离散数学论文大全11篇

离散数学论文篇（1）

中图分类号：TP3-4

离散数学是现代数学的一个重要分支，也是计算机科学与技术的理论基础，所以又称为计算机数学[1]。离散数学研究离散量的结构及其相互关系，通过离散数学的学习，不但可以掌握离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究与开发工作打下坚实的基础。

离散数学课程所传授的思想、方法与工具，广泛地体现在计算机相关专业的诸领域，从科学计算到数据处理，从计算机科学理论基础到计算机应用技术，从计算机软件与理论到计算机硬件及体系结构，从人工智能到知识系统与工程，无不与离散数学密切相关。由于计算机本身是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的对象及对象关系，因此，无论计算机科学理论本身，还是与计算机应用密切相关的现代科学的其它研究领域，都面临着如何对离散结构进行数学建模的问题；当然，也需要考虑如何将已建立的离散数学模型进行计算机应用的问题。

随着计算机专业研究生入学考试中专业课程统考的实行，很多高校的计算机专业对离散数学的教学投入开始缩减，减少课时，降低难度，避重就轻；学生也无法认识与理解离散数学在整个计算机专业课程体系中的重要性，致使离散数学的教学与学习在计算机专业越来越边缘化。实际上，离散数学在各学科领域，特别在计算机相关专业领域有着广泛的应用；离散数学是计算机专业许多专业基础课程，如数据结构、操作系统、编译原理、人工智能、数据库系统原理、算法设计与分析、理论计算机科学基础、软件工程等必不可少的先行课程[2]。

作为计算机相关专业数学基础的离散数学，对其它计算机专业基础课程有很强的知识辐射作用。本文致力于从一些计算机专业基础课内容中还原离散数学知识，从而体现离散数学核心内容在计算机专业系统知识中的辐射作用。通过对离散数学辐射作用的介绍，让计算机相关专业的本科生重新认识到离散数学对计算机专业系统知识学习的重要性，从而提高本科生学习离散数学的兴趣，重视自己数学理论基础的巩固和形式思维能力的培养。

1 离散数学辐射体系

离散数学是计算机及相关专业的一门核心课程，它不是一门纯数学课程，而是计算机学科的专业基础课程。离散数学是应计算机科学的发展而形成的一门交叉课程，主要内容涵盖了计算机相关专业对数学的一些基本要求。广义的离散数学主题包括集合论、数理逻辑、关系理论、图论、代数结构、数论、信息论、组合数学等，甚至包含拓扑学、运筹学的内容。有些高校将除拓扑学、运筹学等内容外的主题分为三门课程，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。本文谈到的离散数学内容只涉及到数理逻辑、关系理论、集合论、图论以及代数结构。

离散数学课程与后续的计算机相关专业基础课程有着千丝万缕的联系，对其它专业基础课程的影响极其深远，在很多计算机专业课程内容中都会涉及到离散数学知识。无论计算机软件系列专业基础课程，还是计算机硬件相关基础课程，例如编译原理、数据结构、数据库、操作系统、软件工程和计算机组成原理。本文选择这六门计算机相关专业基础课程来阐述离散数学在专业系统知识中的辐射作用，如图1所示的离散数学辐射体系。

在图1中，编译原理的课程内容中就可以还原出全部的离散数学知识结构；数据库的课程内容则可还原出离散数学内容中的关系理论、代数结构、集合论与图论等内容；操作系统、软件工程、数据结构和计算机组成原路中都有离散数学知识辐射的印迹。

2 离散数学辐射作用

2.1 编译原理中的离散数学

编译原理是计算机相关专业的一门重要专业基础课[3]，旨在介绍编译器构造的一般原理和基本方法，课程内容除了形式文法、有穷自动机等编译原理所涉及的基础知识外，其它内容基本上围绕处理程序设计语言的编译器应该具有的各功能模块展开，包括词法分析、语法分析、语法制导翻译、中间代码生成、存储管理、代码优化和目标代码生成。

离散数学的数理逻辑中最重要的内容就是逻辑推理，由前提事实出发，采用相应的逻辑恒等式、永真蕴涵式、推理规则、推理方法等进行不停的推导演绎，最终得到想要的结论，这是一个严格的演绎分析过程。在编译原理中，与这一演绎分析过程相对应的则是语法自上而下分析方法，即从形式文法的开始符号（前提）出发，利用文法规则产生式（永真蕴涵式），采用相应的推理方法（最左或最右推导），最终得到想要的句型或句子（结论）。在推理证明中还有一种常用的证明方法，那就是从要求证的最终结论出发，依次为其找到相应的逻辑恒等式、永真蕴涵式、推理规则等作为最终结论或中间结论的依据，即从结论出发追本溯源到前提事实，这是一种典型的归纳逻辑。在编译原理的语法分析中，自底向上的语法分析方法则是归纳过程的代表，即从要得到的句型或句子出发，利用文法产生式规则和推理方法，进行不停的归约，一直到开始符号或失败至，这是一直明显的归纳逻辑推理过程，对应最右推导。

在离散数学的关系理论中，等价关系尤为重要。而在编译原理中，处处有等价原理辐射的痕迹，例如形式文法等价、有穷自动机等价、中间代码表示形式等价等。在编译原理的内容中，有关等价的部分还包括正规文法与正则表达式的等价性、正则表达式与有穷自动机的等价性、正规文法与有穷自动机的等价性。实际上，有穷自动机等价是进行非确定有穷自动机确定化、确定有穷自动机化简的理论基础。

编译原理的很多内容中都使用了形式化技术，最典型的就是状态图刻画有穷自动机、语法树表示语法分析过程，当然在LL（1）文法FIRST集与FOLLOW集计算、算符优先文法的优先函数关系图以及基本块有向图中都体现了离散数学的集合论与图论。在编译原理全部内容中都贯穿了符号串运算，符号串与其上的运算则构成了一个完整的代数系统。

2.2 数据库中的离散数学

数据库技术和系统已经成为信息基础设施的核心技术和重要基础，数据库技术作为数据管理的最有效的手段，极大的促进了计算机应用的发展[4]。数据库的数据模型中的关系模型就经典地体现了离散数学中的关系理论，尤其是关系模型中的参照完整性。数据库概念模型描述中使用的实体-联系模型（图）更是生动地呈现了实体型之间的关系。在离散数学中，函数是一类特殊关系，而关系数据理论中的函数依赖则描述了关系模式属性（集）之间的语义关联。数据库中的查询处理与优化的理论基础则是离散数学中等价原理，查询被处理或优化前后在功能和语义上必须满足等价关系。

与关系模型紧密相连的则是关系代数，这是一类典型的代数系统。关系数据结构是其运算对象，关系操作则是定义在关系上的具体运算，如选择、投影、连接、除等，这些运算都满足封闭性，关系操作的输入与输出则都是表示关系数据的集合，因此集合运算中的并、交、差、笛卡尔积等也是关系操作的一部分。关系数据模型中常用的SQL语言则是关系代数的一种具体实现，即一种具体的代数系统。

数据库理论中被集合论与图论辐射到的内容包括：（1）一个关系数据库是关系模式（二维表）的集合；（2）一个关系模式（二维表）就是一个实体集，表中每一个就是一个具体的实体元素；（3）在概念世界中描述实体型以及实体型间关系的实体-联系图；（4）关系查询处理与优化中的查询树。

2.3 其它课程中的离散数学

数据结构是计算机程序设计的重要理论技术基础[5]，也是计算机存储与组织数据的方式。数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合，因而，数据结构课程中很多具体的数据结构都是集合，如队列、栈、线性表等。数据结构除描述集合中数据元素的特性外，还要刻画集合中数据元素之间的关系，因此，一般认为，一个数据结构是由数据元素依据某种逻辑联系组织起来的，对数据元素间逻辑关系的描述称为数据的逻辑结构。数据结构课程内容中的树、二叉树以及图等结构则是离散数学图论内容的延续，基于图结构的各种算法，如最短路径、最小生成树、关键路径等，在离散数学和数据结构中都有不同深度的描述。

操作系统课程中的进程状态图为典型的图论内容；操作系统在对进程等对象进行管理时，很多内容涉及到对象间关系，如死锁中进程间时序上的先后关系；操作系统中很多算法都使用到了集合概念，如死锁的解锁算法等。离散数学的核心内容辐射到了操作系统的管理与控制中。

软件工程最终的产物是软件系统，既然是软件系统，在进行软件系统分析与设计时，不可避免要研究系统各部分之间的关系。在结构化分析方法中，有自顶而下和自底而上两类分析方法，自顶而下对应数理逻辑中的演绎逻辑，而自底而上则表示数理逻辑中的归纳逻辑。软件工程内容中同图论有关的包括软件开发模型、软件模块间关系表示、软件测试等。

计算机组成原理作为计算机专业硬件方面的基础课，在学生对计算机的认知方面有着举足轻重的作用。计算机硬件的基础组成单元“逻辑门”等以离散数学中的命题逻辑为基础；计算机处理器的结构形式化等都离不开集合论与图论的参与。实际上，在让学生认知软件与硬件的功能等价性时，则充分体现了软硬件的逻辑等价原理。

3 结论

针对离散数学课程在计算机专业课程体系中越来越边缘化的问题，本文以编译原理、数据库、数据结构、操作系统、软件工程和计算机组成原理计算机专业基础课为例，论述了离散数学在计算机专业综合知识体系中的辐射作用，从而体现离散数学在计算机专业教育中的重要性和必要性。

参考文献：

[1]傅彦，顾小丰，王庆先等.离散数学及其应用[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]耿素云，屈婉玲，王捍贫.离散数学教程[M].北京：北京大学出版社，2002.

[3]张素琴，吕映芝，蒋维杜等.编译原理（第二版）[M].北京：清华大学出版社，2005.

[4]王珊，萨师煊.数据库系统概论（第4版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[5]严蔚敏，吴伟民.数据结构（C语言版）[M].北京：清华大学出版社，2011.

离散数学论文篇（2）

【关键词】离散数学 计算机学科 应用探究

在离散数学的应用中，离散对象是离散数学中常见的内容，离散是指元素不能有效连接的元素，由于计算机学科的发展以及离散数学的独特性，离散学科的可行性研究是一个重要的研究领域，在离散数学的的研究中，需要进一步找出离散变量的存在性，并根据该变量的存在特点，找出该问题有规则的计算步骤，由于计算机属于一个离散结构，其研究对象均为离散式，因此，需要离散数学知识的支持，以便促进计算机学科的发展。

1 离散数学应用于计算机学科中的必要性

离散数学作为计算机学科应用数学的一种有效工具，对于整个计算机学科的发展研究起着重要的推动作用，在计算机学科的形式语言中，可以通过离散数学的自动机理论来研究整个形式语言的发展，并且可以对计算机学科中的程序进行适当的探索产生灵感，在离散数学中的谓词演算、代数结构等理论，都可以为计算机学科的进一步发展提供相关的理论依据，促进计算机学科的研究进程，但是，如果对离散数学的内容没有清楚的理解，在计算机的学科研究中，可能会失去这一灵感来源。因此要重视离散数学对于计算机学科应用的重大意义。

2 离散数学在计算机学科的内部具体应用

2.1 在数据结构中的应用

在计算机的数据结构中，计算机内部操作对象之间的关系可以分为集合、树形结构、线性结构、图状结构、网状结构等，由于计算机学科中，需要利用这些计算机数据结构进行问题研究和决策，以解决数据结构中出现的具体问题，在离散数学具体问题中逐渐归纳演绎出一个合适的计算机数据操作模型，然后根据这个操作模型运行的规则，设计、编出相应的程序，并对先行程序进行测试和调整，形成完善的数据结构模型，然后，对数学模型实质进行分析，并提取出操作的对象，了解之间的关系，使用数学的语言对其进行描述。数据结构操作模型根据逻辑结构、基本运算规则、物理存储等内容，建立比较完善的数据结构运行规则。而离散数学中的离散结构深刻影响了这一系列的逻辑结构和运行操作规则，因此可以说，离散数学中的集合论、关系、树以及图论等知识内容充分反映出数据结构的结构知识。

2.2 在数据库中的应用

计算机学科中的数据库是应用离散数学最明显的地方，在计算机学科的数据库建立中，关系数据库是最流行的关系模式，比如，离散数学中的笛卡尔数学理论，对计算机学科中的关系数据库形成具有关键作用，并且在相关离散数学理论的应用中，不仅促进了关系数据库的不断完善和发展，同时也有利于促进计算机学科理论的完善。再比如，集合代数可以为关系数据模型的建立提供基础条件，其数据的逻辑结构需要以行与列组成的二维方式来描述。并且通过相关的二元关系理论帮助计算机学科中建立查询、维护功能。

2.3 在编译原理中的应用

计算机学科中的计算机的编译程序是比较复杂的操作之一，这些编译程序包括词法、语句、语义、代码优化、错误信息检查与处理等各个部分，而在离散数学的计算模型内容中，有关的有效状态、文法、图灵机等内容为这些程序的编译提供了可靠的研究来源，这些内容的具体内涵包括语言与文法、有限状态机、图灵机与有限状态等知识结构内容，采用这些离散数学知识可以有效的形成罗塑形术，运用此种方法，可以让逻辑语文的内容更加详实，从而架构起图款存库与语言演绎的关联，最后，对所有具有关联性的内容进行逻辑推理测试，核实编译程序的正确性和操作的便利性。因此，在离散数学的框架内，逐渐形成了对问题进行自动分析、解决的计算机编译程序。

3 离散数学在计算机学科的外延具体应用

3.1 在人工智能中的应用

在计算机学科的离散数学研究应用中，计算机外延的结构系统人工智能就是很好利用离散数学的例子，其逻辑推理同样是人工智能利用的重点，首先是可以改善人工智能的实际作用。通过将微词逻辑语言进行逻辑推理式的演绎过程，为接下来的程序构造做好的流程疏通的作用，而这些逻辑的规则赋予了数学语句更加精确的定义。其次是离散数学图例对人工智能的影响，这些离散数学的图例为早期的人工智能发展起了很大作用，促进整个早期人工智能研究方法和理论的成熟。最后是离散数学的布尔代数章节为人工智能的提供了方法管理的依据，同时也很好的奠定了护理基础的研究。因此，可以说大多数离散数学的内容，可以很好的促进人工智能技术的改善和发展。这都要求有着更深刻的推理机制起着重要作用，起到了降低专家思维机制的错误率，提高分析问题的准确度，从而实现机器的智能化。

3.2 在计算机体系结构中的应用。

指令系统的设计与改进是计算机学科体系的重要内容，良好的指令系统设计与改进可以明显提高整个计算机体系的性能，而指令系统的优化和改进几乎都是通过对离散数学某些概念、理论的应用才能实现的。比如，对指令格式的优化，如果系统的指令在指令的操作码和地址码不能有效的运转时，根据离散数学中哈弗曼压缩的概念，将指令的平均字长进行无损压缩，从而减少该问题出现的概率，因此，适当的使用优化技术对发生概率最高的事件使用最短的时间来处理，达到了优化指令格式的目的。此外，当对位数缩短时，同样可以利用离散数学中的哈弗曼算法，将指令系统中的指令操作频率进行结构优化，构建出哈夫曼树叉图形，将这些分叉上的频率分析归类，应用到计算机体系结构中。

4 结束语

在计算机学科迅速发展的今天，对于离散数学的进一步研究分具有很深远的意义，因为离散数学可以为计算机学科发展，提供有效的逻辑推理依据，帮助计算机学科学生发展逻辑推理能力，并将这些离散数学概念逐渐应用到计算机学科的方方面面，在提高学生逻辑思维能力的同时，强化了学生的创新思维，同时更好的掌握现代化计算机学科知识，需要对离散数学进行有效的掌握，以便促进计算机学科更好的发展。

参考文献

[1]许蔓苓，陈建军，黄建玲，等.离散数学的方法和挑战[J].计算机研究与发展，2014，25（14）：573-574.

[2]陈敏，李泽军.离散数学在计算机学科中的应用[J].信息技术与课程整合，2013，28（12）：893-894.

离散数学论文篇（3）

关键词:离散数学;数据结构;编译原理;数据库原理;人工智能

Key words: discrete mathematics; data structure;compiler theory;database theory;artificial intelligence

中图分类号:TP3-05 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)21-0215-01

0引言

离散数学是计算机科学与技术专业的核心、骨干课程。一方面,它给后继课程,如数据结构、编译原理、数据库原理和人工智能等,提供必要的数学基础;另一方面,通过学习离散数学,可以培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力,为其今后继续学习和工作,进行科学研究,打下扎实的数学基础。

离散数学主要研究离散量的结构和相互间的关系,其内容非常广泛,主要包括集合论、关系、映射、近世代数、图论、命题逻辑、谓词逻辑。该课程概念多、理论性强、高度抽象,学生学习起来困难很大,缺乏学习兴趣,因此从计算机专业的角度讨论离散数学在计算机学科中的作用,对后续计算机专业课程的影响,对调动学生学习积极性、提高学习兴趣将有很大帮助。

1离散数学在计算机学科中的作用

1.1 离散数学在数据结构中的应用数据结构研究的主要内容是数据的逻辑结构,存储结构以及基本运算操作。其中逻辑结构和基本运算操作来源于离散数学中的离散结构和逻辑思维。数据的逻辑结构分为四类:集合、线性结构、树形结构、图型结构,这正是离散数学中要研究的主要内容。如集合由元素组成,元素可理解为数据结构中的数据元素、记录、结点、顶点。关系是集合中元素之间都存在某种关系,例如学生表中班级同学之间的关系,家谱中祖先与子孙之间的关系。图论中的欧拉图解决了著名的哥尼斯堡七桥问题,还可以利用弗洛伊德算法解决交通网络中任意两个城市之间最短距离问题。树反映了数据对象之间的一对多关系,如组织机构图、家谱、资源管理器、通信中的哈夫曼编码都是以树为模型来讨论的。

1.2 离散数学在编译原理中的应用编译原理是计算机学科中比较高深的专业课,编译程序是计算机的一个十分复杂的系统程序。一个典型的编译程序一般都含有八个部分:词法分析程序、语法分析程序、语义分析程序、中间代码生成程序、代码优化程序、目标代码生成程序、错误检查和处理程序、各种信息表格的管理程序。离散数学里的计算模型章节里就讲了三种类型的计算模型:文法、有限状态机和图灵机。具体知识有语言和文法、带输出的有限状态机、不带输出的有限状态机、语言的识别、图灵机等。短语结构文法根据产生式类型来分类:0型文法、1型文法、2型文法、3型文法。以上这些在离散数学里讲述到的知识点在编译原理的词法分析及语法分析中都会用到。因此,离散数学也是编译原理的前期基础课程,也为今后研究生课程――形式语言与自动机打下基础。

1.3 离散数学在数据库原理中的应用现代数据库技术广泛应用于社会各个领域,数据库是计算机管理数据的一种机构,关系数据库已经成为数据库的主流。离散数学中的笛卡儿积、关系是一个纯数学理论,是研究关系数据库的一种重要方法,不仅为其提供理论和方法上的支持,更重要的是推动了数据库技术的研究和发展。关系数据模型是建立在严格的集合代数的基础上,其数据的逻辑结构是一个由行和列组成的二维表来描述关系数据模型,一个二维表就是一个n元关系。对这些二维表进行检索、插入、修改和删除等操作的数据语言,是以关系代数或谓词逻辑作为它的数学基础,语言的优化就是关系代数或谓词逻辑的化简问题。正因为引入了数学表示方法,使得关系数据库具有比其他几种数据库较为优越的条件。

1.4 离散数学在人工智能中的应用人工智能是以计算数学、图灵机为理论基础,对问题进行推理和求解,让机器完成智能事情的科学,现在人工智能已经发展到创造出各种实用的专家系统阶段。在人工智能的研究与应用领域中,逻辑推理是人工智能研究中最持久的子领域之一。逻辑是所有数学推理的基础,对人工智能有实际的应用。采用谓词逻辑语言的演绎过程的形式化有助于我们更清楚地理解推理的某些子命题。因此,人工智能的出现与发展是和离散分不开的。离散数学中的命题逻辑、谓词逻辑讲解了命题的定义,命题的联结词(合取、析取、蕴含等)以及谓词和量词在命题中的应用。离散数学中数学推理和布尔代数章节中的知识就为早期的人工智能研究领域打下了良好的数学基础。许多非形式的工作,包括医疗诊断和信息检索都可以和定理证明问题一样加以形式化。因此,在人工智能方法的研究中定理证明是一个极其重要的论题。

2结论

作为计算机学科中一门专业基础课,离散数学在计算机科学领域中占有相当重要的地位。离散数学课程所传授的思想和方法对提高学生逻辑思维能力和创造性思维能力起了很重要的作用。要把离散数学这门课教好,教师就要不断研究新的教学方法,因此,教师应在教学中强调该学科在计算机学科中的作用,与计算机其他专业学科间的紧密联系,让学生明确学习目的,学好这门课程,解决计算机学习中遇到的实际问题。

参考文献:

[1]徐洁磐,朱怀宏,宋方敏.离散数学及其在计算机中的应用[M].北京:人民邮电出版社,2008:1-323.

[2]许蔓苓.离散数学的方法和挑战[J].计算机研究与发展,2002:1771-1772.

离散数学论文篇（4）

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2012）12（a）-0-02

众所周知，当今很多学科的研究与发展都和计算机相关，而离散数学作为信息与计算科学专业重要的基础理论课程之一，着重培养学生的抽象思维能力和严谨的逻辑推理能力，并使他们掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法。学生只有掌握了离散数学中的相关理论知识，才能在随后的课程学习中更好地发挥和拓展相关的设计技术和编程技术等，从而更好地驾驭计算机知识。离散数学课程主要包括集合论、数理逻辑、代数结构与图论、组合数学等。由于这门课各个章节相对独立，内容之间缺少联系，知识点呈现多、散、抽象等特点，这些都会给教师和学生在学习上带来很大的困难，大多数学生在开始学时不知道要学习什么，学完之后也不知道怎么应用。以下内容是笔者近年来从事离散数学课程教学的实际，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨，浅谈一些自己的体会和

做法。

1 提高学生对《离散数学》课程的认识，调动学生的学习积极性

离散数学课程是一门基础性课程，该课程内容包含了数学的多个分支，初学者感到内容多，头绪杂，知识的联系较为松散，而且《离散数学》中叙述问题的方式，尤其是解题方法等，和学生以前的连续的学习方法完全不同，学生在学的时候会比较吃力；此外，许多学生没有认识到离散数学课对后续诸多主干课程（例如，数据结构、操作系统、数据库、编译原理、软件工程）的指导性作用，看不到该课程的实际应用价值，对该课程缺乏学习兴趣和学习主动性，学习效果不甚理想。因此，为了调动学生学习的积极性，提高授课效率，要求教师在给学生上第一堂课时就指出学习离散数学课程的重要作用。例如，通过离散数学的学习，学生可以掌握数理逻辑、集合论、代数结构和图论的基本知识，提高专业理论水平，并会运用所学知识解决计算机中的一些实际问题，培养学生的抽象思维能力和缜密的逻辑推理能力。同时，在后续讲解各种基本概念、定理、定理证明、计算方法等基本内容之外，教师应多举一些具有代表性的例子，随时介绍所学知识的应用背景和发展方向，注意引导学生对离散数学在计算机科学中的地位的认识，调动和培养学生学习离散数学的兴趣。比如，教师可以强调数理逻辑部分内容在计算机的硬件设计中应用非常突出，可以利用命题中各个联结词的运算规律来解决电路设计的问题，还可以介绍离散数学中哥尼斯堡七桥问题、著名的苏哥拉底三段论、土耳其商人和帽子的故事、一笔画问题、地图染色问题，等。

2 合理优化安排教学内容

《离散数学》课程的教学内容一般包括：数理逻辑、集合论、代数系统、图论、格和布尔代数等部分，这些部分可分别作为一门独立的课程，容易造成教学内容繁多与教学课时数偏少的矛盾。为了让学生在有限的学时下掌握更多的知识，教师应根据离散数学课程的专业培养目标，制定科学合理的教学大纲，适时调整课程结构，优化重组课程体系，深入研究和吃透教材，认真准备深度和广度适合学生基础与特点的教学内容；把握好课程内容的重点、难点，对离散数学的教学内容进行取舍，将整个教学内容分成离散数学（一）和离散数学（二），其中离散数学（一）的教学内容主要包括：数理逻辑、集合论、关系和图论；离散数学（二） 包括：代数系统、格和布尔代数；根据上课的时数，明确各章的授课时数，离散数学（一）开成必修课，共64个学时，其目的是让学生掌握离散数学中一些基本的数学思想及数学方法，而将内容较抽象的离散数学（二）开成专业选修课，共32 学时，目的是为学生继续深造夯实其数学基础。离散数学（一）一般在大二第一个学期开出，而离散数学（二）在大四第一个学期开出。这种学习方法可以减低学习的难度，内容可分为必学与选学两个学期开出，对于普通学生只要够用就行，而对一些想要深造的学生，就要给他们提供深入的知识。

3 采用形式多样的教学方法

离散数学的概念、结论繁多，理论性和逻辑性强，包含了大量抽象且需要记忆的内容。要想提高教学质量和教学效果，教师要探讨可行的、先进的教学方法，合理准备和优化安排教学方式如下。

3.1 内容讲解清楚易懂，主次分明

课堂讲授时，语言简洁明了，通俗流畅，速度快慢得当，内容讲解由浅入深，循序渐进，主次分明，合理地分配讲解时间，重难点精讲、细讲，认真分析，对于比较容易理解和掌握的内容，可以一笔带过，比如，集合论基础的很多内容在中学数学中已经学过，所以只要回归以下就可以了，重点放在用集台论的方法解决实际应用问题上，图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，代数系统这部分内容要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫，特别要掌握同构和同态的概念及应用，对于其它的代数系统如环、域及布尔代数则可以略讲。同时，注重理论的理解，推行研究型教学。教学过程中要把很多概念、定理需要把证明的方法告诉他们，而不是只告诉学生结论。

3.2 课堂教学注意归纳总结

离散数学的内容比较多而且还散，所以要充分挖掘各章节内容之间纵向与横向的联系，揭示出不同知识之间的相同内涵。一般离散数学都是安排两节课，第一节课开课前对上一次课的内容进行小结，第二节课开课前对第一节课的内容进行小结，每节、每章讲完后适当进行小结。例如，通过对一些抽象的和难以记忆的重要知识点归纳总结发现，离散数学讨论的内容大多以静态（基本概念）与动态（运算、操作、推理） 这条主线贯穿始终，这就是，集合论中是元素（静态）及其上的运算（动态）；代数系统中是集合（静态）及运算（动态）；数理逻辑中是公式（静态）和推理（动态）。又比如，在讲完代数系统这部分内容时，可在前一个概念的基础上增加一个性质（封闭性、结合性、幺元、逆元），依次阐述代数系统、半群、含幺半群、群这几个概念，并进行小结，让同学们在小结中对自己所掌握的知识点理清头绪，轻松掌握这几个容易混淆的概念。

3.3 加强师生互动和双向交流，重视学生作业及课堂测验

为了随时检验课堂内容的教学效果，打破沉闷的课堂氛围，让同学专注于该门课程的学习，在课堂教学过程中，教师要注意师生互动，实现双向交流，创设有意思的问题情境，多用些提问式、疑问式、反问式的语句，有针对性地提问和展开讨论，以吸引学生的注意力，培养学生自主分析问题、解决问题的综合能力，从而使教学达到最佳效果。同时，想要深刻的了解学生的掌握内容的情况，还可以在讲完每一部分内容之后就少量重点或难点问题进行课堂测验，把测验成绩作为平时成绩的重要部分（该门课的考核成绩由平时成绩和考试成绩按一定比例组成），给学生施加一定的学习压力，进一步激发学生学习的热情和主动性。此外，教师课后要给学生布置一些少而精的习题，并认真仔细批改学生作业习题，及时总结前一个阶段的习题及学习情况，把作业里普遍出现错误的问题拿到课堂上讨论解答，课后帮助学生解答一些模糊不清的知识，加深对所学知识的理解。

3.4 有效利用多媒体教学手段与网络资源

随着计算机技术的发展与普及，网络上视频教学材料、教案、习题等各种教学资源应有尽有，在教学过程中引入网络课件已逐渐成为一种时尚。《离散数学》的相关专题都是建立在大量的定义、定理基础上的，若采取多媒体手段制作课件，既能用更加生动直观的图、表来表达内容，将概念、理论提出的背景以及在计算机技术中的应用介绍给学生，让学生可以更深刻的理解其中意义，可以让老师采用传统的“黑板、粉笔”方式与现代多媒体相结合的办法，从大量的板书中摆脱出来，让老师可以有更多机会与学生进行互动和交流。另一方面，通常一到两名教师承担离散数学这门课程，教学任务较为繁重，外出进修、交流的机会较少，教师可以充分利用丰富多彩的网上教学资源和教学手段，采用别人的先进成果，扩大知识面，不断提高自己的业务素质和综合运用知识的能力，进而更好地组织离散数学的教学活动。

4 结语

离散数学的教学离不开其在计算机科学中的应用，而计算机科学的深入发展亦离不开离散数学。教无定法，要把离散数学这门课程教好，就要充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，提倡以学生为本的高度负责的精神，认真掌握教学规律，合理安排教学内容，不断研究和采用新的教学方式，借助于现代化教学手段，最大限度地激发学生的学习兴趣，达到教与学相和谐，教学水平和质量均提高的

目的。

参考文献

[1] 邓辉文.离散数学[M].北京：清华大学出版社，2006.

[2] 耿素云，屈婉玲.离散数学[M].北京：高等教育出版社，2004.

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[4] 耿凤杰，廉海荣.融数学史于数学教学中[J].中国地质教育，2008.

[5] 王亚石.离散数学教学方法探讨[J].陕西教育，2009（1）：99.

[6] 廖仲春.离散数学教学探讨[J].湖南工业职业技术学院学报，2008（5）：142-143.

[7] 周小燕，胡丰华.对提高离散数学教学质量的探讨[J].浙江科技学院学报，2007，19（2）：156-158.

[8] 龙浩，张佳佳.怎样教好离散数学课[J].贵阳学院学报，2007，2（1）：

53-57.

离散数学论文篇（5）

【中图分类号】O158-4

On the Teaching "Discrete Mathematics" in

Chenxue Gang Zhou Jiquan

（North China Electric Power University Mathematics， Beijing， 102206， China）

Abstract： In order to stimulate students' enthusiasm for learning， develop their thinking skills and ability， according to the characteristics of Discrete Mathematics Instruction， author of Teaching experience， discrete mathematics teaching were studied. This paper presents some of the reform of teaching methods and means， in the actual teaching has played a certain role in enhancing the quality of teaching.

Keywords： discrete mathematics， teaching methods， teaching means

《离散数学》是计算机科学中重要的基础理论课程之一，它不仅是许多计算机专业课的必备基础，而且对培养学生抽象思维能力和逻辑推理能力有着重要的作用.然而采用以往的教学方法，教学效果往往不够理想.一方面，离散数学知识的分散性令许多学生感到无从下手.另一方面，在传统的离散数学教学中，往往采用“纯数学”教学方法，学生不能很好地体会离散数学对计算机科学的重要意义，所以学习积极性不高.因此，通过教学方法和手段的改革来激发和增强学生的学习兴趣，从而培养学生的创新思维和综合能力，是离散数学教学中非常迫切的需求.本文结合作者近年来从事离散数学课程教学的经验，从教学内容、教学方法、教学手段等方面进行了一些初步探讨.

1精选教学内容

《离散数学》教学内容主要包括数理逻辑、集合论、代数结构及图论等几大分支.各分支均有悠久历史.如果这几部分的内容都要详细讲授，时间上来不及，所以在在教学过程中对讲授内容的选择应当有所侧重.比如简单介绍集合论的理论基础，重点是如何利用集台论的方法解决实际应用问题.在二元关系这部分，重点是二元关系的几个与性质相关问题的论证方法的训练.在数理逻辑上通过将一般命题公式和一阶逻辑公式化成范式，达到强化训练学生逻辑演算能力.图论部分重点放在基本概念的理解和实际问题的处理上，通过对相关定理及其证明思路的理解来体会图论的研究方法.代数系统这部分内容重点放在群论上，尤其要在代数系统、群、子群、循环群、变换群、正规子群的概念及相关问题的理解上下功夫.

2 教学方法探讨

2.1 增加讨论课

老师首先选定讨论的课题，学生分组准备查询相关的文献，并形成自己观点.在讨论课上大家共同交流探讨，从而加深对这门课程的认识.最后各小组完成论文的书写.该方法不仅可以提高学生对离散数学重要性的认识，还可以提高学生互相协作的能力以及书写论文的能力.

2.2 增加趣味性，激发学生的学习兴趣.

“兴趣是 最好的老师”，只有激发起学生的学习兴趣，他们才有真正自主学习的欲望.在教学过程中，根据具体的知识点，介绍它的发展史或者引入趣味问题，增加了学生学习离散数学的兴趣，拓宽了学生们的知识面，提高了学生对离散数学课程学习的积极性与主动性.

2.3 注重归纳与小结

离散数学的内容虽然多且散，但通过归纳和小结，可以用一条主线贯穿始终.离散数学讨论的内容主要包含系统中涉及到的静态（基本概念）与动态（运算、操作、推理）.如集合论中是元素（静态）及其上的运算（动态）；代数系统中是集合（静态）及运算（动态）；数理逻辑中是公式（静态）和推理（动态）.通过归纳与小结，学生能够理清头绪，提高学习效率.

3 教学手段改革

3.1 教学网站建设

信息技术对提高教学质量具有重要的影响，必须予以高度重视.为了提高教学质量，我们建设了一个教学支撑网站，一方面大力推进信息技术在教学中的实际运用，促进教学手段和教学方法现代化；另一方面以此提高教与学的效率.

3.2 重视学生作业，定时测验

离散数学的知识不经过学生的独立思考和多做练习是无法牢固掌握的，因此一定要给学生留一定数量的课后习题.但大部分学生不可能把课本上的习题全部做完，教师也不可能完全批阅.这就要求教师布置作业要选其精华，选题必须要有一定的深度和广度，要覆盖所学的内容，尽量选有启发性质的习题.对于学生的作业，要认真仔细批改，将作业中暴露出来的普遍问题，要进行课堂讲评.通过讲评作业，帮助学生澄清模糊和错误的认识.

3.3 新的考核方式

传统的考核方法就是试卷考试，考察学生的基本知识和基本技能，以及解难题的能力.我们尝试做了一些考核方法的改革，把原来的试卷考试和平时的考核两部分，改成了三部分成绩的统一， 即添加了一个新的内容：写离散数学的论文.把它的评定结果作为成绩的一个重要部分.所写论文必须要求观点明确、主题鲜明和论述严谨，并且具有一定的创新.

4 结束语

总之，要把离散数学这一门课教好，教师就要不断研究新的教学方法和手段，认真掌握教学规律，借助于现代化教学手段，提倡“启发”式教学.教师只要具有扎实的理论功底，并具有对学生高度负责的精神，就一定能够达到良好的教学效果.

参考文献：

[1]赵青杉，孟国艳.关于离散数学教学改革的思考[J].忻州范学院学报，2005，21（5）：6 .

[2]耿素云，屈婉玲.离散数学[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]翁梅，刘倩，冯志慧等.“离散数学”课程教学实践与探索[J].计算机教育，2004（12）：62―63.

离散数学论文篇（6）

【中图分类号】G642 【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2010)09-0018-02

离散数学是研究离散的、有限对象的结构及其相互关系的数学学科,是由数理逻辑、集合论、抽象代数、组合数学、图论、算法理论、数论、计算模型(语言与自动机)、离散概率等汇集而成的一门综合学科,[1][2]是现代数学的一个重要分支。它广泛地应用于各学科领域,特别是计算机科学与技术领域。

一、计算机类专业大学生面临“离散数学”课程设置的困惑

一方面,虽然连续数学与离散数学都是以抽象和形式化为重要特征,但是,连续对象和离散对象的不同特性使它们的求解思路、方法存在差异。学习离散数学意味着要以全新的思维方式来考虑问题。同时,离散数学课程所教授的一些概念、理论、技术相对复杂。而计算机专业大学生在开始大学生活之前没有接受足够的数学训练,即便是那些有相当数学背景的学生,相对于专业对数学的要求也显得相形见拙。这就意味着离散数学可能是一门非难教与难学的课程;另一方面,由于程序设计是学习后续课程的技能,又吸引着学生的兴趣,程序设计所提供的训练也提高了学生的能力,因此计算机科学与技术专业已习惯于程序设计优先的入门模式,并在此基础上形成了实施多年、基本稳定的课程体系。[3]其缺点是使学生片面地认为“计算机就是编程”:只关注编码,而很少涉及设计、分析和测试;推迟了对学科的了解,把精力集中在编程细节上,而不是本学科的概念性、思维性的一些基础上,忽视了更重要的理论、算法等问题。同时,由于计算机技术的快速发展,系统的界面越来越友好,人们对系统的进一步开发利用的基础越来越好,使人们对“掌握计算机技术”产生误解,误认为掌握计算机技术就是“会用”计算机,错误地认为一些基础知识,如离散数学枯燥无味、没有意义、没有作用,甚至认为不应开设这种颇具难度的课程。

二、离散数学与计算机科学的内在联系

由于计算机是一个离散结构,它只能处理离散的或离散化了的数量关系,因而,无论是计算机科学本身,还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域,都面临着如何建立离散结构的数学模型;以及将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化,从而可由计算机加以处理。而离散数学恰恰提供了描述离散结构的工具和方法。因此,从科学计算到信息处理,从理论计算机科学到计算机应用技术,从计算机软件到计算机硬件,从人工智能到认知系统等计算机科学技术领域,无不处处体现了离散数学的思想与方法。在计算机科学中,离散数学有两个用途:一是描述计算机科学理论、方法和技术的主要工具,为理论计算机科学提供坚实的基础;二是为形式描述技术奠定数学基础,而形式描述技术则是描述和验证计算机系统的数学表示方法。[4]

1.数理逻辑与计算机科学

工程实践是计算机科学新思想的一个重要源泉,是计算机科学中的“实验”,工程实践总要基于某种被普遍接受的科学背景知识,在计算机科学中,这种背景知识在很大程度上就是数理逻辑;任何复杂的装置或系统均需借助计算机的控制机制,而计算机的控制手段是形式语言,研究形式语言构造与意义的数理逻辑,恰为计算机科学的工程实践提供了基本的逻辑背景框架。[5]逻辑严密的论证能力,在计算机科学的许多领域至关重要,且构造一个形式证明和写一个程序的思维过程在本质上是一致的,具有离散数学修养的程序员在写代码时更有可能写出逻辑严密的最简化的高质量代码。

2.抽象代数与计算机科学

在计算机科学中,抽象代数为研究抽象数据结构的性质及操作提供代数结构与方法,为程序设计语言提供理论基础。实际计算机的设计与制造,使用数字逻辑技术实现计算各种运算的理论基础是代数和布尔代数。布尔代数的实质虽是命题逻辑,但在形式演算方面要使用代数方法,且依靠代数操作实现的指令系统具有递归性。

3.组合数学与计算机科学

组合数学的主要内容不是证明定理,而是着重于计算的过程、方法、步骤,这个方法步骤就相当于计算机科学中的所谓算法。组合数学更多关心开发存在问题、计数问题和优化问题的算法。在计算机科学中,计数或枚举对象、研究两个集合间的关系、分析含有限步数的过程、编码技术等都要用到组合数学理论与方法。

4.图论与计算机科学

图论是一门新兴学科,凡有二元关系的系统,图论均可提供一种数学模型。在计算机科学中,图论提供了一种非常优美实用的描述离散结构层次关系的数据结构――树,且图论算法又大大促进了计算机科学的发展。

5.算法理论与计算机科学

算法不等于程序,也不等于计算方法。许多问题都可以通过构造一个可以被程序实现的算法来解决。计算机科学的发展,为科学计算及数据处理提供了高速度和高精度的计算工具。但计算机只能机械地执行人的指令,它本身不会主动地进行思维,也不可能发挥任何创造性。因此,在计算机解决实际问题之前,首先要进行程序设计。程序对应的计算方法首先必须是构造性的,数据表示必须离散化,计算操作必须使用逻辑或代数方法进行。这些都离不开算法理论。

三、离散数学课程设置的效用

从学科特点与学科方法论的角度考察,计算机科学与技术学科的主要基础是以代数、逻辑为代表的离散数学,连程序技术与电子技术也仅是计算机科学与技术学科的一种产品或表现形式。同时,由于计算机技术的飞速发展,今天非常流行的系统和工具在几年后、甚至在学生走上工作岗位时就可能被更新的系统和工具所取代。离散数学课程从组合分析、离散结构(包括集合、排列、置换、函数、关系、图、树、有限状态机等)、算法构思与设计、模型构建等方面进行专门的反复的研究、训练及应用,培养学生解决实际问题的能力,并为参与创新性研究和开发工作奠定坚实的理论基础。同时,离散数学课程还通过专门的反复的数学推理、数学证明的强化训练,培养学生的抽象思维能力与逻辑推理能力。离散数学课程介绍的离散数学各分支的基本概念、基本理论、基本方法,是后续专业课程学习的数学基础和理论支撑。如数字电路、程序设计语言、数据结构、数据库理论、自动机理论、编译理论、信息安全、人工智能、数据挖掘、编码理论、密码学、图像处理、操作系统、多媒体技术等专业课程都与离散数学密切相关。正如中国首届国家最高科技奖获得者吴文俊院士指出:每个时代都有它自己的数学,离散数学就是信息时代的数学。[6]王选院士也曾多次强调,离散数学在中国的应用有巨大的潜力。[7]随着计算机的发展,离散数学渗入各行各业,并物化到各种先进设备中,这又大大地促进了离散数学的迅猛发展。计算机科学与离散数学在相互作用与促进中共同发展。

参考文献

1 [美]Kenneth H. Rosen著.离散数学及其应用(袁崇义、屈婉玲、王捍贫、刘田译)[M].机械工业出版社,2008

2 [美]Richard Johsonbaugh著.离散数学(王孝喜、邵秀丽、朱思俞等译)[M].电子工业出版社,2009

3 中国计算机科学与技术教程2002[M].清华大学出版社,2004:14、156

4 [英]Andrew Simpson著.离散数学导学(冯速译)[M].机械工业出版社,2005

离散数学论文篇（7）

[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）14-0148-02

离散数学本质上是一门数学课程，是学生数学知识结构和数学素质的重要组成部分。数学这门学科体系虽然很庞大，但大致可分为连续型、离散型和随机型这三大类。在大多数的理工科专业的课程设计中，数学类课程通常包括：高等数学、线性代数、离散数学、概率论与数理统计等。高等数学能提供处理连续型的数学问题需要的数学工具；线性代数与离散数学则提供处理离散型数学问题的数学工具；而概率与统计则提供处理随机型数学问题的数学工具。

正如徐洁磐在文中指出的：作为计算机学科工具，离散建模是离散数学区别高等数学的根本之处，也是离散数学与计算机紧密关联之处，也是使离散数学成为计算机专业核心课程的原因之一。从学生角度看，离散数学具有抽象、概念多、知识点零散等特点，在学习中容易遇到困难，极大地影响了他们学习的积极性。本文探讨离散数学中的数学本质，目的是理顺这些概念和知识点的关系，进而达到解决学生学习困难的目的。

离散数学的内容主要包括数理逻辑、集合论、代数结构和图论四部分，其中集合论部分起着承前启后的作用。数理逻辑和集合论这两部分内容如果能处理得好，对整个课程的教学就会起到至关重要的作用。已有部分研究论文对数理逻辑和集合论的教学进行研讨，本文就数理逻辑与集合论的教学内容进行深入分析，弄清它们的数学本质和相互联系，理清教学思路。教学实践表明，这些教学分析能使教师在讲授过程中教学内容主线清晰、教学目标明确，进而有效提高教学质量和学生的数学素质。

一、数理逻辑部分的数学本质

其一，命题逻辑部分的数学本质是逻辑数学化。

在教学过程中，在引入命题逻辑的教学之前，可以让学生比较“人”与“计算机”各自的长处。大部分学生都能得出这样的结论：人长于“智能”而计算机长于“计算”。那么，要让计算机增长“智能”，主要方向就是把“智能”计算化：把通过“智能”思考的问题转化为通过计算进行判定的问题。而智能的基础是逻辑推理，于是“智能”计算化首先就是要逻辑数学化。因此，数理逻辑是计算机的“人工智能”重要的基础之一。

离散数学中命题逻辑这部分内容的数学本质是逻辑数学化，或者具体地说是逻辑代数化。代数方法的基本要素是对象和运算，代数化的基本过程模式是：符号化（对象）、运算、运算律、演算、标准型、应用。这种思想方法只要提醒学生回顾在中学学过的代数内容就能很快接受。再看命题逻辑这部分的教学内容，基本就是按照这样的模式展开的：命题符号化（对象）、逻辑运算（联结词）、运算律（基本等值式）、等值演算、标准型（范式）、应用（解判定问题、证明等值式、实际应用、推理理论等）。因而，命题逻辑这部分内容的知识点并不零散，贯穿着代数化这条主线。

教学实践表明，通过逻辑代数化这个主线串联命题逻辑这部分主要内容，教学目标清晰，能得到很好的教学效果；同时学生还能从中学习领会代数化的思想方法，提高了他们的数学素质和应用数学解决实际问题的能力。

在命题逻辑的教学过程中，除了强调代数化的思想方法，还必须强调“标准型”（范式）是这部分的核心内容。一方面范式是等值演算的终极目标，另一方面范式是介于命题公式和真值表之间的桥梁，因此有着极高的理论与应用价值。

其二，谓词逻辑部分的数学本质是引入变量与函数的思想。

从数学本质上看，谓词逻辑就是把变量与函数的思想引入逻辑。在这样的视觉下，那些基本概念就变得很清晰：个体变项是变量、谓词是函数、个体域是定义域、属性谓词是一元函数、关系谓词是多元函数...。然后再一次进行代数化过程：符号化（谓词）、运算（联结词）、运算律（主要增加了量词等值式）、等值演算、标准型（前束范式）、应用（判定问题、证明等值式、实际应用、谓词逻辑推理理论等）。

当然，谓词逻辑内容远比命题逻辑深刻和复杂，在本科的离散数学中，这部分内容只能算是谓词逻辑的基础了。

二、集合论部分的数学本质

通常离散数学中集合论部分也包含两章：集合论基本概念、二元关系与函数。由于中学阶段已经有集合论的简单内容，所以这部分内容学生并不会觉得陌生。

集合论是整个数学的基石，几乎所有的数学概念都能用集合论语言表达，数学在集合论基础上形成了一个独立的科学体系。实际上从集合和二元关系这部分内容基本上也可以看出数学这个科学体系的构建过程。

首先集合论这章内容也是一个代数化的过程：对象（集合）、运算（集合运算）、运算律（集合恒等式）、演算、应用（计数、证明恒等式、实际应用等）。这里缺少了一块标准型，实际上集合的演算也是可以有标准型的，只是这里的标准型没有逻辑演算的范式那么重要而已。从内容与结构都可以看出，集合论与命题逻辑这两部分内容有很大的相似性，这会在后文进行探讨。

有了集合这个基本语言，就可定义二元关系。接着是关系的运算与运算性质（这部分又是代数化方法）。然后是三种特殊的关系：等价关系、偏序关系与函数。等价关系的意义在于“分类”，这既是数学的基本思想方法之一，也是数据挖掘的常见任务；而偏序关系的意义在于“排序”，这是计算机算法中最基本的研究对象。

有了函数的定义，分析学可以就此展开；而用函数定义二元运算后，于是代数学的基础有了。有了分析学、代数学，数学这个科学体系的基本框架也就基本搭建好了。

集合论是数学之本。从集合到关系、再到函数与运算，构建了数学学科基础。这就是集合论这部分的数学本质。弄清楚这些，教师就能做到胸中有“数”、总揽全局。而给学生介绍这些数学本质，学生也能初步了解这部分内容的结构、意义和价值，对这部分内容的学习和掌握是有很大帮助的。而且经过这两个部分的学习，学生逐步熟悉和掌握代数的思想和方法，对后续抽象代数部分的学习在心理上和知识上都有了一定的准备。

三、数理逻辑与集合论基本内容的内在联系

前文提到，命题逻辑和集合论这两部分内容有很大的相似性。具体地说，这两部分的运算与运算律具有很强的对应关系。比如，逻辑运算{？劭，∧，∨}与集合运算{～，∩，∪}之间的一一对应关系。大多数教师都能认识这点并在教学中加以利用。例如，在讲授逻辑运算的运算律时提醒学生注意观察逻辑运算的运算律与集合运算的运算律之间的对应关系，这有助于学生理解并掌握逻辑运算的运算律。有的离散数学的教材也把集合论这部分内容放在数理逻辑之前，这样做虽然破坏了逻辑-集合-代数这样的连贯性，但从学生有初步认知的集合论开始，然后再利用集合论与命题逻辑在内容上的相似性辅助逻辑部分的教学，也是有其可取之处的。

实际上，用命题逻辑的工具可以推导出集合运算及其一些运算律：给定集合A和B，假设全集是E。对于任意给定的元素x∈E，用p表示命题“x∈A”，q表示命题x∈B，则命题公式？劭p表示的命题是“x∈～A”、p∧q表示“x∈∩A”、p∨q表示“x∈A∪B”。这就是逻辑运算与集合运算的对应与转换关系。进一步地，永真式（重言式）1表示x∈E、永假式（矛盾式）0表示“x∈Φ”，那么从命题逻辑的一些基本等值式就能直接推导出集合论中的一些基本恒等式（如结合律、交换律、分配律、德・摩根律等）。

当然，要更深入地探讨集合论的恒等式和逻辑运算的等值式之间的关系，需要用到谓词逻辑工具，不过这已超出了教学研究范畴，因此本文不在此进一步展开阐述，有兴趣的读者可自行探究。

四、结语

笔者认为，强调离散数学在计算机科学领域的应用是必要的，有助于提高学生的学习积极性和应用意识，但离散数学本身承载的数学本质也不应被忽视，毕竟它是一门重要的数学类课程。本文从数理逻辑与集合论模块的教学谈离散数学的一些数学本质，目的是在离散数学的教学过程中在把握其数学本质的基础上充分结合其应用性，这样既能有效提高教学效果，又能培养学生的代数思维习惯，提高他们的离散建模能力。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 徐洁磐.应用型计算机本科中离散数学课程目标定位与课程改革的探讨[J].计算机教育，2010，（5）：6-9.

[2] 耿素云，屈婉玲，张立昂.离散数学（第四版）[M].北京：清华大学出版社，2008.

离散数学论文篇（8）

【教改项目】2015年，中国矿业大学校级教改项目：离散数学教学改革，项目编号：2015YB26.

一、引言

离散数学作为一门研究离散量的数学工具，主要研究离散量的关系和结构，计算机本身就是一个离散的结构，故离散数学对计算机的发展、计算机科学的研究起着非常重要的作用，是计算机专业的专业基础课.

离散数学分为集合论、代数系统、图论、数理逻辑四部分，其中布尔代数理论用于研究开关电路，对应的数字逻辑理论对计算机的逻辑设计起了很大的作用；用自动机理论研究形式语言；用代数结构研究编码理论；利用谓词验算研究程序正确性问题；利用能行性理论研究计算机中的可计算性问题等[1].这些内容旨在培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，以适应后续的计算机专业理论和编写算法程序的学习.

二、离散数学教学现状

中国矿业大学计算机学院将离散数学开设在第二学期，离散数学之前开设的专业课只有高级语言程序设计，因此，专业知识不够充实再加上离散数学体系松散、理论性较强的特点，每一届学生在离散数学的学习上都会存在各种问题，本文分别对在校2013级、2014级和2015级的300名学生进行问卷调查，考查学生对离散数学的认识，结果见下表.

结合表1和日常交流中学生们的反馈对离散数学教学中存在的问题总结如下：

（一）学生对离散数学的作用理解不到位，认为在专业学习中没有必要

针对该问题，各代课教师在绪论时就把离散数学的重要性、基本应用以及和其他后续课程的联系介绍得很清楚，但是学生没有接触过核心专业课，因此，专业知识基本上没有积累，不能很好地理解这一点.在授课过程中，因为离散数学概念定义多，抽象程度高，课程内容和实际结合不多，除了做题学生没有其他形式能看到学习成果，也缺乏趣味性.本科阶段的学生普遍认为计算机专业最直观的学习成果就是编程，离散数学的作用实际上体现在理论层次的研究和应用上，所以，学生的学习积极性不高，即便在课程结束后也有不少计算机专业的学生认为离散数学没有开设的必要性，究其原因，就是对离散数学课程的认识不深刻.

（二）离散数学注重方式方法，解题难度较大

离散数学题目逻辑性强抽象程度高，解题难度大，大一学生还没有完全脱离高中阶段的学习模式，没有完全掌握这种灵活深入注重方式方法的学习.下面举例子说明：

请证明：素数阶群必为循环群.

该题目已知条件很简单：群中元素个数为素数，要证明的是元素个数为素数的群是循环群.很多学生拿到题目无从下手，但是仔细分析就能得出很多其他条件，比如，素数和群这两个概念在一起会派生出什么，结合所学内容就是群和子群的联系，素数是只能被1和它本身整除的整数，因而，素数阶群只有两个子群：单位元群和素数阶群本身，然后怎么把这几个概念联系在一起从而得出结论呢，这里就要用到群的一个定义：群的任意一个元素a都能生成一个该群的循环子群.素数最小为2，所以，在群中存在一个非单位元元素a生成一个循环子群，综合以上得出该循环子群必是该群本身，题目也就得以证明.

从这个题目可以看出，离散数学解题方法很强，要求学习熟练掌握教材内容及知识点之间的联系，如果没有对知识点的熟练掌握和思路，很难正确地解答问题.

（三）理论结合实践方面不到位，解决实际问题的能力较差

离散数学教学的最终目的就是为了提高学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，离散数学在计算机理论研究方面和实际生活中的应用非常广泛，其很大一部分是建模能力的培养，例如，请证明：在任何两个或两个人以上的组里，存在两个在组内有相同个数的朋友.这个题目重点和上个例子完全不同，@个题目关键需要将应用题和解题知识点对应起来，如果知识点掌握不扎实，解题基本上没有思路.这里将组看成一个图，组内的人为一个顶点，如两人为好友则在两点之间生成一条边，至此，该题的本意就是求证两个顶点以上的简单图中存在两个相同度的顶点.

该题求证用反证法，假设图G中所有顶点（顶点数v）度都不相同，简单图中顶点最大的度为v-1，那么最小顶点度为0才能满足所有顶点度互不相同的条件；但是度数为v-1的顶点又需要和其他每个结点都有联系，因此，和其中一个顶点度为0矛盾.故题目得证.离散数学中有很多该类型的题目，强调的不只是知识点本身，更重要的是抽象建模的能力，即解决实际问题的能力.

（四）例题和课后练习题偏少

离散数学教材中例题大同小异，课时受限制，学生接触的题量和题型都很受限制，再加上课后和代课教师的沟通较少，因此，学生学习的主动性和积极性都受到很大的影响，没有足够的练习，自然在理解上就不到位，对离散数学的精髓也就不甚明了.

三、拟采用改革措施

针对离散数学教学中存在的主要问题，课题组多次展开教学研讨，为了更好地提高课堂效果，提高课堂教学效果，为学生学习后续专业课程打下扎实的基础，课题组提出了以下解决方案.

（一）引导学生转变学习观念，激发学习兴趣

离散数学内容散、概念多、逻辑性强、知识关联度高，其教学目的除了提高学生的逻辑推理能力和抽象思维能力之外，还要使学生掌握这个数学工具，为后续计算机专业课程的学习做好准备，具有一定的思辨能力和专业基础.

因此，授课教师应转变教学观念，从机械式填鸭式、转变为重视理解思考和应用，注重理论体系的把握而不是把注意力仅仅集中在知识点本身上，对数学运算的理解进行再认识和深度提升，如，代数系统（S，+）中的“+”可以是任意满足条件的操作，对单位元1和零元0的认识要区别它们在整数集中的性质，深入理解代数系统之后学生可以根据实际需求构建自己的规则库以及在规则库上的操作；循环群同构可以简化对循环群的研究，无限循环群同构于整数加群，周期为m的循环群同构于剩余类加群，故而对于满足相同特征的循环群归结为对这两种群的研究上，强化了循环群之间的联系，同时也简化了研究的难度和强度；集合论中偏序关系用≥表示，和数学中的大于等于的含义完全不同；等价关系和相容关系主要研究个体间的同一性，给模式分类提供了理论模型；数理逻辑中对于日常生活中没有因果关系的命题也可以进行逻辑运算和推理等，通过对比分析让学生对离散数学的理解不再只局限于知识点本身而是建立完整的知识体系，强化例子的理解培养学生的抽象思维能力和针对实际问题的数学建模能力.

（二）离散数学中具体知识点和实际应用联系起来

图论、关系等应用在复杂网络和大数据研究中越来越广泛和深入.代数系统中群、环、域等理论知识应用在信道编码中纠错方面.图论中货郎担问题就是车间生产模具中走刀问题的数学模型；分组可用二分图，电路布图可用平面图，城市间建立高速网高铁网可用最优二叉树；图论中的哈夫曼压缩是一种无损压缩，可用于指令系统的设计与改进.离散结构和算法思想对应于数据结构中的逻辑结构和其基本操作[3].笛卡尔积和二元关系理论用于关系数据库的查询与维护功能、关系分解的无损连接性分析等.逻辑推理和布尔代数为人工智能研究领域打下了良好的数学基础.

（三）解题方法和技巧的培养

离散数学具有独特的特点，比较重视可行性问题的研究，课程中涉及很多原理，如，鸽巢原理、容斥原理、数的可数性问题等，除了强调这些原理的应用，还要在证明方法上再用另外的方法证明，引导学生从不同的角度理解问题，证明过程中注意引导学生主动思考，深入理解基本定理和结论；除此之外多学、多看，认真分析典型例题的解题过程，再加上多练习，逐步解决学生解题难的问题，也能激发学生的学习兴趣.

学习离散数学的最大困难是其抽象性和逻辑推理的严密性.解一道题或证明一个命题，应首先读懂题意，然后，寻找解题或证明的思路和方法，当找到了解题或证明的思路和方法，把它严格地写出来.下面举例说明.例如，集合A={a，b，c，d}上的划分是S={{a，c}，{b，d}}，求由S导出A上的等价关系.

这个问题考查的是对等价关系和等价类之间关系的理解，大部分学生能从集合的等价关系求出等价类，但是反过来从等价类求对应的等价关系就无从下手.教材中有一个定理：给定集合X的一个划分（覆盖）A={A1，A2，…，An}，由它确定的关系R=A1×A1∪A2×A2∪…∪An×An是等价（相容）关系.这个例题用该定理就很容易解决，只要将集合{a，b}和{c，d}相乘求笛卡尔积就是对应的等价关系，即等价关系R={a，b}×{c，d}={（a，a），（b，b），（c，c），（d，d），（a，c），（c，a），（b，d），（d，b）}.代课教师要对这一类的题目进行归类分析，引导学生多接触方法性解题思路，课堂积累到一定程度，再加上布置课后作I，慢慢地也就能掌握到一定的解题方法和技巧.

（四）提供多沟通渠道，扩展辅导与答疑途径

对于代课教师来说，可以从以下几个途径和学生进行沟通：课堂上对知识点特别是重要的知识点结合多个例题进行讲解，了解知识点的各种应用，加之接触的题量多、题型也多，对知识点的理解也就比较到位，相应的积累的解题经验也就丰富起来；课后对应每一章节布置作业，作业类型尽量覆盖各种题型，难度也要注意平衡，在学生作业中选择有代表性的解题方法对比讲解，让学生从不同角度理解知识点的应用和解题方法的变换，启发学生思维，激发学习的积极性；开展开放式自学平台，除了教材提供的例题和习题，课题组还按照章节整理大量习题以网页的形式面向学生开放，这部分习题都附带解题思路和答案，提供给学生充足的学习资源，提高学生解题的熟练度.

四、结束语

离散数学的教学对于信息类相关专业学生的专业学习非常重要，本文从四个大的方面入手，切实提高学生对离散数学课程的认识，激发学习兴趣，提高教学质量.该项目由中国矿业大学教务处资助，为学生更好地学习专业课程打下坚实的基础.

【参考文献】

离散数学论文篇（9）

《离散数学》是研究离散结构和离散数量关系的数学分支的统称。它是计算机专业基础理论的核心课程，也是培养学生素质的核心课程，在计算机硬件和软件系统的设计和开发中有着广泛的应用和指导作用。在计算机科学中，离散数学有两个主要用途：一是描述计算机科学理论、方法和技术的主要工具，为理论计算机科学提供坚实的基础；二是为形式描述技术奠定数学基础，而形式描述技术则是描述和验证计算机系统的数学表示方法。因此，学好《离散数学》对计算机后续专业课程的学习有着举足轻重的作用。

然而，离散数学存在概念多、理论性强、抽象程度高等特点，现有的教学现状并不令人感到满意，不少学生错误地认为离散数学对计算机学科没有直接的指导作用和应用领域，学习积极性不高，对这门课程产生厌学情绪。因此，为了激发学生的学习积极性，让学生深刻体会到离散数学在计算机科学中的密切关系，本文将结合多年的教学实践，对《离散数学》课程教学中应用结构化教学、趣味性教学和应用型教学相结合的多元教学方法进行研究探讨，以期待取得更好的教学效果，提高课程的整体教学质量。

一、结构化教学

由于离散数学理论性强、概念抽象、定理繁多，在教学中应该注意引导学生层层递进地将分散的知识形成清晰完整的知识结构，在学习每块知识的时候可以适当采用结构化的教学方法。结构化教学方法首先要求教师从宏观的角度弄清整部教材的重点、难点以及各部分之间的联系。其次，要求教师明确知识的来龙去脉，在弄清各知识模块和知识点间联系的基础上，抓住主要的、本质的东西，静态(组成成分)和动态(运算、操作、推理)相结合地组织教学内容。最后，结构化教学方法能把教学内容及知识间的关系用“结构图”展示出来，以突出其基本结构，确保学生能学到主要的且富有连动性的基础知识。

例如，在命题逻辑“范式”这节，主合取范式和主吸取范式的求解过程是比较复杂的一个过程，涉及的概念多，有文字、简单析取式和简单合取式、极大项和极小项等。另外，合取范式并不一定是主合取范式，析取范式也并不一定是主析取范式，对于一个命题逻辑公式，它的合取范式和析取范式的形式可以是不唯一的，而主合取范式和主析取范式是唯一的。在实际教学中，在开始介绍这节前，可概括给出“范式”节知识结构图（如图1），让学生明白这么多概念之间的一个关系，以及最终要求解得到主合取范式和主析取范式是图1中从左到右的动态求解过程。

图1“范式”节知识结构图

二、趣味性教学

子曰：知之者不如好之者，好之者不如乐之者。在教学过程中应注重学生学习兴趣的培养，充分调动学生的积极性，发挥学生的主观能动性。结合离散数学知识在计算机专业中的应用，对《离散数学》中的一些知识点富于历史趣味的故事或启发性的问题加以介绍。例如，在介绍图论的几种特殊图的时候，特殊图包括了二部图、欧拉图、哈密顿图和平面图四种，教师可以相对应引入介绍任务分配问题、中国邮路问题、货郎担问题和地图着色问题（如图2）。每个问题的介绍不必全面和深入，而是侧重讲解它们的趣味性和启发性。结合这些经典的故事和应用，立即调动了学生的学习兴趣和积极性。

图2“图论”中“几种特殊的图”

三、应用型教学

在离散数学教学过程中，根据不同的知识点，给学生分析和讲解《离散数学》在计算机科学中的重要作用。离散数学的应用型教学是提高离散数学教学质量的重要手段，也是离散数学教学质量不可缺少的组成部分。建立完善的课程重要知识点案例体系，设计与开发一个课程案例展示系统（如图3），具体包括每个典型概念和理论的原理、例子、程序展示以及算法分析，然后在课堂运用此展示系统，从提高实际应用能力和课程兴趣度的角度对学生展开教学。在讲解理论的同时，注重其实际应用案例的分析与计算机算法的描述，通过把“基础实验、提高实验和综合实验”这三个层次的案例、课外研究课题等纳入课程教学内容，优化课内、强化课外，努力提高学生的综合能力。同时强调学生主动查阅文献、阅读大量与课程教学内容相关的参考资料，以培养学生掌握学科最新发展动态和开拓知识的能力。

图3课程实践案例展示系统

社会对大学毕业生的需求是全面的、复合的，是理论和实践的统一，是思维能力和动手能力的融合，是应用能力训练与创新活动的融合，只注重学习理论已经无法适应社会要求。这种融实践训练与创新活动于一体的教学活动为学生提供了自由发挥的空间，让学生成为活动的主体，可以提高学生学习自主性与积极性，消除学生对离散数学的消极性，发挥学生的创造性，培养创新能力。在学习离散数学的同时，又加强和提高学生的C和C++语言编程基础，巩固C和C++的编程能力，同时又为后继专业课程的学习打下良好的基础。

四、结束语

总之，离散数学课程在教学中可以多种方法相结合，让学生了解离散数学的课程目的和其在计算机学科中的地位和作用，本着对学生高度负责的精神，就一定能在离散数学教学中消除学生厌学心理，培养学生的学习兴趣，调动学生的积极性和主动性，生动活泼地上好计算机专业的离散数学课。

参考文献：

[1]邵志清，虞慧群．离散数学[M]．北京：电子工业出版社，2003．

离散数学论文篇（10）

中图分类号:G642 文献标识码:A

“离散数学”作为计算机科学与技术专业必修的专业基础课,在计算机领域有着广泛的应用。它提供了许多计算机专业课程的数学基础,这些课程包括数据结构、算法与分析、数据库理论、自动化理论和操作系统等。学好离散数学,一方面可以为后续的课程打下基础;另一方面,通过学习离散数学,可以培养学生的抽象思维和逻辑推理能力,提高发现问题、分析问题和解决问题的能力,为今后的学习和工作打下坚实的数学基础。但由于该课程具有概念多、理论性强、高度抽象、枯燥等特点,致使在教学中出现很多问题。比如,学生学习积极性不高,学生单一的把该课程看作是一门与计算机毫无关系的数学课程来学,对该课程在计算机领域的作用认识模糊等,导致教学效果不理想。因此,激发学生对该课程的学习兴趣,改进离散数学的教学方法是十分必要的。

1培养学生的兴趣

在任何一门课程的讲授中,培养学生的学习兴趣都是非常重要的。

为了培养学生学习离散数学的兴趣,在教学中要特别注重前几堂课的教学,尤其是第一堂课,不能直接进入离散数学的理论知识学习,而是要通过一些实例来说明离散数学的用处,如“哥尼斯堡七桥问题”、“四色问题”等。通过前几堂课的教学,让学生充分认识到离散数学与计算机科学其他课程之间的密切关系,从而从思想的高度认识此门课程的关键性。

当然,教师课堂教学的艺术性与感染力也是培养学生对离散数学产生兴趣的重要方面。因为大部分学生对离散数学这门课程的地位和作用认识不足,学习兴趣没有学习与编程语言相关的课程那么高涨,上课容易走神,从而导致最终的考试结果不理想。教师除了对这门课程内容要熟练掌握外,还要提高自己的教学艺术水平,正确运用多种手段来吸引学生的注意力,充分发挥教师的主导作用,驾驭好课堂时间,增强课堂教学的艺术性和感染力,也可适当制作一些动画和图形避免视觉疲劳,达到让学生主动学习这门课程的目的。

2注重离散数学理论与它在计算机中的应用相结合

在“离散数学”课程的教学过程中,我们应该理论联系实际,注重它在计算机学科中的应用,来提高学生学习的兴趣和对该课程的重视。

数理逻辑是所有数学推理的基础,在人工智能、程序理论和数据库理论等的研究中有着实际的应用,如专家系统、机器人等都离不开数理逻辑。集合论在计算机科学中也有广泛的应用,它为数据结构和算法分析奠定了数学基础,如在软件工程和数据库中也会用到。抽象代数是关于运算或计算规则的学科,在计算机科学中也有广泛的应用,如形式语言与自动机、密码学、网络与通信理论、程序理论和形式语义学等方面都要用到代数结构的知识,其中格与布尔代数在通信系统中发挥着重要作用。图论在数据结构、操作系统和计算机网络中都有广泛的应用,如数据结构中的图和树都是以图论为基础,网络中的拓扑结构都是用图来表示。

通过这种关联,并对适当的知识点举例说明来加深学生对知识的理解,还应随时介绍所学知识的应用背景和发展方向,使学生能够感受到学习这门课程的必要性,调动学生的积极性。

3注重课堂教学方法的改进

3.1找到结构,克服“散”

在离散数学中,概念多、理论性强、知识点散,抓不住重、难点,老师讲起来费劲,学生听起来吃力。因此,每节课的内容都要有一条主线,选择本节课要讲的知识点,用一条线将相关的知识点串起来。以命题逻辑为例,可以这样把各知识点串起来,如图1所示:

每个知识单元完成后加以总结,讲出知识点之间的关联结构,达到系统掌握命题逻辑知识的目的。

3.2有取有舍,克服“满”

离散数学的内容太多,若课时有限,那我们要有取有舍,可以选择其中的60%～70%的内容进行讲授,其余留给学生阅读思考或布置作业,这样不仅可以锻炼学生的自学能力,还节省了课堂时间。这就要求我们课堂上一定要把内容讲透,不能蜻蜓点水,除了要讲解基础性知识和本节的重难点外,还要着重培养学生对学科方法的运用以及解决问题的思路,知识点之间的关联也要交代清楚。而对于一些类似的方法或例子、推广的结果、能够自学的知识和某些繁琐的推导要舍得放弃。

例如在讲解代数结构这一部分时,代数系统、群要重点讲授,这是后续内容的基础,环、域和格可以简单讲授,课时少的话可以只把概念讲授清楚,独异点等可以留给学生课下阅读和学习。再如组合数学部分,基本的组合计数、递推方程与生成函数、容斥原理重点讲授,鸽巢原理、Ramsey定理、Polya定理等简单讲授,推广的容斥原理、Ramsey定理的应用、带权的Polya定理留给学生阅读。

掌握好取舍关系,才能让学生把握离散数学的关键点,而不至于偏离方向,不至于丧失学习的信心。

3.3掌握节奏,克服“快”

离散数学概念多,理论性强,学生上课容易走神,开小差,因此课堂上一定要掌握好节奏,给学生喘息和思考的时间,这就要求我们在安排学时时要留有一定的余地。课堂上,对不同内容的讲解要穿行,有张有弛,如概念、定理与应用实例可以结合起来讲解,便于学生理解,也可以适当穿插一些解题方法的分析等,也可以在课堂上通过提出一些思考题来放慢节奏,或者是介绍一些历史背景、相应知识点的新进展等。采用适度“慢”策略,是在强调教师的教学目的和方法的同时,更强调学生的独立思考和综合判断能力,因为学生才是学习的主体,教学活动的中心。

3.4启迪思路,克服“灌”

离散数学的教学中,我们要克服“灌”的教学习惯,采用启发式教学。启发是数学教学的灵魂,因为归根结底数学是人类一种高度的精神活动。美国著名数学家柯朗(R•Courant)在《数学是什么》一书中指出,“数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志,缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要求是:逻辑和直观,分析和构造,一般性与个别性。虽然不同传统可以强调不同的侧面,然而这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成数学科学的生命、用途和高价值。”因而数学教学决不能只告诉学生现成的数学结论,或让他们死记公式定理法则,然而要在很短的时间内让学生理解某些数学理论及逻辑是非常困难的,必须采用启发式教学,让学生运用自己的智力认真思考,这就对数学教师提出了新的要求,其精髓在于“提出问题讲解方法推广应用”。首先我们通过列举实例提出问题;然后讲解解决此问题的思路,即建模(利用离散数学中学习的方法和理论来求解);再通过典型实例细述此方法和理论在实际中的应用;最后总结此方法和理论适用的条件及一般化推广。

如在讲“有穷集的计数”这一小节中,我们可以通过列举实例来提出问题,例:求1到1000之间(包含1和1000在内)既不能被5和6,也不能被8整除的数有多少个?我们可以利用“文氏图法”和“包含排斥原理”两种方法来解决这个问题,首先可以通过讲解如何利用“文氏图法”来解决此问题的思路,为后面引出“包含排斥原理”做好铺垫;接着可以引出“包含排斥原理”,并讲解用此原理如何解决上面的问题;最后,总结一下“包含排斥原理”的适用条件以及它的推论。

再如在讲解图论时,我们可以模拟哥尼斯堡七桥问题的实景,通过场景描述对比,让学生明白七桥问题跟桥的长短、岛的大小无关,从而抽象到欧拉图问题,这也就是图论知识的起源,同样的方法可以应用到哈密尔顿图等问题的讨论。

通过这种启发式教学,让学生对所学知识有直观的了解,然后再引导学生自己列举类似问题,进一步加深对有关定义、定理以及推论的理解,提高学生学习的兴趣和增强学生分析问题、解决问题能力的双重目的。

3.5适时地给学生总结

离散数学的内容多而杂,课时少。讲课时,授重点解难点,对于易懂的内容可以一带而过或者留作课下自学。除此之外,课堂小结是一项非常重要的教学技巧与授业解惑利器。鉴于离散数学的抽象性与复杂性,学生课上容易走神,如果上堂课没听好则必然会影响下堂课的听课兴趣和听课质量,因此,进行课堂小结是必要的,起着承上启下的作用。

每次课的最后留下5分钟左右,对本次课所讲的内容进行小结,尤其是重点内容。每次课开始时对上次课讲的内容进行回顾;每章讲完后适当进行小结,总结前后各知识点之间的关联,以及应该掌握的知识点,给学生们一个总体印象,这样有助于学生对知识点的掌握及自我能力的提高,更重要的是给学生足够的信心来学习这门课程,而不至于陷于越学越听不懂,越听不懂越不想学的恶性循环。

4结语

由于在计算机科学领域中很多地方都采用了离散数学的概念思想和方法,因此离散数学已经成为计算机科学与技术专业学生必须掌握的理论基础和数学工具。本文从计算机科学与技术专业学生学习离散数学的角度论述怎样激发学生学习的积极性及学习兴趣,注重与计算机学科的结合及注重课堂教学方法的改进等方面探讨了“离散数学”课程教学方法的改进。

为了提高这门课程的教学效果,还可以研究怎样更好地利用多媒体创造良好的学习环境,提高课堂效果,以及如何在该门课程中引入实践课,让学生能将所学的知识应用于实践,提高他们的创新精神。我们还可研究怎样建立该课程的教学网站,补充、整合离散数学的教学资源及网上答疑和讨论,方便学生课外进一步学习。

参考文献:

[1] Rosen K H. 离散数学及其应用[M]. 袁崇义,屈婉玲,译. 北京:机械工业出版社,2002.

[2] 王元元,张桂芸. 离散数学导论[M]. 北京:科学出版社,2002.

[3] 屈婉玲,耿素云,张立昂. 离散数学[M]. 北京:高等教育出版社,2008

Analysis of Computer Science and Technology of “Discrete Mathematics” to Improve Teaching Methods

QIU Li-ke, ZHAO Jing, ZHAO Yang-fan

离散数学论文篇（11）

中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:1009-3044(2010)10-2487-02

Study on the Teaching of Discrete Mathematics for Computer Major Students

DENG Chun-yan, HUANG Xing-shou, REN Xian

(Department of Computer and Information Science, Hechi University, Yizhou 546300, China)

Abstract: Discrete mathematics is a basic course of computer science specialty, is a required course for the computer major students. But because of its characteristics, a lot of students produce the mood of students' study-weariness. Based on the teaching practice and experience, from the point of view of teaching material and teaching methods, this paper propose that teacher should enhance the theories contact, emphasize contact with practice application, try to realize the perfect combination of teaching and Learning.

Key words: discrete mathematics; stimulation in teaching

计算机的发明揭开了上世纪科技史上最辉煌的一页。计算机与人类的生活已融为一体,密不可分。伴随着计算机的发展,作为支撑学科的离散数学正变得越来越重要。离散数学属于现代数学范畴,是研究离散量的结构及相互关系的学科。它可在计算性与计算复杂性理论、算法与数据结构、程序设计语言、数值与符号计算、数据库与信息检索系统、人工智能与机器人、网络、计算机图形学以及人机通信等领域方面有着广泛的应用。作为一门重要专业基础课程,通过离散数学的学习,不仅能为学生的专业课学习及将来所从事软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础,同时也能培养他们抽象思维和严格逻辑推理能力。

但是由于该课程概念多、理论性强且高度抽象,学生容易产生畏惧心理,也有学生对离散数学的认识仅停留在“数学课”的基础上,误将其看成公共数学课。没有意识到离散数学与计算机科学之间的关系,觉得学好学不好无所谓。最后产生厌学情绪。有学者[1]曾作过抽样问卷调查,结果显示:78%的学生认为学习离散数学无用。学生中流传这么一种说法:“学时不理,考前看看,通过就算。”从这可看出,学生对学习离散数学的目的非常不明确。也就说,他们还没有认识到离散数学的重要性。

如何提高离散数学在计算机专业的教学,实现教学目标,很多相关教师提出了自己的教学方法[1-3]。借鉴他们方法,结合我们的实际教学情况及教学经验。文章就如何提高学生对离散数学作用的认识、激发学生学习离散数学的兴趣作下探讨。

1 选取适合教材,提高学生自主学习能力

一部好的教材,犹如一个好的教师。因此精心为学生选择教材,对学生的学习态度,起着至关重要的作用。目前国内关于高等院校的离散数学教材,可说是种类繁多,各教材也各有特点、各有千秋。

根据多年的教学经验,我们认为清华大学出版社出由耿素云、屈婉玲、张立昂编箸的《离散数学》[4],适合课时比较少的学生使用。该教材取材适度、概念清楚、讲解翔实、通俗易懂;着重于基本概念的论述和应用,而不重于定理证明。每章后面均给典型的题例分析。这为学生课余自学提供了很大的帮助。

2 改进教学方法,提高学生的认识、培养学生数学思维能力

一个人对事物的认识指引着他的行动,决定着他对该事物的态度。由于离散数学的概念多、理论性强、高度抽象、枯燥乏味。在教学中,学生易于厌倦。因此要达到教学目标,对教师来说,是个艰难的课题。

兴趣是最好的老师,是学习的动力。调动学生学习的积极性、调节课堂气氛与使用启发式和激励教学法是提高学生学习的有效途径。由于我国计算机发展史比较短,因此教材中能给离散数学鲜活应用实例不多。为达到提高学生认识,激发学生学习兴趣。在教学中,根据每个章节的侧重点不同,可寻找、选择那些与计算机领域新技术、实际问题相关联的问题作为实例。以课前布置,课堂分析的形式来完成示例教学。通过合理实例,可以使学生将离散数学视为专业工具而不是纯数学理论,可以引导学生对用理论解决实际问题进行思考,可以增强学生学习的成就感和创造意识。

以下以离散数学的部分内容为例,说明如何更好地让理论与实际相结合起来。

2.1 数理逻辑部分

数理逻辑是所有学科的基础,它是用数学方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科。它包括的内容相当丰富,大体上可分为五部分:逻辑演算、证明论、公理集合论、递归论和模型论。

在计算机硬件设计中,常用到数理逻辑的基本概念、基本思想、基本方法。数字逻辑作为计算机科学的的一个重要理论,很大程度上起源于离散数学的命题与逻辑演算。利用命题中各联结词的运算规律,把高低电平的各信号之间的运算与二进制之间的运算联系起来。可以用数学来解决电路的设计问题,使得整个设计过程变得更为直观、更为系统化。例如:要求设计一电路,要求在房间门外、门内及床头各安装一个开关,当且仅当一个开关开或三个开关都开时,房内的灯变亮。利用命题的等值演算,我们可以得出所要设计的电路逻辑表达可简化为:■。

当然对于低年级的学生来说,利用命题的等值式,进行实际问题解决的才是最直接的、最直观的。也是比较容易吸引学生的兴趣。比如现在考公务员、GCT入学或应聘一些大型公司笔试,都少不行政能力试测,这其中很相当部分是用到离散数学知识的逻辑知识解决。

如2005年全国公务员的考试中有这么一道题:若风大,就放风筝;若气温高,就不放风筝;若天气不明朗,就不放风筝。假若以上说法正确,若放风筝,则以下说法正确的是。备选答案有A、风大B、天气明朗C、气温高。上课时,我们曾要求在一分钟内学生回答这个问题。正确率相当低,很多学生选择A答案。其实如果清楚逻辑演算推理定律中的拒取式,很容易得到正确答案是B。又如:一大型公司笔试有这么一道题:

有甲、乙、丙、丁四个犯罪嫌疑人。在接受审问时,甲说:“案犯是丙”。乙说:“丁是罪犯”。丙说:”如果是我作案,那么丁是主犯”。丁说:“不是我作的案”。问:如果四人中只有一人说的是假话,那么谁作的案?如果明白矛盾律的内容,很容易得知答案是:丙和丁。

等值演算的作用,学生常觉得难以理。其实它可化简程序的复杂度[2]。如下程序:

IfC1Then IfC2ThenA Else BIf C2ThenA Else B

显然 ,上面的程序中存在冗余部分。从程序中可知事件A、B执行的条件分别:;

利用等值式进行化简可得:

因此原程序等价于: IfC2ThenA ElseB.

2.2 集合论部分

数据库技术当前被广泛应用于各个领域,关系数据库已成为数据的主流。集合论的知识在关系数据库中得以发扬光大。集合间的笛卡尔积运算是一个纯数学理论知识。但它在研究关系数据库显示出不可替代的作用。不仅为其提供理论和方法上的支持,更重要的是推动了数据库技术的研究和发展。

矩阵因其表达简洁、计算简单、编程容易而被作为一种计算工具广泛使用。在数据库中,一个属性对应着一个等价关系矩阵。而等价关系矩阵也是一种特殊的布尔矩阵。目前也有不少学者研究将关系矩阵用于数据挖掘的属性约简[5],并取得良好的效果。

因为数据挖掘是当前计算机技术应用的一个热点,关系数据库是数据库技术的主流。学生从内心上是乐于学习这些内容,但这部分还是相当枯燥。为不打击学生的积极性,在介绍关系矩阵运算时,可以选择与其密切联系的区分矩阵在属性约简中的运用。为加强学生的理解,可以让学生自己动手编程上机实现。这既加深了学生对关系矩阵运算的理解,又可提高学生的综合运用知识的能力。

在介绍关系的五种性质时,因这部分内容既难理解又是本章节的重点。为提高学生的兴趣,在讲解完相关的概念后,鼓励学生用已学的程序语言设计相应的程序,设计一个用于判断关系性质的小软件。这可极大提高学生学习的成就感和创造性。

对学有余力的学生,可以介绍他们去了解电话交换系统中,关于集合知识的运用。

2.3 图论部分

图论的部分是离散数学中的重点,同时也难点。它的应用极为广泛。几乎覆盖了整个计算机的应用领域。比如信息论、控制论、运输网络、鲛穆邸⒍圆呗邸⑷斯ぶ悄堋⑿问接镅浴⒉僮飨低车取R虼搜生在学习这部分内容是能主动意识到它的重要性。但这部分内容概念多、理论抽象。相应的算法在实际的用途,对于低年级学生来说,还没有意识到。因此有必要给学生介绍些一些趣味性问题。如:慰ㄎ侍;货O担问题等。

其实,实际生活中也常用到图论知识的运用。如:任务分配问题。有四名名教师,张、王、李、赵。要求他们去上四门课:数学、物理、电工和计算机基础。已知张能胜任数学和计算机基础;王能胜任物理和电工;李能胜任数学、物理和电工;赵只能胜任电工。如何安排,才能使每个教师都能教自己胜任的课,并且每门课都有人上。这一道题,如果不借助图论的知识,也可解决,但不直观、不简洁。如果用图论中的二部图知识,解决起来就简单多了,只有小学数学水平的人都能看懂,也就是图论的威力所在。

3 结束语

由于教改后,许多高等院校把作为专业基础课的离散数学课时压缩了不少。但离散数学教学的最终目的是为学习计算机科学专业的学生提供必需的数学基础。离散数学在计算机科学领域中的地位是毋庸置疑的。因此对于任课教师来说,在极其有限的时间,保证完成教学内容,是个极大的挑战。它要求教师在认真研究理论内容下,精心构造、筛选实例。使其既有助于学生理解基本理论,又能提高学生学习离散数学的兴趣、培养学生的数学思维能力。本文主要结合离散数学的主要内容,提出如何加强理联系实际,从中给出了离散数学在计算机学科及生活中的一些运用。至于如何把感性认识提升到理性认识,将是我们下文章所讨论的内容。

参与文献:

[1] 李锋,孙莉.任务驱动方法在离散数学教学中的运用[J].计算机教育,2006(3):27-29.

[2] 牛连强,陈欣,邓金鹏.小议“离散数学”课程中的应用示例与教学[J].高等理科教育,2008,3(79):35-38.