弹性函数的经济学意义大全11篇
时间：2023-09-11 17:18:46
弹性函数的经济学意义篇（1）
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］?@聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.
弹性函数的经济学意义篇（2）
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.
弹性函数的经济学意义篇（3）
1导数在经济分析中的应用
1.1边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量,P为商品价格）,则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数,简称边际需求。类似地,若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量,P为商品价格）,则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数,简称边际供给。
1.1.2边际成本函数
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本,其经济意义为：当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润,其经济意义是：当产量达到Q0时,如果增减一个单位产品,则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数,C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；
L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
以上结果表明：当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元；当月产量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加；当月产量为20吨时,再增产1吨,利润反而减少1万元。
显然,企业不能完全靠增加产量来提高利润,那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2弹性在经济分析中的应用
1.2.1弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比,当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率,或称为弹性函数。记为EyExEyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处,弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值,简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处,当x产生1%的改变时,f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2需求弹性
经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）),由于价格上涨时,商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数,ΔP与ΔQ异号,所以特殊地定义,需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
例2设某商品的需求函数为Q=e-p5,求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2
η(3)=0.6<1,说明当P=3时,价格上涨1%,需求只减少0.6%,需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1,说明当P=5时,价格上涨1%,需求也减少1%,价格与需求变动的幅度相同。
η(6)=1.2>1,说明当P=6时,价格上涨1%,需求减少1.2%,需求变动的幅度大于价格变动的幅度。
1.2.3收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积,即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以,收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样,就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上,收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1,则EREP>0价格上涨（或下跌）1%,收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1,则EREP<0价格上涨（或下跌）1%,收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1,则EREP=0价格变动1%,收益不变。
1.3最大值与最小值在经济问题中的应用
最优化问题是经济管理活动的核心,各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一,例如,在一定条件下,使成本最低,收入最多,利润最大,费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1最低成本问题
例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px,（常数m>0,n>0,p>0）,（1）问每批生产多少单位时,使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。
解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p,C’=2mx-n
令C’,得x=n2m,而C’’(x)=2m>0。所以,每批生产n2m个单位时,平均成本最校
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m),又C’(x)=3mx2-2nx+p,C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以,最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2最大利润问题
例4设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数p=60-Q1000（Q为销售量）,假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000
L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大,L（2000）=340000元
所以生产20000个产品时利润最大,最大利润为340000元。
2积分在经济中的应用
在经济管理中,由边际函数求总函数（即原函数）,一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量,则采用定积分来解决。
例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为C0=1000元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L’=400-2x,令L’=0,得x=200,因为L’’(200)<0。所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。
在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具,不但可以给企业经营者提供精确的数值,而且在分析的过程中,还可以给企业经营者提供新的思路和视角,这也是数学应用性的具体体现。因此,作为一个合格的企业经营者,应该掌握相应的数学分析方法,从而为科学的经营决策提供可靠依据。
参考文献
［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社,2003,（6）.
弹性函数的经济学意义篇（4）
1 导数在经济分析中的应用
1.1 边际分析在经济分析中的的应用
1.1.1 边际需求与边际供给
设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。
总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。
1.1.3 边际收益函数
总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．
R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。
1.1.4 边际利润函数
利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。
解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：
R（Q）=20Q
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；
显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？
1.2 弹性在经济分析中的应用
1.2.1 弹性函数
设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0
ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)
在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。
1.2.2 需求弹性
经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。
对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)
解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；
η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。
η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。
1.2.3 收益弹性
收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R=PQ=Pf(p)
R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)
所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η
这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。
（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；
（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；
（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。
1.3 最大值与最小值在 经济 问题 中的 应用
最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。
1.3.1 最低成本问题
令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。
（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。
1.3.2 最大利润问题
例4 设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？
解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。
2 积分在经济中的应用
在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。
解:总成本函数为
总收益函数为R(x)=500x
在这里我们应用了定积分, 分析 出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。
综上所述，对 企业 经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析 方法 ，从而为 科学 的经营决策提供可靠依据。
参考 文献
弹性函数的经济学意义篇（5）
数学是各个学科得以发展的基础，也是各个学科进行理性、抽象和科学分析问题的重要工具.由于数学高度的抽象性、严谨的逻辑性，造成学生学习的困难.久而久之，就产生了“学数学有什么用”的困惑，所以有必要经过训练和熏陶，使他们建立学习数学的兴趣，树立学习数学的信心[1].
微积分是高等数学的一个重要分支，是进行数学分析的重要基础理论.现如今，微积分已经被应用于各个学科之中，特别是在经济学中，微积分思想的引入给经济问题的分析和解决带来了诸多便利.
一、导数在边际和弹性理论中的应用
1.函数变化率――边际函数
设函数y=f（x）可导，则导函数f′（x）称为边际函数，它的含义是：当x=x0时，当自变量x产生一个单位的改变时，y近似改变f′（x0）个单位.在西方经济学中，有边际成本、边际收入、边际利润等.
例1 设某产品成本函数C=C（Q）（C为总成本，Q为产量），其变化率C′=C′（Q）称为边际成本，C′（Q0）称为当产量为Q0时的边际成本.西方经济学家对它的解释是：当产量达到为Q0时，生产Q0前最后一个单位产品所增添的成本.
例2 设销售某种商品Q单位时的总收入函数为R=R（Q），则R′=R′（Q）称为销售量为Q单位时的边际收入.其经济含义是：在销售量为Q单位时，再增加一单位产品销售总收入所增量.
例3 设销售某种商品Q单位时的利润函数为L=L（Q），则L′=L′（Q）称为销售量为Q单位时的边际利润.
2.导数与弹性函数
我们先来看一个例子：
经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况，因此先引入下面定义：
定义1[2] 设函数y=f（x）可导，函数的相对改变量
与自变量的相对改变量Δxx之比Δy/yΔx/x，称为函数f（x）从x到x+Δx两点间的弹性（或相对变化率）.而极限
称为函数f（x）在点x的弹性（或相对变化率），记为
注：函数f（x）在点x的弹性EyEx反映随x的变化f（x）变化幅度的大小，即f（x）对x变化反映的强烈程度或灵敏度.数值上，EExf（x）表示f（x）在点x处，当x产生1%的改变时，函数f（x）近似地改变EExf（x）%，在应用问题中解释弹性的具体意义时，通常略去“近似”二字.
定义2[2] 设需求函数Q=f（P），这里P表示产品的价格，于是，可具体定义该产品在价格为P时的需求弹性如下：
η=η（P）=limΔP0ΔQ/QΔP/P=limΔP0ΔQΔP・PQ=P・f′（P）f（P）.
注：一般地，需求函数是单调减少函数，需求量随价格的提高而减少（当ΔP>0时，ΔQ
用需求弹性分析总收益的变化：总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即
R
知：
（1）若|η|0，R递增.即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少.
（2）若|η|>1，需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R′
（3）若|η|=1，需求变动的幅度等于价格变动的幅度.R′=0，R取得最大值.
综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化.
二、导数在利润最大化问题中的应用
在微分学中，通过对已知的函数进行求导后，就可以得到原函数的导数，即边际函数.而在经济学之中，边际概念通常表示经济变量的变化率.在经济领域中，企业家经常会遇到如何才能使产品成本最低化、利润最大等问题.这些问题都可以转化为最大值和最小值进而用微积分的方法来解决.
例4 一个企业的总收益函数是R=4000Q-33Q2，总成本函数是C=2Q3-3Q2+400Q+500，求最大利润L.
三、积分在利润最大化问题中的应用
例5 设某种商品明天生产x单位时固定成本为20元，边际成本函数为C′（x）=0.4x+2（元/单位），求总成本函数C（x）.如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L（x），并问每天生产多少单位时才能获得最大利润.
解 因为变上线的定积分是被积函数的一个原函数，因此可变成本就是边际成本函数在[0，x]上的定积分，又已知固定成本为20元，即C（0）=20，所以每天生产x多少单位时总成本函数为
设销售x单位商品得到的总收益为R（x），根据题意有R（x）=18x，
所以总利润函数
由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40，而L″（40）=-0.4
四、微分方程在经济中的应用
例6 某商品的需求量Q对价格P的弹性为-Pln3，已知该商品的最大需求量为1200（即当P=0时，Q=1200），求需求量Q对价格P的函数关系.解 根据弹性公式得，PQQ′=-Pln3，
化简得1QQ′=-ln3，
两边积分得∫1QQ′dP=∫-ln3dP，
其中，C=eC1，由初始条件P=0时，Q=1200，得C=1200，
所以，需求量Q对价格P的函数关系Q=1200×3-P.
结 语
在当今学科交叉研究越来越深入的趋势下，微积分思想与经济学的研究也更加紧密地结合了起来，通过本文可以看出，利用微积分知识可以简捷、方便地解决许多经济问题.希望通过本文的研究能够帮助人们了解微积分思想在经济中的重要作用.
弹性函数的经济学意义篇（6）
一个企业或者一个商店最关心的是如何以最小成本达到利润最大。经济学中常用到边际概念分析一个变量y关于另一个变量x的变化情况。边际概念是当x在某一给定值的附近发生微小变化时y的变化情况,它发映了y的瞬间的变化,而刻画这种瞬间微小变化的数学工具便是导数。
一、导数的概念
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当自变量x在点x0处取得增量Δx(点x0+Δx仍在该邻域内)时,相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δ)-f(x0);如果Δy与Δx之比当Δx0时的极限存在,则称函数y=f(x)在点x0处可导,并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数,记为f'(x0),即
f'(x0)==。
若函数y=f(x)在某区间内每一点都可导,则称y=f(x)在该区间内可导,记f'(x)为y=f(x)在该区间内的可导函数(简称导数)。
二、经济分析中常用的函数
1、需求函数与供给函数
(1)需求函数。设Q表示某种商品的需求量,P表示此种商品的价格,则用Q=f(P)表示对某种商品的需求函数。一般来说,对某种商品的需求量Q随价格减少而增加,随价格增加而减少,所以需求函数是单调减少的函数。
(2)供给函数。站在卖方的立场上,设Q表示对某种商品的供给量,P表示此种商品的价格,则用Q=F(P)表示某种商品的供给函数。一般来说,作为卖方,对某种商品的供给量Q是随价格P的增加而增加,随价格P的减少而减少,所以供给函数是单调增加的函数。
2、成本函数与平均成本函数
(1)成本函数。产品的成本一般有两类:一类随产品的数量变化,如需要的劳动力,消耗的原料等;这种生产成本称为可变成本。另一类成本无论生产水平如何都固定不变,如房屋、设备的折旧费、保险费等,称为固定成本。设Q为某种产品的产量,C为生产此种产品的成本,生产每个单位产品的成本为a,固定成本为C0,则成本函数为C=C(Q)=aQ+C0。
(2)平均成本函数。用C=C(Q)=表示每单位的平均成本函数。
3、价格函数、收入函数和利润函数
(1)价格函数。在厂商理论中,强调的是既定需求下的价格。在这种情况下,价格是需求量的函数,表示为P=P(Q)。要注意的是需求函数Q=f(P)与价格函数P=P(Q)是互为反函数的关系。
(2)收入函数。在商业活动中,一定时期内的收益,就是指商品售出后的收入,记为R。因此,收入函数为R=R(Q)=PQ。其中Q表示销售量,P表示价格。
(3)利润函数。利润是指收入扣除成本后的剩余部分,记为L。则L=L(Q)=R(Q)-C(Q)。其中Q表示产品的的数量,R(Q)表示收入,C(Q)表示成本。
三、导数的经济学意义及其在经济分析中的应用
1、边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念,通常指经济变量的变化率。利用导数研究经济变量的边际变化的方法,即边际分析方法,是经济理论中的一个重要分析方法。
一般地,设函数y=f(x)可导,则导数f'(x)叫做边际函数。成本函数C=C(Q)的导数C'(Q)叫做边际成本,其经济意义为当产量为Q时再生产一个单位的产品所增加的总成本;收入函数R=R(Q)的导数R'(Q)叫做边际收入,其经济意义为当销售量为Q时再多销售一个单位产品所增加的销售总收入;利润函数L=L(Q)的导数L'(Q)叫做边际利润,其经济意义近似等于产量(或销售量)为Q时再多生产(或多销售)一个单位产品所增加(或减少)的利润。
例如:某企业每月生产的总成本C(千元)是产量Q(吨)的函数C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产8吨、10吨、15吨、20吨时的边际利润。
解:因为利润函数为:L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-10Q+20)=-Q2+30Q-20。所以边际利润为L'(Q)=(-Q2+30Q-20)'=-2Q
+30。于是L'(8)=-2×8+30=14(千元/吨),L'(10)=-2×10+30=10(千元/吨),L'(15)=-2×15+30=0(千元/吨),L'(20)=-2×20+30=-10(千元/吨)。
以上结果表明:当月产量为8吨时,再生产1吨,利润将增加14000元;当月产量为10吨时,再生产1吨,则利润将增加1万元;当月产量为15吨时,再生产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再生产1吨,利润反而减少1万元。实际上,该题的边际利润函数L'(Q)=-2Q+30在Q>15时小于0,所以利润函数是单调减少的,随着产量的增加,利润将减少。显然,该企业不能完全依靠增加产量来提高利润,搞得不好,还会造成生产越多,亏损越大的局面。那么保持怎样的产量才能使该企业获得最大利润呢?由微观经济学的知识可知:在该题中当R'(Q)=C'(Q),即L'(Q)=0,Q=15时,也就是该企业把月产量定在15吨,此时的总利润最大为:L(15)=-152+30×15-20=205(万元)。
2、弹性分析
弹性概念是经济学中的另一个重要概念,用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度。或者说,一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几。
(1)弹性的定义。设函数y=f(x)在点x处可导,函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比,当?驻x0时的极限称为函数y=f(x)在点处的相对变化率,或称为弹性函数。记为Ex=f'(x)。
(2)需求价格弹性的概念。经济学中,把需求量对价格的相对变化率称为需求的价格弹性。记为E=Q'(P)。由于需求函数是价格的递减函数,所以需求弹性E一般为负值。其经济意义为:当某种商品的价格下降(或上升)1%时,其需求量将增加(或减少)|E|%。当E=-1(即|E|=1)时,称为单位弹性。即商品需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等,例如报纸。当E1)时,称为富有弹性。即商品需求量的相对变化大于价格的需求变化,此时价格的变化对需求量的影响较大。换句话说,适当降价会使需求量有较大幅度上升,从而增加收入。例如空调、汽车等高档生活用品,包括旅游和专业服务等。需求富有弹性的商品价格下降而总收益增加,就是我们一般所说的“薄利多销”的原因所在。“薄利”就是降价,降价能“多销”, “多销”则会增加总收益,所以,能够作到薄利多销的商品是需求富有弹性的商品。需求富有弹性的商品价格上升而总收益减少,说明了这类商品如果调价不当,则会带来损失。例如,1979年我国农副产品调价,猪肉上调20%左右,在当时我国人民的生活水平下,猪肉的需求富有弹性,猪肉涨价后人们的部分购买力转向其他代用品,猪肉的需求量迅速下降。国家不得不将一些三、四级猪肉降价出售,加上库存积压,财政损失20多亿;再加上农副产品提价后给职工的补助20多亿,财政支出增加40多亿。当-1
在商品经济中,商品经营者关心的是提价(?驻p>0)或降价(?驻p
例如:(2004年考研题)设某商品的需求函数为Q=100-5P,其中价格P∈(0,20),Q为需求量。
①求需求量对价格的弹性E(E>0)。
②推导=Q(1-E)(其中R为收益),并用弹性E说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加。
解:①由Q=100-5P知Q'(P)=-50,所以:
E=×Q'=×(-5)==。
②由R=PQ得=Q+PQ'=Q(1+Q')=Q(1-E)。又由E==1,得P=10。于是,当10
总之,企业在制定或变动产品价格时,一定要考虑到自己产品需求价格弹性的大小,这样才能更好地利用价格策略增强竞争力。
3、优化分析
最优化问题是经济管理活动的核心,通常是利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题。例如:(1997年考研题)一商家销售某种商品的价格满足关系P=7-0.2x(万元/吨),销售量(单位:吨),商品的成本函数是C=3x+1(万元)。
(1)若每销售1吨商品,政府要征税t(万元),求该商家获得最大利润时的销售量;
(2)t为何值时,政府税收总额最大?
解:(1)设T为总税额,则T=tx。商品销售总收入为R=Px
=(7-0.2x)x=7x-0.2x2。于是得利润为L=R-C-T=7x-0.2x2-
3x-1-tx=-0.2x2+(4-t)x-1。求导,得L'=-0.4+4-t,L"=-0.4。令L'=0,解得x=(4-t)。
因为L"
(2)将x=(4-t)代入T=t,得T=t×=10t-t2。
由T'(t)=10-5t=0,得唯一驻点t=2,又T"(t)=-5
综上所述,对企业经营者来说,对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将导数作为分析工具,可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角。
【参考文献】
[1] 万解秋:试论需求效用学说对我国价格制度改革的作用[J].世界经济文汇,1985(4).
弹性函数的经济学意义篇（7）
中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）09（a）-0140-02
在高职数学教学过程中，作为重要的解题工具，导数的运用不仅能够有效解决函数问题，还能够分析函数中的极限值和单调性问题，为函数的解决问题手段提供有效帮助，在目前的高职数学教学过程中，函数的极值问题和单调性问题都能够为函数提供有效解决手段，这也是运用导数能够解决的函数问题，可以说函数的重点在于教学过程，这也是为何导数成为高职数学教学中的重要解题方式，并且能够在高职数学教学中得到广泛应用。
1 导数能够解Q的函数问题
1.1 导数能够有效解决高职数学中的函数问题
在高职数学中，函数是重要的知识点，如果不能正确掌握函数知识，将会影响高职学生数学的最终学习效果。而函数的解题是一个难点，如何保证函数解题有效性成为了高职数学的研究重点。而导数的出现，为函数解题提供了新的方法。
1.2 导数能够对高职数学问题的解决起着重要作用
利用导数解题，目前已经成为解决高职数学问题的有效手段，在导数解题的过程中，学者们不但要学会导数解题的具体方法，同时还要培养导数解题的意识，认识到导数解题对解决高职数学问题起到的重要作用。
1.3 导数能够有效解决高职数学问题
在高职数学中导数知识具有重要地位，导数知识不但本身属于高职数学的重要组成部分，同时还成为了解决高职数学问题的有力手段，因此，要正确认识导数知识在解决高职数学问题中的促进作用。
2 导数在高职数学中的应用
2.1 导数在经济分析中的应用
（1）边际与边际分析。
如果在处可导，那么它在处的变化率为，即函数在点的导数，在经济分析中称它为在点处的边际函数值。设在点处，从改变一个单位时，的增量的准确值为，由于实际的经济问题中，一般是一个比较大的量，而与相比就可以看作是一个相对较小的量，由微分学可知，的近似值可表示为。这说明在点处，当改变一个单位时，近似的改变个单位。在实际应用中，通常略去“近似”二字，来解释边际函数的定义。于是，就有以下定义：设函数可导，则称导数为边际函数，称为在点处的边际函数值。
（2）弹性与弹性分析。
弹性也是高职数学中重要的概念之一，它反映了一个经济变量变化对另一个经济变量变化的影响程度。弹性常用于对需求、供给、生产收益等问题的讨论。弹性的计算有两种：点弹性和弧弹性。这里我们只介绍函数的点弹性。下面将给出一般函数的弹性定义。设函数，和分别为自变量和函数的绝对改变量，和分别称为自变量的相对改变量和函数的相对改变量，而称为函数从到两点间的弹性，若在点处可导，则称为在点处的弹性，记作。对于一般的，是的函数，称为的弹性函数。在点处的值记为，当很小时，在点的弹性。这说明，表示在点处，当相对改变量为1%时，近似改变了%（在应用中常常略去“近似”），也就是说，反映随的变化而变化的幅度，即对变化反应的灵敏度。
（3）优化分析。
高职数学中经常遇到的优化问题，例如：最大产出分析、最大收入分析、最大利润分析、资源合理利用的优化分析等，数学的最优化求解方法是这类问题的主要解决方法。进行优化分析可以帮助企业管理者以最低的生产成本获得最大化收益，意义非常深远。这里考虑运用边际函数求最大利润。利润等于收入减去成本，边际利润为边际收入减去边际成本，即ML=MR-MC。
当MR-MC>0时，每增加一个单位的产品，所增加的收益大于所增加的成本，因而总利润增加，但没能达到获得最大收益的规模，此时，企业应该扩大生产规模。
当MR-MC
当MR-MC=0时，即MR=MC，企业达到最优的产量规模。即L（x）取得最大值的必要条件是：边际收益与边际成本相等。另外，如果要保证利润取得最大值，利润对产量的二阶导数必须小于零，即：
通过以上分析，学者发现，在达到某一点之前，增加产量会使企业获利增加；过了这一点，产量增加反而会使利润减少。
2.2 导数在高职数学解题中的应用
导数在求极限方面的应用。求一个分式函数的极限时，若分子、分母的极限分别都为0，这种类型的极限有可能存在也有可能不存在，称为型未定式极限，不能直接利用极限的四则运算法则，可以考虑利用导数是求未定式极限，也就是洛必达法则，这是一种有效的方法。
3 高职院校培养学生导数应用的思考及重要性
导数在高职数学中对学生的培养具有重要作用，不仅能够提高学生的解题能力，还能够结合实际将解题中遇到的问题应用到实际中，因此，笔者认为高职院校培养学生导数的应用能力是十分重要的。主要体现在以下几点：首先，高职院校培养学生应用导数解题可以提高学生的实际解题能力考虑到导数在解题过程中的重要作用，高职院校在数学教学中应积极培养学生应用导数解题的意识，并将导数解题作为重要的解题手段来开展，使学生能够更好掌握导数解题技巧。其次，高职院校培养学生应用导数解题可以提高数学教学实效性由于高职院校主要是以培养学生的实践能力为主，因此，导数解题这一重要的数学手段可以对高职院校的数学教学实效性的提高产生重要促进作用。因此，要正确认识到导数解题意识对高职院校的重要影响。最后，高职院校培养学生应用导数解题可以拓展学生的知识面，使学生具备全面发展的素质。
4 结语
综上所述，高职院校的数学教学中应注重的是导数的解题过程和技巧，重点培养学生应用导数的解题能力和解题意识，从根本上将学生综合运用和应用导数的能力提高起来，让高职院校的学生有应用导数解题的能力，通过以上可以发现，目前我国高职院校数学教学中对学生导数的应用教学还不够成熟，但是从目前的整体教学体系来看，应用导数解题是十分必要的，这也是在高职院校中积极培养学生应用导数解题的意识，这种意识的培养不仅能够有效促进高职院校数学教学的开展，同时也是对高职院校数学教学的促进，对发展我国高职数学教育教学具有重要意义。
参考文献
[1] 魏悦姿，傅洪波.关于提高学生数学素质的几点思考[J]. 高等教育研究（成都），2015（4）：53-54.
弹性函数的经济学意义篇（8）
一、“阈值效应”概念与函数表达式
经济学中,常用到“经济阈值”和“阈值效应”的概念。“经济阈值”是指相关的经济要素之间能够产生影响或变化的最小变化量或最小变化幅度。[1]用函数方法表述:设经济要素y为经济要素x的函数,如果
阈值效应函数的一般表达式为:
设两个经济要素的函数关系为y=f(x),使函数值发生变化的x值为函数y=f(x)的临界点,定义从一个临界点到相邻下一个临界点的距离为函数,n=0,1,2,……。
(1)当阈值()为常量时
设阈值,因函数y在x没有达到新的临界点之间,其值保持不变,所以y=f(x)应修正为:
(2)阈值为变量时,设函数阈值由实际问题确定,阈值依次为,,……,那么,函数y=f(x)应修正为:当时,
二、资金需求的利率弹性存在着阈值效应
人们在分析利率的变化对资金供求关系的影响时,常用资金供求的利率弹性系数(ε)作为衡量标准。[2]
我们知道,利息作为资金借贷的价格,其变化直接决定着资金供求量的变化,利率作为计算利息的标准,其变化既决定着利息的高低,也决定了资金供求量的变化。由于利率及货币供给主要由国家(央行)直接控制,是企业资金需求的外生变量。因此我们主要讨论利率变化对资金需求的影响。即资金需求的利率弹性。
在一般情况下,资金需求随着利率的升降而出现减增。但有时我们也会看到,在利率变化幅度不足够大时,资金需求并没有发生相应的变化,我们称这种现象为资金需求的利率弹性的阈值效应,即利率的变化幅度并没有达到足以影响资金需求变化的幅度,因此,资金需求仍保持不变。
资金需求之所以存在着利率弹性阈值,主要原因有:(1)资金需求量是受多种因素影响的结果,换言之,资金需求量q是利率i、价格p、国民收入r、利润水平e等诸多变量的函数,即,利率的微小变化被其他因素的变化作用所抵消,使需求量的变化难以成为显性;(2)即使将其他因素视为常数,只考虑利率对资金需求量的影响,利率作用于资金需求的变化,需要一定的时间或周期,即资金供求市场也存在着所谓瞬期均衡,短期均衡,长期均衡[3],从一种平衡过渡到另一种平衡需要一个过程;(3)利率的变化幅度太小不足以克服原来资金需求的惯性,也会形成利率弹性阈值。实际经济活动中大量的经验也充分的证明了这一点:仅仅依靠利率的微小变动调节资金供求关系并不能达到预期的效果。
三、资金需求的利率弹性与阈值效应数学模型
首先分析在没有阈值效应条件下,资金需求的利率弹性。为分析问题方便:
(1)设资金需求量(q)与利率(i)之间呈线性关系:q=a-bi;……(1)
(2)运用微观经济学中分析弹性的一般方法,其资金需求的弹性
需要指出的是:微观经济学中,需求弹性分析方法的约定对自变量、因变量并没有作明确规定,不太符合数学中函数的定义和我们对阈值效应的定义,但并不影响我们分析方法、过程及结果的正确性。
其次,分析存在着阈值效应的条件下的资金需求的利率弹性。仍设q=a-bi,使q值发生变化的i值为q=a-bi的临界点。从一个临界点到下一个相邻临界点的距离为q的阈值,并设为一常数,则q=a-bi修正为:
与无阈值效应时相同。但当
四、资金需求的利率弹性阈值运用实例
设资金需求量与利率之间的关系如下表:
根据上表拟合的资金需求量q的数学模型为:
不考虑阈值效应时:q=10-i,
此例分析表明:
(1)考虑阈值效应时计算需求量和需求弹性较之不考虑阈值效应计算结果更精确,更准确,更符合实际状态。
(2)利率阈值内[0,),利率弹性小于无阈值效应时的利率弹性。
五、阈值效应原理在资金需求的利率弹性分析中的意义和作用
(1)利率弹性阈值的确定应该是资金需求是与利率之间数量分析的基础和起点,即如果我们不能确定利率弹性阈值,我们就很难确定利率与资金需求的数量关系。
(2)利率的阈值弹性是确定利率需求量分析的计量单位的基础和依据。如果选择的利率或资金需求量的计量单位太小或太大,都难以掌握二者之间的规律。
(3)运用利率弹性的阈值效应原理有利于我们制定正确的利率货币政策,实现调整资金供求关系的预期。如政府期货通过提高贷款利率、紧缩银根,抑制经济过热或降低贷款利率,放松银根,刺激疲软的经济时,利率上升或下降的幅度和方式是政府决策的难点。通过利率弹性阈值的分析,可以使我们更好地把握利率调整的力度和频率,达到调整经济的预期目的。
参考文献
[1]杨建新等.论经济学中的阈值及阈值效应[M].2007人文学术研究,吉林人民出版社,2007.10:62.
弹性函数的经济学意义篇（9）
［中图分类号］O13［文献标识码］A［文章编号］2095-3437（2013）08-0056-02
在经济管理中，数学知识是必不可少的，本文就如何把高等数学的有关知识用于解决相关问题加以讨论。这有助于相关专业学生更好地掌握专业知识。
一、连续复利――e在经济中的应用
利息是银行对储蓄（或借贷）所支付（或收取）的除本金以外的货币。银行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低来表示
单位时间的利率=单位时间的利息/存入的本金
（一）单利
设本金为A0（可指投资,存款等），年利率是i，所谓单利是指仅按本金A0计算利息。例如：A0的投资时间为t年，那么七年后,可得单利:I=A0it
本利和是A=A0+I=A0（1+it）
例如：1000元投资5年，年利率6%，于是5年后共得单利
I=1000×0.06=300（元），A=1000+300=1300（元）
（二）复利
所谓复利是指经过一年时间，将所生利息加入本金再生利息。逐期滚算。
假定本金是A0元，那么一年后的利息是A0i，此时本金就成了
A0+A0i=A0（1+i）
再经过一年又得复利iA0（1+i）
本金成了A0（1+i）2,
依次类推，t年后本金A（t）就成了A（t）=A0（1+i）t
例如：将1000元投资5年，年利率6%，按年计算复利，那么5年后本金就A（5）=1000（1+0.06）5＝1338.23（元）,利息是338.23元。
设年利率为i，如果一年计算m次复利，那么t年后就计算mt次，每次的利率算作■。设本金为A0元，年利率为i，每年计算复利m次，那么t年后本金为A（t）=A0（1+■）mt。
例如：将1000元投资5年，年利率6%，每年计算复利4次，那么5年后本金就成了A（5）=1000（1+■）5×4=1346.86（元），利息是346.86元。
（三）连续复利
A（t）=■A0（1+■）mt＝A0■［（1+■）■］it=A0eit
这种计利方法称为连续复利。
连续复利的计算方法在其他许多问题中也常有应用，如：细胞分裂、树木的生长等。
二、边际与弹性――导数与微分的简单应用
（一）边际概念
在经济学中边际表示的是变化率，函数的导数称为边际函数。
如：成本函数C（x）的导数C′（x）称为边际成本函数。
边际成本具有怎样的经济意义？
当产量由原产量x单位增加一个单位（Δx=1）时，成本C（x）的真值为C（x+1）-C（x），但当产量的单位很小或一个单位与原产量x值相比很小时，则由近似式■=■≈C′（x）（|Δx|很小时）
取Δx=1，得C（x+1）-C（x）≈C′（x）
这表明当产量达到x时，再增加生产一个单位，成本的增加值就可以用边际成本C′（x）近似表示。这就是边际成本实际的经济意义。
在经济学中，通常略去“近似”二字，将边际成本C′（x）解释为：
当产量达到x时，再增加生产一个单位产品所增加的成本。或生产x+1个产品所需的成本。
例如：设生产x件某产品的成本为C（x）＝200+0.03x2
生产100件的总成本为C（100）=200+0.03×（100）2=500
每件产品的平均成本是■=■=5
边际成本函数为C′（x）=0.06x
产量在100件时的边际成本为C′（x）=0.06×100=6
它近似表示生产第101产品的成本。这件产品的真值是
ΔC=C（100+1）-C（100）=6.03
除边际成本函数外，收入函数的导数称为边际收入函数；利润函数的导数称为边际利润函数；需求函数的导数称为边际需求函数等。他们的实际经济意义都可以如边际成本一样理解。
（二）弹性概念
经济学中把一个变量对另一个变量相对变化的反映程度称为弹性。
例如：需求对价格的弹性就是商品需求量对价格相对变化的程度。设需求函数x=f（p），其中x需求量，p是价格，η=p■
由于Δp很小时，η=p■≈■■所以需求弹性近似表示在价格为p时，价格变动1％，需求量将变化|η|%，通常也略去“近似”二字．一般来说，需求函数是一个减函数，需求量随价格的提高而减少，因此需求弹性一般是负值，它反映了商品需求量对价格变化反应的强烈程度，即灵敏度。
对任何函数都可以建立弹性，一般地，函数y=f（x）在点x处的弹性定义
为η=x■
它表示的是相对变化率。相对变化率便于比较不同市场的需求对价格变动的反应。它是无纲量。便于比较单位价格不一致的单位的灵敏度。
通常表示为：εyx=■=■■
例如：某种产品的需求量x与价格p的关系为x（p）=1600（■）p，
（1）求需求弹性η（p）;（2）当商品的价格p=10元时，再增加1％，求该商品需求量变化情况。
解:需求弹性η（p）＝p■=p×ln■=（-2ln2）≈-1.39p
需求弹性为负，说明商品价格p增加1％时，商品需求量将减少1.39p%
当商品价格p=10元时 η（10）≈-13.9
这表示价格p＝10元时，再增加1％，商品的需求量将增加13.9p%，如价格降低1％，商品的需求量将增加13.9p%。
三、积分在经济问题中的应用
例：已知某商品每天生产x单位时，边际成本为C′（x）=0.4x+2（元／单位），其固定成本是20元，求总成本函数C（x）。如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L（x），并问每天生产多少单位，总利润最大？
解可变成本就是边际成本函数在［0，x］上的定积分，又已知固定成本为20元，所以总成本函数C（x）=■（0.4t+2）dt+20=0.2x2+2x+20
当销售单价为18元时，总利润函数为
L（x）＝R（x）-C（x）=-0.2x2+1.6x-20
由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40
又因为L″（x）=-0.4＜0，所以，每天生产40单位可获最大利润，最大利润为L（40）=300（元）。
高等数学在其它各个领域中的应用不胜枚举：如物理学中有速度、加速度、角速度、线密度、电流、功率、温度梯度、衰变率、变速直线运动的路程、非均匀细杆的质量、变力沿直线作功、抽水作功、引力等等；化学中有扩散速度、反应速度，溶液连续稀释问题等；生物学中有（种群）出生率、死亡率、自然生长率等等；社会学中有信息的传播速度、时尚的推广、人口自然增长规律等，几何学中曲线的切线问题，曲边图形的面积等这类涉及微小量无穷积累的问题。这些都可以用高等数学加以讨论。
弹性函数的经济学意义篇（10）
一、《经济数学》课程能力训练项目设计
1.能力训练项目名称
能力训练项目名称有：寻找经济学中常用的经济函数；连续复利问题；边际与弹性问题及最值经济问题；由边际函数求总函数，资本现值与投资问题；经济学中的线性规划问题。
2.拟实现的能力目标
第一，能识别需求函数、价格函数、供给函数、总成本函数、收入函数与利润函数，并掌握这些函数的性质及图像画法。
第二，理解函数的变化趋势、变化的连续性，会用单利、复利两种方式计算利息。
第三，能求解经济学中边际与弹性问题及最值经济问题。
第四，掌握由边际函数求总函数的方法；会讨论资本现值与投资问题。
第五，会求解经济学中较简单的线性规划问题。
3.相关支撑知识
第一，理解函数的概念，会正确求解函数的定义域；理解函数的性质，会判断函数的奇偶性等。
第二，理解极限的概念，掌握求极限的方法；理解无穷小量、无穷大量的概念，会正确判断无穷小量、无穷大量；理解函数在一点X0、区间（a，b）、闭区间[a，b]上连续的概念；理解函数间断点的概念，知道间断点的分类，能判断函数的连续性等。
第三，理解导数与微分的概念，了解导数的几何意义并能加以应用。
第四，理解原函数和不定积分的概念；熟练掌握不定积分的直接积分法、凑微分法、第二类换元积分法及分部积分法；掌握微积分基本定理和定积分的计算公式；掌握定积分的概念和性质；熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
第五，理解行列式、矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换及矩阵秩的概念；熟练掌握行列式的两种计算方法；熟练掌握矩阵的线性运算及矩阵的乘法运算；熟练掌握求逆矩阵的两种方法及求矩阵秩的方法；掌握克莱姆法则求线性方程组的方法；理解n维向量、向量组线性相关、线性无关、向量组的秩、基础解系、齐次线性方程组的通解、非齐次线性方程组的通解这几个重要概念；熟练掌握线性方程组解的结构及其判别法则。
4.训练方式手段及步骤
第一，让学生自学第一章函数第三节经济中常用的函数；找出经济函数、观察函数的性质、图像；最后得出经济函数分析报告。
第二，通过对函数变化趋势的讨论，引入数列、函数极限概念，引导学生寻找极限的计算方法；通过函数图像的观察，分析函数变化过程中的两个不同特点，引导学生得到函数连续的概念、判断函数连续的方法；最后推导连续复利公式、并解释其经济意义。
第三，通过分析函数因变量随自变量变化的快慢程度，引导学生发现导数概念，为更好计算导数，寻找计算导数的方法；为寻找计算函数改变量的近似方法，引导学生探寻微分概念，进一步寻找计算微分的方法，最终找到用微分计算函数改变量的方法；为找到判断函数单调性、极值、最值、函数图像的做法，引导学生发现使用导数这一重要工具。
第四，通过已知某函数导数求某函数问题的讨论，引导学生发现原函数的概念，通过寻找求原函数的方法，发现不定积分的概念，最后找到求不定积分的四种方法。
第五，通过求解二元一次方程组、三元一次方程组，引导学生发现二阶行列式、三阶行列式概念，通过归纳法引导学生发现n阶行列式概念，在寻找计算行列式方法中得到行列式性质等。
5.结果
结果有：经济函数分析报告；连续复利公式的推导及经济意义解释；边际与弹性问题及最值经济问题解决方案；由边际函数求总函数，资本现值与投资问题解决方案；经济学中线性规划问题解决方案。
二、考核方案
对学生考核分三个方面：平时成绩（占30%）+能力考核（占25%）+期末考试成绩（占45%）。期末考试采取相同教学内容的班级统一命题、闭卷考试的方式。命题的范围和水准严格按照《概率论与数理统计》课程整体教学设计的要求执行。期末考试出同等难度和题量的A、B、C三套试卷及评分标准。
平时成绩及能力考核具体内容设计：
1.平时成绩
考核项目：出勤；课后作业；课堂表现。
考核内容：迟到、早退、旷课、事假、病假、上课睡觉；完成作业情况；上课态度、参与程度、处理问题准确度。
考核标准：迟到、早退、旷课、事假、病假、上课睡觉此项共计10分。学生上课迟到一次扣1分，请事假一次扣1分，病假一次扣0.5分，上课睡觉一次扣1分，旷课一次扣2分，扣完10分为止。完成作业情况此项共计10分。少交一次作业扣2分，作业不认真、质量差一次扣1分，扣完10分为止。上课态度、参与程度、处理问题准确度此项共计10分。上课积极参与，主动并能正确回答问题或板书做题正确一次得2分、两次得5分、三次得8分、四次得10分。上课不回答问题或板书解题此项得0分。
2.能力考核
（1）考核项目
提交经济问题解决方案或分析报告。
（2）考核内容
第一学期：第一章内容学完后提交经济函数分析报告；第二章内容学完后提交连续复利公式的推导及经济意义解释；第三章内容学完后提交边际与弹性问题及最值经济问题解决方案。
第二学期：第四章内容学完后提交由边际函数求总函数及总函数改变量，资本现值与投资问题解决方案；第五章内容学完后提交经济学中简单线性规划问题的解决方案。
（3）考核标准：
此项共计25分。提交方案或分析报告内容翔实、准确，第一学期提交一个得8分、提交两个得16分、提交三个得25分。第二学期提交一个得12分、提交两个得25分。一个学期内一次也不提交方案或分析报告此项得0分。
三、第一次课设计梗概
1.设计思想
4个关键词：沟通、介绍、渗透、要求。
2.教学过程
师生相互介绍用多媒体课件――财经、金融专业中的数学函数导入新课并介绍课程内容介绍课程教学方法介绍学习方法介绍考核方式与学生约法三章，提出纪律要求进入正题――研究函数、反函数概念及函数四个基本性质课堂小结、布置课外作业。
四、其他需要说明的问题
第一，以启发式教学为主。
弹性函数的经济学意义篇（11）
关键词:微观经济学 指标创新 边际收益 规模收益
经济学中弹性的概念命名和指标构建,是否存在潜规则和有理可循的规律,在长、短期生产理论中能否构建相应弹性指标用以定量描述边际收益和规模收益等变化规律,构建和应用弹性指标以补充或替代边际量,在课堂教学和生产实践中是否存在意义。这些问题的研究和回答,对弹性理论和生产理论乃至经济学理论的补充和发展具有一定意义。
经济学中的弹性概念和构成规律
马歇尔教授率先把物理学的弹性概念引入经济学,用于定量描述经济变量两两之间的影响程度及其方向。纵观微观经济学的诸多弹性,由感性认识到理性认识,得到以下有关经济学弹性的规则和规律。
经济学中各种弹性遵循的潜规则为:名称模式“YX弹性”,是指因变量Y对自变量X的弹性;其指标计算公式“E=Y变化率/X变化率”,衡量因变量Y对自变量X的相对变动的反应程度。例如:“需求收入弹性”或“供给价格弹性”是指,因变量需求Qd或供给QS对自变量收入M或价格P的弹性;其衡量指标为Ed=(ΔQd/Qd)/(ΔM/M)或ES=(ΔQS/QS)/(ΔP/P)。(本文常略去点弹性,仅以弧弹性为例)。
大凡经济变量之间,若欲定量揭示和描述其内在联系和变化规律,多能因地制宜、如愿以尝。只要能够抽样调查获得样本数据“(Yi,X1i)、(Yi,X2i)……,i=1-n”,就可构建因变量Y分别对“X1、X2……”等自变量的弹性概念“YX1弹性、YX2弹性……”,及其衡量指标弧弹性系数“(ΔY/Y)/(ΔX1/X1)、(ΔY/Y)/(ΔX2/X2)……”。若能模拟确定性函数关系式“Y=f(X1,X2,……)”,则还可构建其点弹性指标。换句话说,只要能得到因变量关于某一自变量的边际量,就能得到相应的弹性指标。
总结和认识经济学中弹性理论的构建规则和规律,有利于按此规则和规律建立各种新的和有意义的弹性概念及其指标。
收益要素弹性指标的构建及其意义
边际量是因变量与自变量在绝对变化方面的比值,弹性则是因变量与自变量在相对变化即变化率方面的比值。所以可以认为,弹性以边际量为基础并与边际量相补充,而收益要素弹性则是边际收益的发展和补充。
(一)收益要素弹性指标公式和经济含义
根据弹性的构成规律,可以建立“收益要素弹性”概念及其指标公式,即收益要素弧弹性(EL=(ΔQ/Q)/(ΔL/L)=
(ΔQ/ΔL)/(Q/L)=MQL/AQL)和收益要素点弹性。
收益要素弹性EL是衡量因变量收益Q,对自变量即某种可变要素投入L相对变动的反应程度指标,它既等于产量变化率(ΔQ/Q)与可变要素投入变化率(ΔL/L)之比值,又等于边际收益MQL与平均收益AQL之比值。因此,若EL>1,说明Q的增长速度大于L的增长速度,则增加可变要素投入有利于提高其效率,也说明此时边际收益大于平均收益;若EL
(二)收益要素弹性指标的意义
当某些经济现象、关系或规律可以量化时,用量化指标来表达不仅起到相互补充、多维思考的作用,往往还会更为简明、透彻、准确和方便。收益要素弹性指标在课堂教学和生产实践中都具有一定的意义。
1.定量描述平均收益和边际收益变化规律。平均收益变化规律由边际收益递减规律所支配。在资本投入K和技术水平既定条件下,可变要素投入L从0开始连续增加到极大,边际收益“ΔQ/ΔL”通常会出现四阶段变化规律,定性地表现为:递增变化顶端变化递减变化负值变化,其中“顶端变化”阶段十分狭窄,常被视为一个最大值点。边际收益的四阶段变化规律,决定了短期平均收益亦存在四阶段变化规律,可定性为递增变化顶端变化递减变化加快递减(李山寨,2010)。平均收益的“顶端变化”也十分狭窄到可视为一个最大值点,但发生得比边际收益的略为滞后一些,即发生在边际收益开始递减到等于平均收益时。
鉴于收益要素弹性指标等于边际收益与平均收益之商,以及平均收益小于边际收益时递增、等于时最大、大于时递减。平均收益的上述定性的四阶段变化规律,可用收益要素弹性定量描述为EL>1EL≈10
2.易于判断是否处于短期生产合理区间。建立收益要素弹性指标,不仅在教学过程中可从另一角度去观察和认识平均收益和边际收益等变化规律,而且在生产实践中易于分析判断短期生产的合理区间,以及具体产品生产系统目前处于何种变化阶段,是否处于短期生产合理区间,是增加或减少可变要素投入以提高其生产效率和节约生产成本。
短期生产合理区间出现在从平均收益最大到边际收益等于0的范围,也可用收益要素弹性指标确定为从EL等于1递减到等于0的范围内。对于有确定性生产函数的生产系统,只要计算在目前L水平上的收益要素点弹性或弧弹性数值就可判断和决策;对于无确定性生产函数的生产系统,可利用本系统历史资料或借鉴它系统资料,计算在目前L水平上的收益要素弧弹性数值以判断和决策。EL大于1者为平均收益或边际收益递增,宜增加可变要素投入;小于0者为平均收益加快递减而边际收益为负,应减少投入;介于二者之间的为短期生产合理区间,应综合考虑固定要素投入和两种要素价格比值等因素,以判断适宜增加或减少投入。
规模收益变化规律和收益规模弹性
规模收益的变化规律是支配长期生产诸规律的基本规律,对其正确认识和深刻记忆是正确理解和迅速掌握其它长期规律的重要基础;而准确判断生产系统当前规模收益变化情况,则是合理决策生产规模应该扩大或应该缩小的理论依据。构建收益规模弹性有利于深刻认识规模收益变化规律,以及准确判断当前规模收益变化情况。
(一)规模收益变化规律的相对或定性描述
解读现时长期生产理论,规模收益规律是指在既定的“L/K”和技术水平等条件下,规模从0开始连续增加到极大,收益增长率与规模增长率之间的相对大小出现的阶段性变化规律。即:先是产量增加的比例大于各种要素增加的比例,称为规模收益递增;随后产量增加的比例等于各种要素增加的比例,称为规模收益不变;再后产量增加的比例小于各种要素增加的比例,称为规模收益递减(高鸿业等,2007)。这种阶段性变化规律还可用规模收益的增减变化定性地表述为:递增变化顶端变化递减变化负值变化,其中“顶端变化”阶段包含先缓慢递增再缓慢递减,因变化得十分缓慢,以致通常称其为“规模收益不变”,“负值变化”是属极端情形,即规模过大使管理混乱、产量减少(李山寨,2010)。
(二)规模收益变化规律的绝对和定量描述
深刻认识“规模收益”概念之后,就可建立以规模为自变量的生产函数,并据以构建“规模收益指标”和“收益规模弹性指标”。规模就是按劳动与资本最优比例组合在一起的“约当要素”投入量X(李山寨,2010);规模收益就是规模X的边际产量,其指标MQX等于ΔQ/ΔX或dQ/dX。于是,收益规模弹性指标Ex应等于(ΔQ/Q)/
(ΔX/X)或(dQ/Q)/(dX/X)。
可见,当规模收益递增时,产量增加的比例(ΔQ/Q)大于各种要素增加的比例(ΔX/X),收益规模弹性指标EX大于1;当规模收益不变时,EX等于或约等于1;当规模收益递减时EX小于1;当规模收益负值时,EX小于0。于是,上述规模收益的相对大小或增减变化定性规律,可改用收益规模弹性的绝对大小定量描述为:EX>1 EX≈10
(三)收益规模弹性指标的意义
构建收益规模弹性指标具有四方面意义:可从另一角度去观察、认识和描述规模收益变化规律;用一个弹性指标的绝对大小,要比用两种增长率之间的相对大小来表达规模收益的阶段性变化规律简明、确切;用收益规模弹性指标定量地表述阶段性变化规律,要比用规模收益的增减变化定性地表述阶段性变化规律准确、明了;作为弹性指标的创新实践和弹性理论的补充发展。
在生产实践中应用收益规模弹性指标,易于分析判断具体产品生产系统目前处于何种变化阶段,是否该扩大规模或缩小规模,以提高综合要素生产效率和节约生产成本。对于有确定性生产函数的生产系统,很容易得出点弹性或弧弹性公式并据以计算在目前规模X水平上的收益规模弹性数值,易于分析判断和决策。大于1者为规模收益递增,在其它条件允许的情况下适宜扩大规模;小于1者为规模收益递减,若无特殊战略意图适宜缩小规模。对于无确定性生产函数的生产系统,可利用本系统历史资料或借鉴它系统资料分析调整,也容易代入上述弧弹性公式计算在目前规模水平上的收益规模弹性数值,以分析判断和决策。
应该说明,在现时弹性理论中存在产量对某一种具体要素的“生产要素产出弹性系数”,例如在科布-道格拉斯生产函数和研究技术进步测定等问题中有“资本的产出弹性系数”和“劳动的产出弹性系数”(周方,1995)。它们分别是产量对资本要素和劳动要素的弹性,而非产量对约当要素即规模的弹性。
构建经济规模弹性等指标的思考
规模收益指标和收益规模弹性指标中的“收益”都特指“产量”,规模收益变化理论还假定企业规模扩大只会影响产量而不产生其它方面的影响,但在现实生产经营中经常随着规模改变,技术水平、要素及产品价格、固定费用和垄断利益等因素会产生变化,由此引起的效率变化在有关决策中都应该考虑进去。这些因素的变化,除了技术因素之外,一般不会影响以“产量”定义“收益”的产出效率变化,但都会影响企业最终要关心的以“经济”定义“收益”的产出效率变化。
鉴于“经济”不同于“产量”,以及构建“收益规模弹性”指标可用以定量描述规模的边际产量变化规律,或计算判断当前生产系统所处的规模收益变化阶段。同时,也可以根据弹性的构成规律,构建“规模经济”指标和“经济规模弹性”指标,以定量比较或定性描述规模扩大对约当要素综合经济效率的影响程度及其变化规律,或计算判断当前生产系统所处的规模经济变化阶段。二者分别是指将规模收益指标和收益规模弹性指标中的产量因子,换成“收入+费用节约”后的经济效率指标及其弹性指标。规模经济指标递增或经济规模弹性指标大于1,就是现时所谓的“规模经济现象”,规模经济指标递减或经济规模弹性指标小于1,就是现时所谓的“规模不经济现象”。
总之,许多经济变量及其内在联系和变化规律,若能用弹性指标加以概括、表达乃至分析、判断和决策,则比用边际量更为定量、简明和有效。经济学中的弹性概念命名和指标构建都有规律可循,据此构建的收益要素弹性、收益规模弹性和经济规模弹性等指标,在教学和生产中都有肯定意义。经济学中的其它方面现象和问题,如何应用弹性指标予以反映和解决,有待大家共同研究。
参考文献:
