函数最值的应用大全11篇

函数最值的应用篇（1）

 

重点难点

求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类型的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法来处理；还可以通过数形结合利用三角函数的图象或其他几何意义求解.

 

重点：明确三角函数的最值的常见类型和处理方法，能运用转化思想，通过变形、换元等方法熟练地求解三角函数的值域和最值.

难点：三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的角的取值范围，还要注意弦函数的有界性. 含参数三角函数的最值的分类讨论也是一个难点.

 

方法突破

函数最值的应用篇（2）

在二次函数的实际应用中，二次函数的顶点纵坐标并不一定为最大值，我们应具体问题具体分析，如下题：

例1.如下图，某鸡场要建一个矩形的养鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙，（墙长20米），另三边用木栏围成，木栏长100米，设AB=x米，矩形的面积为S平方米，那么x为多少时，S的值最大？

错解：AB=x BC=100-2x

S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

a=-2

当x=25时，Smax=1250

正确解答：

AB=x BC=100-2x

S=AB・BC=x（100-2x）=-2x2+100x=-2（x-25）2+1250

由题意可得：0

解得：40≤x

a=-225

S随x的增大而减小

当x=40时，Smax=-2（40-25）2+1250=800

点评：很多学生在学习中经常犯这样的错误，他们认为利用二次函数求最大值，只要求出二次函数表达式，并将之化为顶点式，顶点纵坐标即为最大值，而没有考虑自变量的取值范围，此题中的顶点就不在自变量范围内，因此最大面积就不会取到1250，又由于自变量x的范围全部在对称轴x=25左侧，根据二次函数的增减性，我们可知当x=40时，S会有最大值。

误区二：二次函数开口向上没有最大值

例2.根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图（1）所示，种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）。（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？

图（1） 图（2）

解：（1）设y1=kx（x≥0），设y2=ax2（x≥0）则由题意可得：

2=k，2=4a 解得：k=2，a=0.5 y1=2x，y2=0.5x2

（2）设这位专业户种植树木和花卉能获得的利润为w万元，其中投资x万元种植树木，则投资（8-x）万元种植花卉，由题意可得：w=y1+y2=2（8-x）+0.5x2=0.5x2-2x+16=0.5（x-2）2+14 a=0.5>0，当x=2时，wmin=140≤x≤8，在w=0.5（x-2）2+14中，当0≤x≤2时，w随x的增大而减小，当x=0时，wmax=（0-2）2+14=16当2≤x≤8时，w随x的增大而增大，当x=8时，wmax=（8-2）2+14=32 32>12，这位专业户能获得的最大利润是32万元。

点评：此题第（2）问，很多学生会说a=0.5，二次函数开口向上，应该没有最大值，其实不然，本题中自变量x的取值范围是0≤x≤8，在二次函数w=0.5（x-2）2+14对称轴x=2左侧（即当0≤x≤2时），由于w随x的增大而减小，故当x=0时，w有最大值16；在对称轴x=2右侧（即当2≤x≤8时），w随x的增大而增大，当x=8时，w有最大值32，通过比较16与32，我们得出最大值为32，此时自变量x=8。

函数最值的应用篇（3）

1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制好A点（-1，0）和B点（3.2，0），即区间[-1，3.2].在线段AB上构造一个点C，度量出C点的横坐标，记为x，再计算出f（x），绘制好D（x，f（x））；选择C、D【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的图像.

2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.过D点作y轴的垂线段交y轴于E点.C点在线段AB上移动时，D点的纵坐标与E点的纵坐标一样.通过E点的值的变化可以清晰地反映函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值.

3.选择点E【编辑】|【操作类按钮】|【动画】，制作好按钮.只要按就可以让F点在图像上运动起来，观察出何时取最大值和最小值，最后将E、F的标签改为x、f（x），如图1.

图1

二、函数f（x）=x2-2x+2在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的动态演示

1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制一点A，度量A的横坐标，记为t，计算t+2；绘制点B（t+2，0），构造线段AB，在线段AB取一点P，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点M（x，f（x））；选择P、M【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像.

2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出函数图像的对称轴，过A、B两点作x轴的垂线段，作出线段PM，再过M作y轴的垂线段（虚线），最后将A、B、P、M的标签改为t，t+2，x，f（x），如图2.

图2

3.拖动点t让函数f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像动起来.观察函数在区间[t，t+2]的最大值和最小值，并从中总结出需要的结论.

4.当t≤-1时，函数的最大值为f（t），最小值为f（t+2）；当-1

三、函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值的动态演示

1.在x轴上构造一点A，过A点构造x轴的垂线，再在垂线上构造一点B，度量其纵坐标，记为t，并将B点标签改为t.

2.绘制函数f（x）=x2-2tx+2图像；绘制点C（-1，0）、D（1，0），构造线段CD，在线段CD上取一点E，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点F（x，f（x））；选择E、F【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的图像.

函数最值的应用篇（4）

在中学数学中常遇到一类求函数最大值、最小值的问题，它是中学数学教与学中普遍感到困难的一类问题。函数最值涉及的知识面较广，方法也灵活多变，训练思维能力效果好，因此在数学中占有重要的地位，要学好函数最值就必须了解和掌握求函数最值的方法与技巧。函数最值的基本方法有很多，这章主要介绍代数法、导数法、构造法、数形结合法、引进复数求函数最值。

一、配方法

代数法是中学阶段应用最广泛的方法，它包括配方法、判别式法、换元法、不等式法等。首先，我们介绍配方法。

利用配方法将二次型转化为标准型求函数最值的方法不仅易于掌握，而且思路清晰，操作简单，它是求二次函数最值一种行之有效的方法。配方法及其思想在数学分析、高等代数、空间解析几何等中都有着广泛的应用。配方法的基本步骤如下：

函数y=ax2+bx+c，经配方得

y=ax+2+，

若a>0，当x=-时，ymin=；

若a

配方法是一种对数学式子进行定向变形（配成完全平方）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。掌握这一方法关键在于合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧。

二、判别式法

判别式法主要是应用方程的思想来解决函数的最值。它是我们解题时常用的方法，具体的过程如下：

将函数y=，

改写成关于x的一元二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，

则它有实数解x的充要条件是其判别式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，

从而由等式（方程）转化为关于y的不等式，从而求其最大或最小值。在解题中应注意a（y）≠0。

利用判别式法求函数的最值时应注意两点：

（1）求函数的定义域；

（2）对于二次方程的二次项系数要分零和非零两种情形。

三、换元法

利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决。求函数最值的换元法主要有三角换元法和代数换元法。中学数学中较常见的是下面两种形式的换元。

（1）y=ax+b+，令t=，将y转化为t的二次函数，再求最值。

（2）y=asinxcosx+c（sinx±cosx）+c，令t=sinx±cosx，将y转化为t的二次函数，再求最值。

四、不等式法

中学数学中利用均值不等式求函数最值是一种基本的、常用的方法。灵活运用均值不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值。均值不等式的运用有三个严格的限制条件，即（1）各项均为正数；（2）积或和是定值；（3）等号能否取到，简言之“一正二定三相等”，三个条件缺一不可。以下是有关均值不等式两个定理。

定理1：当a，b∈R+时，则≥，当且仅当a=b时等号成立。

定理2：当a，b，c∈R+时，则≥，当且仅当a=b=c时等号成立。

五、导数法

导数法一般用来解决一类高次函数的最值。

用导数法求函数最值的步骤为：

第一步：找出fx在a，b内所有可能的极值点，即驻点和一阶不可导点；

第二步：求出fx在上述点和两个端点a与b处的函数值；

第三步：将函数值进行比较，最大者即为最大值，最小者即为最小值。

综上可知，函数最值内涵丰富，解法灵活，没有通用的方法和固定模式，在解题时要因题而异，而且上述方法并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法，因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，当一题有多种解法时，应注意选择最优解法。以上就是本文整理出的有关于求函数最值的一些解法。当然求函数最值的方法不止这些，这里只是对求函数最值的方法作部分的归纳，具体的方法还有待去进一步的发现和总结。

六、结语

函数最值的方法是数学解题中既重要又实用的技巧。因此，深刻理解函数最值，熟练掌握求解函数最值的方法并在实践中灵活运用，是我们学好数学的关键。

以上求解函数最值的方法与应用并不全面，事实上还存在很多有关函数最值的求解方法和在其他方面上的应用，因此需要不断更新、研究，以便总结出更多求解函数最值的方法和更有效地应用这些方法解决函数最值，让函数最值的方法的应用更加广泛。

参考文献：

函数最值的应用篇（5）

导数是数学分析课程中基本概念之一，它反映了函数的变化率，它的引出和定义始终贯穿着函数思想。近年来由于课改的的需要，将这一高等数学的内容扩充到中学数学选修部分，而且在近年来的高考中导数内容的比重逐年加大。由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题，求曲线的切线问题提供了一般性方法，运用它可以简捷地解决一些实际问题。导数的应用主要体现在求曲线的切线方程、判断函数的单调性、求函数的极值、最值以及证明不等式等问题，下面举例谈谈运用导数的知识解决这些问题。

一、利用导数求曲线的切线方程

函数f(x)在点x0处导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率是f′（x0）。于是相应的切线方程是y一y0= f′（x0）（x一x0）。解决这类问题的关键是求切点和斜率。

（一） 已知过切点，求切线方程

分析：此类问题较简单，求出斜率f′（x0）带入点斜式方程就可以了。

例如：已知曲线f（x）=x3-3x2+1，过点（1,1）作切线，求切线方程。

解:由f′(x)=3x2-6x得k= f′(1)=-3，故所求切线方程为y-1=-3（x-1）即y=-3x+2

（二）已知过曲线外一点，求切线方程

分析：此类问题先判断点是否在曲线上，点在曲线上可用（一）法求解，若点不在曲线上应先设切点，再求切点。

例如：求过点A（1,0）且与曲线y=1x 相切的直线方程。

解：因为点A（1,0）不在曲线上，故设切点为P（x0，y0）则斜率k=y′|x=x0=-1x02

所以切线方程为y-y0=- 1x02 （x-x0）即y- 1x0=-1x02 （x-x0）

又已知切线过点（1,0）所以有0- 1x0=- =-1x02 （1-x0）

解得x0=12 所以y0=2，k=-4切线方程为y-2=-4（x-12)即4x+y-4=0

二、利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在函数定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）

例如：已知aR，求函数f（x）=x2eax的单调区间

解：f′（x）=2xeax+ax2eax=（2x+a x2）eax

（1）当a=0时，若x0

所以当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数 （2）当a>0时，由2x+a x2>0解得x0；由2x+a x2

所以当a>0时，函数f（x）在区间（- ∞，-2a ）内是增函数，在区间（-2a ，0）内是减函数，在区间（0，+∞）内是增函数；

（3）当a0,解得0

所以当a

三、利用导数求函数的极值

求可导函数极值的步骤是：（1）确定函数的定义域，求导数f′（x）；

（2）求f′（x）=0的所有实数根；（3）对每个实数根进行检验，检查f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右两侧的值的符号，如果f′（x）的符号左正右负，则函数f（x）在这个根处取得极大值；如果f′（x）的符号左负右正，则函数f（x）在这个根处取得极小值；需要注意的是，如果f′（x）=0的根的左右两侧符号不变，则在这个根处的函数值不是函数的极值。

例如：求函数f（x）=x3-27x的极值

解：f′（x）=3x2-27=3（x+3）（x-3）令f′（x）=0得x=-3或x=3

当x变化时，y′、y的变化情况如下表：

由此可以看出：当x=-3时，函数f（x）有极大值f（-3）=54，当x=3时，函数f（x）有极小值f（3）=-54

四、利用导数求函数的最值

求可导函数最大（小）值的步骤是：（1）求函数的导数f′（x），解方程果f′（x）=0，

求出极值点；（2）比较函数在区间端点处的函数值和函数在极值点处的函数值的大小，确定最大者是最大值，最小者是最小值。在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较。

例如：求函数f（x）=-x4+2x2+3，X ［-3，2］的最大值和最小值

解：由f′（x）=-4x3+4x令f′（x）=0即-4x3+4x=0

解得x=-1，或x=0或x=1

又f（-3）=-60，f（-1）=4，f（0）=3，f（1）=4，f（2）=-5

所以，当x=-3时，函数f（x）有最小值-60

当x= 1时，函数f（x）有最大值4

五、利用导数证明不等式

利用导数证明不等式是近年高考中出现的一种热点题型．其方法可以归纳为“构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用函数单调性和常用的证明不等式的方法证明不等关系”．

例如：已知x>2,求证x-1>lnX

证明：构造函数f（x）=x-1-lnx（x>2）则f′（x）=1-1x =x-1x

x>2 f′（x）>0 函数f（x）在（2，+∞）内是增函数

函数最值的应用篇（6）

在数学学习中，对导数的考查主要是针对“三次”函数，下面就利用导数求“三次”函数的最值问题的步骤进行分类解析。

一、利用导数求最值的一般步骤

求可导函数在闭区间[a，b]上的最值的主要步骤：（1）求y=f（x）在开区间（a，b）内的极值（极大值或极小值）；（2）将y=f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

例1：函数f（x）=2x3-3x2-12x+5在区间[-2，3]上最大值与最小值分别为（ ）

A.1，-4 B.12，-15 C.12，-4 D.-4，-15

解析：先求导数，得f ′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），

令f ′（x）=0，即6x2-6x-12=0，解得x1=-1，x2=2。

导数f ′（x）的正负以及f（-2）=5，f（2）=-4，如下表：

从上表可知，当x=-1时，函数有最大值12，当x=2时，函数有最小值-15，故选B。

点评：从上面的解答看，利用导数求函数的最值的过程相对较繁，是不是可以在此基础上进行简化呢？请同学们看下面的分析。

二、利用导数求最值的简化步骤

根据例1的解答可以看到，利用导数求函数的最值，实际上就是将函数的导函数对应方程f ′（x）=0根对应的函数值与端点的函数值进行比较，整个过程无须判断极值为极大值还是极小值。此时利用导数求最值的步骤：（1）求导数f ′（x）；（2）求方程f′（x）=0的全部实根；（3）求出f ′（x）=0的根对应的函数值及端点的函数值，并进行大小比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值。

例2：求函数f（x）=x3-2x2+1在区间[-1，2]上的最大值与最小值。

解析：f ′（x）=3x2-4x，令f ′（x）=0，得x1=0，x2=，

则f（0）=1，f（）=-，同时f（-1）=-2，f（2）=1，

比较上述四个函数值的大小知，当x=0或2时，函数f（x）的最大值为1，当x=-1时，函数f（x）的最小值为-2。

点评：从上面两个的解答可以看到，求导函数对应方程f′（x）=0有实数根。至此有学生会问了：如果方程f′（x）=0没有实数根，那又如何进行解答呢？是否也有步骤可寻？请继续往下看。

三、利用导数确定单调性求最值的步骤

如果导函数对应方程f ′（x）=0无实数，此时导函数的符号就确定了，函数在整个定义域上就具有单调性，即函数的最值就是定义域的端点处取得。其解法的一般步骤：（1）求导数f ′（x）；（2）考查f ′（x）=0根的情况，若有根，则按例2的方法求解，若无实根，则首先判断f ′（x）的符号，进而判断函数的单调性；（3）按单调性与函数最值的关系求最值。

例3：求函数f（x）=x3-3x2+6x-2，x∈[-1，1]的最大值和最小值。

解析：f ′（x）=3x2-6x+6，令f ′（x）=0，方程无解。

因f ′（x）=3x2-6x+6=3（x-1）2+3，所以函数f（x）在x∈[-1，1]上是增函数，

当x=-1时，函数f（x）的最小值为f（-1）=-12，

当x=1时函数f（x）的最大值为f（-1）=2。

点评：本类题型实际上表现为函数在整个定义域上具有单调性，但不具有极值，因此不必去确定极值，其解题步骤得到了简化。从上面的三个例子可以看到，函数除含有未知数外，没有其他的变量了，因此我们不难想到，如果对函数含有其他参数，那么又该如何操作呢？下面我们继续分析。

四、利用导数求含有参数的函数最值的步骤

利用导数求含有参数的最值时，一般步骤：（1）求导函数f ′（x）。（2）对导函数对应方程f ′（x）=0进行讨论，主要涉及三类讨论：①对首项系数的讨论；②对判别式的讨论；③对方程根的大小的讨论。（3）根据f ′（x）的符号确定函数f（x）的单调性。（4）根据函数的单调性确定函数的最值。

例4：已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）。求f（x）在区间[0，2]上的最大值。

解析：f ′（x）=3x2-2ax=x（3x-2a）。令f ′（x）=0，解得x1=0，x2=。

当≤0，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f（x）max=f（2）=8-4a。

当≥2，时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f（x）max=f（0）=0。

当0

从而f（x）max=8-4a 0

综上所述，f（x）max=8-4a a≤20 a>2。

点评：本题由于函数解析式中含有参数，因此方程f′（x）=0的根含有参数，对其根0与的大小进行了讨论。同时还可以注意到本题解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的。上面几例都是求函数的最值情况，现在我们进行逆向思维，即如果已知函数的最值情况，而求参数问题，那该如何处理呢？

五、已知函数的最值求解参数值的步骤

已知函数的最值求参数的值是一类逆向思维问题，解答的主要步骤：（1）求导函数f ′（x）；（2）确定方程f ′（x）=0的根，可能时要注意讨论；（3）确定函数的最值；（4）根据已知的最值与所求得的最值建立方程（组），由此可求得参数的值。

例5：已知函数f（x）=-x3+3x2+9x+a。若f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

解析：（Ⅱ）由f ′（x）=-3x2+6x+9=0，得x=-1或x=3，则由x∈[-2，2]，得f（-2）=a+2，f（2）=a+22，f（-1）=a-5。

比较知f（2）=a+22=20，解得a=-2，

所以，函数f（x）在区间[-2，2]上的最小值为

函数最值的应用篇（7）

一、三角函数最值问题的题型归纳及解法策略

在现阶段中学数学三角函数最值问题中，题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下6种类型。掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。

1.y=asinx+bcosx型的函数

这样的函数是我们经常遇到的，对于这样的题型处理思想应该引入辅助角，化为y=sin（x+），利用函数即可求解。Y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化为此类，下面介绍一道实例来体会感受其中的方法。

例1 已知函数f（x）=2cosxsin（x+）-sin2x+sinxcosx

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最小值及取得最小值时相应的x的值；

（3）若当x∈[，]时，f（x）的反函数为f-1（x），求f--1（1）的值.

从上面这道例题可以清晰地看出，这一类的三角函数的最值求解中运用的基本的方

法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“Asin（）” 的形式，将异名三角比化归成同名三角比。同时，也应对自变量的取值范围要仔细地考察。

2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函数

这样的函数题型看上去很长，也很复杂，但是其中有一定的规律，通过下面这样一个实例，你会发现它其中的玄机。处理方式是降幂，再化为“Asin（）”的形式来解。

例2 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出y取最小值时的x的集合。

3.y=asin2x+bcosx+c型的函数

在三角函数的题型中，这题型是比较常见的，经常和其它函数一起应用，特别是出现在“存在”问题中，对于这类题型的处理方式是应用sin2x+cos2x=1，使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。下面通过一道例题来体会这方法。

例3 是否存在实数a，使得函数y=sin2x+a・cosx+a-在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由.

分析：

这道题就是利用在闭区间上求二次函数最值的方法，只是其自变量变为cosx。值得注意的是在运用这个方法前，首先要将引用三角比之间的转换使式子中只含有同名的三角比，再把此三角比视为二次函数的自变量。在题目条件没有给你限制条件时，任何一种那个情况都应该作分类讨论，当然要结合已有的法则和三角函数相关的公式，及三角函数隐藏的条件，这样才能做到解题全面。

综合上述知，存在符合题设。

4. y=型的函数

这是一个分数形式的求三角函数最值的题型，往往出现在需要转化思想的综合题目中，下面介绍这个例题，让同学有直观感觉。

例4求函数y=的最大值和最小值。

对于这一类题型，分子、分母只有常数项不同的三角函数式，便可以在分子中添置辅助项后，通过恒等变形把它化成只有分母含有自变量的三角函数式，只需研究分母的最值，就能求出原函数的最值。在这样的变形中若遇到要把分子“翻下去”作为繁分式分母一部分时，这个“翻下去”的式子不能为零，如果这个式子可能为零，则应将为零的情况另作处理。“设其不为零的”情况下继续解下去，最后把各种情况下求得的值综合起来考虑最值。

5.y=sinxcos2x型的函数

这样的三角函数题型有一定的难度，并且有的题目角和函数很难统一，还会出现次数太高的问题，这是关于sinx，cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。在高中数学中涉及三次函数的最值问题，几乎都用均值不等式来求解。但需要注意是否符合应用的条件及等号是否能取得。下面介绍一个实例来体会均值不等式的方法。

例5 在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k・，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？

6.含有sinx与cosx的和与积型的函数式

在这样混合的函数式中，也是经常会遇到的，对于含有sinx±cosx，sinxcosx的函数的最值问题，常用的方法是令sinx±cosx=t，，将sinxcosx转化为t的函数关系式，从而化为二次函数的最值问题。通过下面这个例题了解这样的方法。

例6 求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。

例7 求函数y=cos（sinx）的值域

结合如图1 所示：y=cos（sinx）的图像，知cos1=cos（-1）

例8 如图2：ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场的最大值与最小值。

解：如图2，连结AP，设，延长RP交AB于M，

则，，故矩形PQCR的面积

设，

，故当时，

当时，

例9 如图3所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）时开始计时，

（1） 求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；

（2） 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米。

解：（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为，所以t秒时，Q点的纵坐标为，故在t秒时此人相对于地面的高度为（米）

（2）令，则

Fig 2-4 Example 9 here

二、对三角函数最值问题的小结

1.求三角函数最值的常用方法有：

（1）配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界性）；

（2）化同角函数法（主要利用和差角公式及三角函数的有界性）；

（3）数形结合法（常用到直线的斜率关系）；

（4）换元法（如万能公式，将三角问题转化为代数问题）；

（5）基本不等式法等（主要遇到三次式之类的情如运用均值不等式等）；

（6）降幂法（主要利用三角函数的基本公式和定义）。

2.三角函数的最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设所给出的区间：

（1）求三角函数最值时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及弦函数的有界性。

（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响。

（3）在涉及到综合实际生产并运用基本不等式法解最值问题时，需要注意所得结果是否符合实际情况及等号是否取得到。

3.如“表1求解三角函数最值的常用方法”是个人对以上题型及解法的总结。

表1 求解三角函数最值的常用方法

参考文献：

[1]赵钰林.素质教育新教案数学[M].北京：西苑出版社，2004.

函数最值的应用篇（8）

这一类题主要考查利用导数研究函数的单调性，及函数单调性的应用.通过求导将函数与方程、不等式结合起来，考查运算求解能力.

例1 已知函数φ（x）=ax+1，a为正常数.

（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=92，求函数f（x）的单调区间；

（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有g（x2）-g（x1）x2-x1<-1，求a的取值范围.

解析：本题主要考查利用导数求函数的单调区间.第（2）问求解的关键是将已知不等式g（x2）-g（x1）x2-x1<-1转化为函数的单调性，进而构造新函数，利用导数求解.

（2）由g（x2）-g（x1）x2-x1<-1，

点评：该题信息给出的是不等式，不少同学在转化时无从下手，挖掘不等式的本质可知，其实不等式对应的是函数的单调性问题.拨开云雾看问题，分析出h（x）具备的单调性后，就可以无招胜有招.

在代数中，“元”是很重要的概念，不少问题都带有两个“元”，即x1，x2，在解方程组时最根本的方法是消元.但是本题中的两个元x1，x2如何转化？从上面的分析可以得知，挖掘出隐含的函数单调性，即达到了“消”的目的，从该题中挖掘出蕴含的思想方法，诠释其内容，回到基本概念中去，分析题目的信息，联系基础知识与基本思想方法，联系已知与未知的关系，获得解题思路.在具体运算求解过程中，需要解决含参不等式恒成立问题，这类题考查同学们分析问题、解决问题的能力，一般情况下可以分离参数，转化为新函数的值域（最值），或直接求导，分类讨论求值域.

通过导数把函数的单调性问题化为不等式问题颇受各地命题专家的青睐.虽然试题千变万化，但是解决问题的思想方法基本相同.

在建立目标函数后，另辟蹊径，极富成效的进行变形，问题就迎刃而解.对试题的异样的分析与解答，拓宽我们的视野，提高思维的灵活性，加深对数学本质的认识，提升数学综合素养.所以，在平时的学习中要善于注意一题多解，一解多用.

应用二 利用导数研究函数的极值及参数的取值范围 用导数研究参数的取值范围，其实质就是转化为研究函数的单调性、极值与最值的问题，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极（最）值的应用.问题的难点在于如何联系参数和所求得的函数的极（最）值，破解的方法是根据题目的要求，画出函数的大致图象，探求函数极（最）值，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

例2 已知函数f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x.

点评：（1）根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增（减）时，函数的导数在这个区间上大（小）于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决.

（2）在形式上的二次函数问题中，极易忽略的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在函数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意.

应用三 利用导数研究方程根的分布

研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.将方程、不等式等有关知识和导数结合的综合性问题，主要考查综合运用有关知识分析问题、解决问题的能力.

利用导数证明不等式，就是把不等式问题转化为函数问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值.应用这种方法的难点是如何根据不等式的结构特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式.破解的基本思路是从函数的角度分析要证明的不等式的结构特点，然后去构造函数式，或者从不等式证明的放缩方向上去构造函数式，使所构造出的函数是不等式证明所需要的最佳函数.

函数最值的应用篇（9）

三角函数这一章节，在近几年高考中，已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函数最值问题.且一般以选择、填空题形式出现，难度不大.

下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.

1.配方转化

经转化，最后化归为二次函数的三角函数最值问题，称为二次函数型.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值，这是求解二次函数型三角最值得主要依据.对能够化为形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函数最值问题，可看作是sinx或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决.

二次函数的对称轴不在t∈[-1，1]的范围内，且二次项系数a>0，其图象开口向上，结合二次函数的图象可知当t=-1，ymin=-6；当t=1，ymax=4.

感悟：这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sinx或cosx的二次函数的形式， 可以采用换元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，运用二次函数配方的技巧正确配方，易错在二次项系数，如本题中二次项系数是-2，对应二次函数开口向下，配方过程中要先提出负号；其三要把握三角函数sinx或cosx的范围，注意观察二次函数对称轴与换元后变量的范围的关系.值得注意的是，当变量x有一定范围时，更要注意换元量t的范围，防止出错.

2.有界性转化

三角函数尤其正弦、余弦是一种有界函数，其有界性在解决值域、最值或者取值范围等问题显得灵活.对于所给的三角函数能够通过三角恒等变换，结合正余弦的两角和差公式，升降幂公式和二倍角公式，对所给的式子化简为形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函数的有界性，在变量x没有特定范围的情况下，其值域为[-A，A]求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的策略之一.

函数最值的应用篇（10）

(1)对满足-1≤a≤1的一切的值，都有g(x)<0，求实数x的取值范围;

(2)设a=-m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点.

案例2：(07年四川高考文，本小题满分12分)设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f ′(x)的最小值为-12.

(1)求a，b，c的值;

(2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[-1，3]上的最大值和最小值.

案例3：(08年四川高考文，本小题满分12分)设x=1和x=2是函数f(x)=x5+ax3+bx+1的两个极值点.

(1)求a和b的值;

(2)求f(x)的单调区间.

案例4：(09年四川高考文，本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+2bx2+cx-2的图象在与x轴交点处的切线方程是y=5x-10.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)设函数g(x)=f(x)+mx，若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量x的值.

在连续四年的高考中都考到了高三选修内容的函数求导、极值、单调性、最值、导数几何意义(即导函数在某一点的导数值就是这一点切线的斜率).在考查这些知识的同时也考查这些知识的运用能力，既考查了教材也考查了教材知识的运用.函数求导作为数学的工具和基础地位在这几个案例中得到了充分的体现和重视，从复习的角度来看，我认为高三文科在函数复习时应做好以下工作.夯实求导和二次函数这两个工具.

二、夯实求导这个工具

函数求导能解决函数的单调性、极值、切线的斜率、最值等问题.函数求导是数学和物理学的重要工具.在上述四个案例中都对函数的单调性，极值，切线的斜率和函数的最值都相当重视，因此在高三的复习中一定要准确把握和练习求导这个内容.其重点有：

1.对教材中要求的公式进行求导强化练习，如：(c)′=0，(xn)′=nxn-1，(cxn)′=cnxn-1，[f(x)±g(x)]′=f ′(x)±g′(x)，[f(x)g(x)]=f ′(x)g(x)+g′(x)f(x).如上述四个案例首先涉及到的就是对原函数进行求导，再在求导的基础上进行求解.

2.利用f ′(x)的意义进行解题练习

(1)f ′(x)>0所对应的区间是f(x)的递增区间，f ′(x)<0所对应的区间是f(x)的递减区间.充分运用这一结论进行函数单调区间的求解练习.如上述案例2，本题的第(1)问就是利用f ′(x)>0所对应的区间是f(x)的递增区间，利用f ′(x)<0所对应的区间是f(x)的递减区间这一结论来求解函数的单调区间的.

(2)f ′(x)在某一点的导数值是这一点切线的斜率，利用这个结论进行切线斜率和切线的求解练习，同时利用切线的斜率或切线的方程对切点进行求解，或对函数的解析式求解.如案例1的第(1)问就是利用切线反向求解函数解析式的运用.案例4的第(1)就是利用切线方程反向求试题中的参数，进而进一步进解函数的解析式的.利用这一结论除了要把握导函数在某一点处的导数值是这一点切线的斜率外，还要注意这切点同时在原函数和切线上，即同时满足原函数和切线的方程.

(3)当f ′(x0)=0时，若f ′(x)的值在的左右取值的符号不同，则x0为f(x)的极值点，即f ′(x)在f(x)的极值点处的导数值是0，利用这一结论可以求解带参数的函数的解析式，也可以求解函数的极值和最值.如案例1的第(2)问就是利用切线反向求解函数解析式的运用.案例3的第(1)问就是例用在极值点处导函数的值为零这一结论求参数a和b的.

从上面的研究中我们不难发现，文科类的数学高考紧紧把握了教材要求的知识点：求导公式的要求，导函数的意义.并对这些内容进行正向和逆向的设计和考查，当然我们在研究中还发现数在进行求导以后，在很大程度上转化为二次函数问题.因此二次函数是高三函数复习的又一个重点和难点.

三、强化二次函数的应用

在文科数学高考大题求导后一般转换为二次函数，由于二次函数的内容在初中作为重点内容进行了教学，在高中作为一个基本工具直接使用，这本身没有任何问题，但在教学过程中发现学生在掌握二次函数的内容和解题方面都存在较大的困难.在高考的函数大题中通常是以二次函数作为出题的背景来设计的，一般设计为三次含参求导，在求出解析式后，再围绕极值，最值和单调性设置试题.因此二次函数的内容是函数考察大题的基础和工具，在复习过程中应该引起足够的重视.在教学过程中应就以下几方面强化练习和应用.

1.一元二次不等式的解法

形如ax2+bx+c类型的不等式的解法应用.在化a为正的情况下，应用大于(或大于等于)取两边，小于(或小于等于)取中间的原理进行求解.特别注意?驻<0(判别式小于零)这种特属情况的求解.一元二次不等式的解法是求导后求函数单调性的基础.如案例2的第(2)问，案例3的第(2)问.

2.一元二次函数在闭区间上最值的分布

一元二次函数在闭区间上最值的分布是求解是否存在极值点，有几个极值点的基础，也是求解极值或最值的基础.如案例1的第(2)问，案例2的第(2)问和案例4的第(2)问.

3.应强化二次函数以下知识点的练习和应用：

(1)顶点坐标-;

(2)对称轴x=-;

(3)单调性：a>0时，对称轴的左边单递减，对称轴的右边单调递增;a<0时，对称轴的左边单递增，对称轴的右边单调递减;

函数最值的应用篇（11）

点评：对于函数y=f（x），如果在某区间上f′（x）>0，那么f（x）在该区间上是增函数，如果f′（x）0、f′（x）

题型2 利用导数研究函数的极值、最值

点评：1.设函数f（x）在点x0及其附近可导，且f′（x0）=0.如果f′（x）的符号在点x0的左右由正变负，则f（x0）为函数f（x）的极大值；如果f′（x）的符号在点x0的左右由负变正，则f（x0）为函数f（x）的极小值；特别地，如果f′（x）的符号在点x0的左右不变号，则f（x0）不为函数f（x）的极值.求可导函数极值的基本步骤：①确定函数定义域；②求导函数f′（x）；③求出f′（x）=0全部实根；④检查f′（x）在方程f′（x）=0的根的左、右两侧的符号，完成表格，写出极值.特别注意，极值点是函数f（x）的定义域中的内点，因而端点绝不是函数的极值点.

2.求函数f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数f（x）在（a，b）的极值；②将函数f（x）的各极值与端点处的函数值f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

题型3 利用导数研究函数的零点

结合f（x）的单调性可知：

当f（x）的极大值-ln2-9+a=0时，f（x）有1个零点；

当f（x）的极大值-ln2-9+a>0时，f（x）有2个零点；

当f（x）的极大值-ln2-9+a

即：当aln2+9时，f（x）=lnx-2x-8+a有2个零点.

点评：函数y=f（x）的零点是指函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标，也是方程f（x）=0的实根.借助导数，通过对函数单调区间、极值的研究，画出函数y=f（x）的草图，再通过数形结合，便可解决有关函数零点（或方程的根）的问题.

题型4 导数在实际问题中的应用

例4 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示，ABCD（AB>AD）为长方形薄板，沿AC折叠后，AB′交DC于点P.当ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好.

（1）设AB=x米，用y表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；

（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？

故当薄板长为2米，宽为2-2米时，节能效果最好.

（3）记凹多边形ACB′PD的面积为S2，

关于x的函数S2在（1，32）上递增，在（32，2）上递减.所以当x=32时，S2取得最大值.

故当薄板长为32米，宽为2-32米时，制冷效果最好.

点评：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题.在解决最优化问题时一般先设自变量，因变量，建立函数关系式，并确定函数的定义域，利用求函数最值的方法求解，结果应与实际情况相结合.注意：用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点.

题型5 已知函数性质研究含有参数的问题 1.已知函数单调性求参数的范围

（2）已知f（x）=x3-3x2在区间（2a-4，3a）上单调递增，则a的取值范围 .

解析：令f′（x）=3x2-6x>0，得x>2或x

则y=f（x）的增区间为（-∞，0）和（2，+∞），

所以由题可知（2a-4，3a）（-∞，0）或者（2a-4，3a）（2，+∞），

所以2a-4

点评：以上两个问题都是函数在已知单调性的条件下求参数范围问题，可是方法却不一样，一类是转化为恒成立问题解决，关于不等式恒成立问题，可以转化为求函数的最值来研究，如a≥f（x）（x∈D），得a≥f（x）max；如a≤f（x）（x∈D），得a≤f（x）min.另一类是转化为区间之间的关系来解决，前提是函数的单调区间是可以求，还要注意端点处等号问题.

2.已知函数的极值或最值求参数的值

点评：可导函数f（x）在点x0处有极值，必有f′（x0）=0，而f′（x0）=0只是可导函数f（x）在x0处取得极值的必要条件，而不是充分条件，所以根据f′（x0）=0求出参数值，需要进行验证.

函数在开区间上存在最值，必然是相应的极值点在该区间内，但是要注意与极值点处取得相同函数值的点是否在该区间内.

3.求含有参数的单调区间

点评：分类讨论是数学上一类重要思想，对含有参数的函数求单调区间时，求导后仍有参数，可转化为解含有参数的不等式问题，解含有参数的不等式常通过分类讨论来完成.

点评：函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是在曲线y=f（x）上点x=x0处的切线的斜率，相应的切线方程为y-y0=f′（x0）（x-x0）.审题的关键字是“在点”和“过点”，这两个是不一样的，这类问题只要抓住两个关键即可：切点和斜率.

通过上述热点题型的分析，我们发现导数这部分自身的知识难度并不大，但是其应用能力及与其它知识的综合能力要求较高，正是由于导数的引入，对函数的考查已不再拘泥于低次多项式函数、简单的指数函数、对数函数等形态.研究函数的目标也不再局限于定义域，值域，单调性，奇偶性，对称轴，周期性等内容，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型函数，对数型函数以及基本初等函数的和差积商更多地作为考查对象，试题的命制往往融函数、导数、不等式、方程、甚至数列、解析几何等知识于一体，通过演绎、证明、运算、推理等理性思维，来解决单调性、极值、最值、切线、方程的根的分布、不等式的解证、参数的范围等问题.试题往往难度大，综合性强，内容、背景、方法上颇为新颖，倍受命题者青睐.

笔者认为，涉及到函数与导数的问题，要养成做题就画图的习惯，复杂问题一画图眉目就清，灵感顿生，即“复杂问题，一画就灵”；要求学会总结，善于总结，熟练掌握基本套路，尤其是“通性通法”：

1.切线问题抓住“切点”不放.

2.方程根（零点）个数问题离开“图象”不说话.