1)用AVERAGE函数计算平均分,选择I4单元格,选择【公式】选项卡下的【插入函数】命令按钮,在【插入函数】对话框中选择函数“AVERAGE”,单击确定,打开【函数参数】对话框,在Number1中输入D4:H4,单击确定按钮,使用填充柄“＋”完成其余学生平均分的计算。

(2)利用公式计算总评成绩,总评=平均分×0.7+操行×0.3。单击k4单元格,在编辑栏中输入“=i4*0.7+j4*0.3”,然后回车确定,再利用填充柄“＋”计算其余学生总评成绩。

(3)利用MAX函数计算各科成绩最高分。单击D12单元格,利用【公式】选项卡下的【插入函数】命令按钮,在【插入函数】对话框中选择函数“MAX”,单击确定,打开【函数参数】对话框,在Num-ber1中输入D4:D11,单击确定按钮。使用填充柄“＋”完成其余课程最高分的计算。

(4)利用MIN函数计算各科成绩最低分。单击D13单元格,在编辑栏输入“=MIN(D4:D11)”。利用使用填充柄“＋”完成其余课程最低分的计算。

(5)利用SUM函数计算各科成绩总分。单击D14单元格,在编辑栏输入“=SUM(D4:D11)”。利用使用填充柄“＋”完成其余课程总分的计算。

(6)RANK函数根据总评成绩计算学生排名情况。单击L4单元格,在编辑栏输入“=RANK(k4,$k$4:$k$11)”,回车确定,再利用填充柄“＋”计算其余学生排名。

(7)在学生成绩表中利用SUMIF计算男、女生总评成绩之和。先计算男生总评成绩之和,女生总评成绩之和方法相同,单击D15单元格,选择“SUMIF”函数,在弹出的函数参数对话框中,“Range”参数里输入“C4:C11”,在Criteria参数里输入条件“男”,在Sum_Range参数里输入“k4:k11”。

(8)利用IF函数计算等级,总评成绩大于等于85为优秀,小于60为不及格,其余为及格。单击M4单元格,在其中输入“=IF(k4>=85,"优秀",IF(0k4<60,"不及格","及格"))”。

5结语

在Excel教学中设计了学生成绩表案例,包含了公式和函数的使用,使学生理解了公式使用必须先输入等号,然后根据Excel中提供的+、-、*、/等符号进行表达式计算。函数包括了AVERAGE、SUM、MAX、MIN、RANK、IF、SUMIF等,主要使用【公式】选项卡下的插入函数命令按钮,然后根据不同函数的参数要求按实际情况的需要进行设置,通过此案例的教学,大多数学生能够理解了函数的应用,其中RANK、IF、SUMIF这几个函数还需多加练习和体会,才能真正学以致用。

参考文献

函数教案篇（9）

(1)能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本，弄清题中出现的量及其数学含义．

(2)能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题，并调动函数的相关性质解决问题．

(3)能处理有关几何问题，增长率的问题，和物理方面的实际问题．

2.通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．

3.通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．

教学建议

教材分析

（1）本小节内容是全章知识的综合应用．这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本小节的重点，根据实际问题建立数学模型是本小节的难点．

（2）在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，指数函数的概念及其性质，对数概念及其性质，和二次函数的概念和性质．在方法上涉及到换元法，配方法，方程的思想，数形结合等重要的思方法．．事业本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识．

教法建议

（1）本节中处理的均为应用问题，在题目的叙述表达上均较长，其中要分析把握的信息量较多．事业处理这种大信息量的阅读题首先要在阅读上下功夫，找出关键语言，关键数据，特别是对实际问题中数学变量的隐含限制条件的提取尤为重要．

（2）对于应用问题的处理，第二步应根据各个量的关系，进行数学化设计建立目标函数，将实际问题通过分析概括，抽象为数学问题，最后是用数学方法将其化为常规的函数问题(或其它数学问题)解决．此类题目一般都是分为这样三步进行．

（3）在现阶段能处理的应用问题一般多为几何问题，利润最大，费用最省问题，增长率的问题及物理方面的问题．在选题时应以以上几方面问题为主．

教学设计示例

函数初步应用

教学目标

1.能够运用常见函数的性质及平面几何有关知识解决某些简单的实际问题．

2.通过对实际问题的研究，培养学生分析问题，解决问题的能力

3.通过把实际问题向数学问题的转化，渗透数学建模的思想，提高学生用数学的意识，及学习数学的兴趣．

教学重点，难点

重点是应用问题的阅读分析和解决．

难点是根据实际问题建立相应的数学模型

教学方法

师生互动式

教学用具

投影仪

教学过程

一.提出问题

数学来自生活，又应用于生活和生产实践．而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法．如刚刚学过的函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．今天我们就一起来探讨几个应用问题．

问题一：如图，是边长为2的正三角形，这个三角形在直线的左方被截得图形的面积为，求函数的解析式及定义域．(板书)

(作为应用问题由于学生是初次研究，所以可先选择以数学知识为背景的应用题，让学生研究)

首先由学生自己阅读题目，教师可利用计算机让直线运动起来，观察三角形的变化，由学生提出研究方法．由学生说出由于图形的不同计算方法也不同，应分类讨论．分界点应在，再由另一个学生说出面积的计算方法．

当时，，(采用直接计算的方法)

当时，

．(板书)

(计算第二段时，可以再画一个相应的图形，如图)

综上，有，

此时可以问学生这是什么函数?定义域应怎样计算?让学生明确是分段函数的前提条件下，求出定义域为．(板书)

问题解决后可由教师简单小结一下研究过程中的主要步骤(1)阅读理解；(2)建立目标函数；(3)按要求解决数学问题．

下面我们一起看第二个问题

问题二：某工厂制定了从1999年底开始到2005年底期间的生产总值持续增长的两个三年计划，预计生产总值年平均增长率为，则第二个三年计划生产总值与第一个三年计划生产总值相比，增长率为多少?(投影仪打出)

首先让学生搞清增长率的含义是两个三年总产值之间的关系问题，所以问题转化为已知年增长率为，分别求两个三年计划的总产值．

设1999年总产值为，第一步让学生依次说出2000年到2005年的年总产值，它们分别为：

2000年2003年

2001年2004年

2002年2005年(板书)

第二步再让学生分别算出第一个三年总产值和第二个三年总产值

=++

=．

=++

=．(板书)

第三步计算增长率．

．(板书)

计算后教师可以让学生总结一下关于增长率问题的研究应注意的问题．最后教师再指出关于增长率的问题经常构建的数学模型为，其中为基数，为增长率，为时间．所以经常会用到指数函数有关知识加以解决．

总结后再提出最后一个问题

问题三：一商场批发某种商品的进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促进销售，拟采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法，试验表明，礼品价格为1元时，销售量可增加10%，且在一定范围内礼品价格每增加1元销售量就可增加10%．设未赠送礼品时的销售量为件．

(1)写出礼品价值为元时，所获利润(元)关于的函数关系式;

(2)请你设计礼品价值，以使商场获得最大利润．(为节省时间，应用题都可以用投影仪打出)

题目出来后要求学生认真读题，找出关键量．再引导学生找出与利润相关的量．包括销售量，每件的利润及礼品价值等．让学生思考后，列出销售量的式子．再找学生说出每件商品的利润的表达式，完成第一问的列式计算．

解：．(板书)

完成第一问后让学生观察解析式的特点，提出如何求这个函数的最大值(此出最值问题是学生比较陌生的，方法也是学生不熟悉的)所以学生遇到思维障碍，教师可适当提示，如可以先具体计算几个值看一看能否发现规律，若看不出规律，能否把具体计算改进一下，再计算中能体现它是最大?也就是让学生意识到应用最大值的概念来解决问题．最终将问题概括为两个不等式的求解即

(2)若使利润最大应满足

同时成立即解得

当或时，有最大值．

由于这是实际应用问题，在答案的选择上应考虑价值为9元的礼品赠送，可获的最大利润．

三．小结

通过以上三个应用问题的研究，要学生了解解决应用问题的具体步骤及相应的注意事项．

四．作业略

五．板书设计

2．9函数初步应用

问题一：

解：

问题二

分析

函数教案篇（10）

在课堂教学中，我们主张有意义学习，反对机械学习。有意义学习，就是通过文字符号或其它符号使学生在头脑中获得相应的认知内容的学习。其学习过程的实质是符号所代表的新知识与学生认知结构中已有的适当知识建立非人为的（非任意的）和实质性的（非字面的）联系。

根据学习任务的复杂程度，有意义学习分为三种类型：代表学习、概念学习和命题学习。这是一堂典型的概念学习课，它的实质是让学生掌握事物的共同的关键特征（关键属性）。获得概念的形式有两种：一种是让学生从大量事物的不同例证中独立发现，称为概念形成，另一种是教师用定义的方式直接向学生呈现，然后由学生利用认知结构中原有的有关概念理解新概念，称为概念同化。

义务教育新教材对认知发展尚未成熟的初中学生，在理论上降低了逻辑严谨性要求。根据从具体到抽象的认知规律，教材比较多的运用了形象思维和直觉思维，减少了学生的学习困难。形象思维是借助对数学对象的具体形象和表象的联想来进行的思维，可以经常联系生活实际、图表和模型表现数学内容，通过联想、类比、归纳而抽象出数学概念，也可以使数学概念具体化、形象化。直觉思维是具有意识的人脑对数学对象的结构及规律性关系的敏锐想象和迅速判断。它的特点是思维过程无明确的意识，也没有清晰的推理过程，思维过程在一刹那间完成（即“顿悟”），主要形式是想象和猜测。可以这样说，逻辑是证明的工具，而直觉是发现的工具。因此根据本节课教材的组织程序和教学大纲要求，学生学习进行的方式可采用发现学习的形式（苏联奥苏伯尔观点，美国布鲁纳倡导），先用概念形成的程序引入函数概念，然后同化函数概念，达到获得函数概念的目的。经过研究，我们取得了如下的共识：

一、依据教学大纲和节前框，本节课的教学目标应该是要求学生能分清实例中出现的常量与变量、自变量与函数，使学生了解函数的意义及三种表示法。

二、紧扣教材，充分运用教材获得函数概念。

1．借助教材编写者精心设计的章头图（第82页）引入教学，体现函数这个重要的数学概念源于实践、寓于实践的哲学观点。

上课伊始，让学生观察章头图。这幅图分上、中、下三部分。通过对上、下四幅画的观察得到某日白天的气温高、风力小；深夜的气温低、风力大，具体生动地说明了时间和气温是两个变量，时间和风力也是两个变量。接着利用学生前节课（平面直角坐标系内容）刚刚获得的认知结构观察中间部分（气温图），发现一天二十四小时内，当时间每取一个值时，气温都有唯一的值与它对应，向学生展示了：在一个问题的研究过程中，往往存在两个变量的运动变化状况，并且它们满足某种函数关系这样一个数学现象（实例）。

2．重点讲解第91页的例子：一辆汽车以30千米／小时的速度行驶，行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）有怎样的关系呢？利用学生已有的认知结构（匀速运动规律：S＝Vt），开展学生学习活动。

通过讨论，采用列表的形式，发现在这个问题的研究过程中，速度V是常量，路程S和时间t是两个变量，并且当变量t每取一个值时，就可以相应地得出变量S有唯一的一个值。通过上述两例的知觉水平的分析，辨别不同的刺激模式，舍去事物的特定物质运动的形态，提炼出两个研究对象中共同的关键属性，抽象为数量及关系的研究，就得出了函数的定义，深入浅出地揭示了用语言文字符号表示函数（这一步属于有意义学习的代表学习的范畴）这个数学概念的形成过程，获得了反映现实或者说代表现实的一个抽象概念———函数。

三、同化概念，使函数的意义有效地固定在学生的认知结构中。

在初步获得函数要领的意义后，可通过第92页的圆的面积S（cm2）与半径R（cm）间的关系：S＝πR2来理解常量与变量、自变量与函数这些新概念，并进一步综合上面引入函数定义的两例，将函数概念与学生认知结构中的有关观念进一步分化和融合贯通，指出两个变量构成的函数关系有的可以用数学式子（等式）表示，有的可以用列表或图表示，有的三种表示方法兼而有之，达到了同化概念、强化函数关键特征的目的，为以后学习具体函数及其图像奠定了基矗

四、把握好概念的掌握的教学环节。

所谓概念的掌握就是指获得了按一类事物的共同的关键属性进行反应的能力。教师在设计测验来检验学生是否真正获得概念时，有两点是值得注意的：（1）要区分学生是知识的理解还是知识的机械记忆；（2）要区分学生是根据关键特征掌握概念，还是根据无关特征回答有关概念问题。这是一个十分重要的教学环节，要形成学生主动学习的高潮。

1．用提问和板演的形式要求学生完成第92页练习的两题。学生根据常量与变量、自变量与函数的定义，直接从知觉上觉察它们的意义，迅速回答问题。

函数教案篇（11）

【点评】设计画一次函数图像既复习了上节课的内容:如何画一次函数的图像。又为本节课学生合作与探究提供了素材。

温故而知新

1.作函数图像的步骤是什么?

2.一次函数图像是什么?如何快速作出它?

合作与探究

我先用实物投影仪展示学生课前画的图像,让学生互相纠正错误后,展示正确的图像。

我让学生带着以下三个问题进行合作与探究:(要求小组合作时记下讨论结果)

(1)你发现一次函数图像的变化趋势有几种?何时会有你说的那种变化趋势?

(2)图(1)中:自变量x增大时函数值y有何变化?图(2)呢?

(3)你能说出图(1)中的三条直线分别经过哪几个象限?为何它们经过的象限不同?图(2)呢?

【设计意图】这种设计可以让学生明确所需合作的内容,避免学生无所适从。

在上述问题中,问题(1)学生很快就能答出来,变化趋势有两种上升和下降。我设置了这样一个问题:对于同一条直线从左往右看可能是上升的而从右往左看就是下降的,该如何完善你的结论?由学生总结得出当k>0时,从左到右看函数的图像是上升的;当k

问题(2)学生讨论得出k>0时y随x的增大而增大。我趁热打铁再抛一个问题给学生:图(1)中:自变量x减小时函数值y有何变化?学生很快得出k>0时y随x的减小而减小。在此基础上我总结出k>0时,xy的变化相同。由图(2)学生很快就能得出k

由学生总结得出一次函数y=kx+b的性质1:

(1)当k>0时,y随x的增大而增大,从左到右看函数的图像是上升的;

(2)当k

板书设计:

一次函数y=kx+b的性质1:

(1)当k>0变化趋势:?坭 x?坭y?坭或x?坨y?坨变化相同,

(2)当k

【点评】这种板书较为清晰、形象,便于学生理解和掌握。特别便于学生发现两者变化是相同还是相反。

合作与探究

已知点(-1,a)和(0.5,b)都在直线y=2x+C上,你能比较a和b的大小吗?

【教学反思】本题是这节课的难点,但是因为一次函数y=kx+b的性质1是学生自己总结发现的,学生很快就说出答案,并说出理由:k=2>0,xy的变化相同,-1

变式训练:

(1)已知点(-1,a)和(0.5,b)都在直线y=-2x+C上,你能比较a和b的大小吗?

(2)已知点(a,-1)和(b,0.5)都在直线y=-2x+C上,你能比较a和b的大小吗?

继续回到引入的两幅图,解决问题(3),学生回答出它们与y轴的交点不同故而它们经过的象限有所区别。我继续设疑:图像与y轴的交点由什么决定?学生讨论总结得出一次函数y=kx+b的性质2:

(1)当b>0时,一次函数的图像与y轴的交点在y轴正半轴上;

(2)当b=0时,一次函数的图像与y轴的交点在原点;

(3)当b

板书设计:

一次函数y=kx+b的性质2:

b>0b=0b

【点评】这种板书和前面的一样较为清晰形象,便于学生理解和掌握。

讲完两个性质后,我和学生一起总结得出k、b结合在一起就可以决定一次函数的大致图像了。

合作与探究

(1)你能快速作出y=4x+5的大致图像吗?并说出它经过哪几个象限?

(2)你能快速作出y=kx+b(k

【设计意图】由特殊到一般,符合学生的认知规律。

变式训练:k的符号有两种情况,b有三种情况,共有六种组合。请单数列同学给偶数列同学出题(任一种组合),画出大致图像并说明y是怎样随着x的变化而变化,图像经过的象限,然后偶数列同学给奇数列同学出题。

【教学反思】在学生互相出完题后,我并不让他们直接报出答案,而是让一名学生说出他出的题目,别的同学立刻动手解决,然后请刚才那位学生的同桌公布答案,让别的学生来判断他的答案是否正确。这样几个来回学生就能够熟练掌握一次函数的图像的两个性质了。

合作与探究

1.根据下面的图像,确定一次函数y=kx+b中k、b的符号。

2.一次函数y=kx+b中,kb>0,且y随x的增大而减小,则它的图像大致为()。

ABCD

3.已知一次函数y=(m-2)x+m-4。

(1)当m=时,直线经过原点,此时y随x的增大而。

(2)当m=时,直线与x轴交于点(1,0)。

(3)当m时,y随x的增大而减小。

(4)当m时,图像与y轴的交点在y轴负半轴上。

【点评】本题全由学生合作完成后再讲评。(1)、(3)、(4)题学生很快就解决了,且正确率很高。但第(2)题学生卡住了,不理解题意。我设问:(1,0)在x轴上吗?在直线y=(m-2)x+m-4上吗?当学生明白点(1,0)在直线y=(m-2)x+m-4上,问题就迎刃而解了。

知识大盘点

一次函数的图像的形态有几种?

一次函数y=kx+b图像的大致位置跟k,b的关系。

作业布置

《补充习题》5.3(2)《合作学习》5.3(2)