高中数学导数的概念及意义大全11篇
时间：2023-06-18 10:30:09
高中数学导数的概念及意义篇（1）
【基金项目】广西教育科学“十二五”规划2015年度广西基础教育教育教学法研究基地专项课题《初中数学优质课堂教学策略研究与实践》，编号：2015JD409.
在数学概念的学习中，由于概念意象的模糊性、分散性和数学概念定义的不一致以及学生对概念理解不透彻、掌握不牢，导致学生经常出现一些错误.笔者从学生的心理、生理特征以及已有的认知结构出发，来分析在表征数学概念时，易受日常概念、思维习惯及教师的教法和观念以及学生负迁移的影响而发生的错误.
一、数学概念意象形成中的错误
在数学概念的形成中，由于与数学概念意象的形成密切联系，学生利用概念意象来记忆、表征和运用数学概念而导致错误概念的产生，这些错误主要集中在用日常生活概念、概念原型、“形象描述”代替数学概念.
（一）用日常概念代替数学概念
日常概念是指产生于日常生活经验的概念.科学概念则是指在学校教学中形成与获得的真实概念.当日常概念与科学概念相一致时将有助于科学概念形成，反之亦然.学生学习科学概念几乎从日常生活概念中抽象发展而成，进而形成数学概念.但由于日常概念具有易变性、多义性、不精准性等特点，使其极易与科学概念的本质属性发生矛盾，不利于科学概念的形成、掌握与运用，从而导致数学概念错误的产生.例如，日常生活中，我们观察到和接触的“角”是尖的，所以，学生学习“角”的概念时用了日常概念来代替数学概念，认为平角和周角不是角，此时与科学概念不一致，从而导致数学概念错误的发生.
（二）用概念原型代替数学概念
人们学习新知识时，喜欢从模仿开始入手，模仿概念原型硌习数学概念.然而在模仿概念原型学习的过程中，学生有时自然而然形成概念原型标准化的框架来学习数学概念，导致错误的数学概念产生.
在数学概念的学习中，学生往往先试着回忆获得概念的情境，然后，才联想到其定义的形式，此时概念的典型实例在学生的脑海里唤起学生所建立的概念意象，然而学生自己所建立的概念意象有时并不像科学概念那么明确，对概念意象具有模糊性，从而也出现错误的数学概念.同时学生借助典型实例来观察、分析获得新的数学概念，给予概念标准化，把无关的元素加入数学概念，或把数学概念相关的元素忽视了，直接用原型概念来代替数学概念判断知识，不仅用了数学概念的相关元素，也用了无关元素来判断数学某些知识，甚至有时只用了无关元素来判别.
（三）用形象描述代替数学概念
形象描述，就是把抽象的材料用形象化的语言来阐述，在数学概念意象表征数学概念的学习中，许多时候，学生通过自己的语言来描述数学概念.但在形象描述过程中，学生对于描述的语言、符号使用不准确，包括概念意象的模糊性和分散性而造成数学概念的错误.如，学生对完全平方公式的概念表征中，忽略公式中字母代表的具体意义，认为公式中字母仅代表数，却忽略了公式中的字母不仅可以代表数，也可以代表单项式，甚至多项式.
二、数学概念定义中形成的错误
在定义数学概念时，由于学生不能准确地把握数学概念的内涵、外延以及概括与抽象能力不强、概念定义与概念意象相脱离也会导致数学概念错误的产生.
（一）内涵和外延把握不正确导致数学概念错误
从逻辑上说，概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围，而概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属性的总和，概念的内涵和外延是相互依存、相互制约的，倘若内涵扩大，其外延就会缩小；内涵缩小，其外延就会扩大.如果学生不能准确地把握数学概念的内涵、外延，那么将会导致数学概念错误出现.
例如，“互为余角”这个概念，它的外延是这两个角与它们所处的位置无关，即使这两个角相距很远，但只要它们的和等于90°，这两个角就为互余，而它的内涵是“具备两个角，且这两个角和等于90°，则称这样的两个角互为余角”.然而大部分学生常常只会叙述定义，不去真正理解其本质属性，内涵与外延分不清，扩大内涵、缩小外延出现互为余角这个概念的错误，或缩小内涵、扩大外延而出现互为余角这个概念的错误.
（二）概括与抽象能力不强导致数学概念错误
概括是从思想中把从某些具有一些相同属性的事物中抽取出来的本质属性，推广到具有这些属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念.在数学概念的定义中，是把具有共同特点的对象归纳总结在一起，抽象出对象的本质属性，将其推广为这一对象的更大范围的同类数学对象的本质属性.概括与抽象能力不强就会有可能在数学概念的定义中将一些无关特征当作本质属性；或者脱离具体背景，仅仅保留其抽象的本质属性来形成概念的定义.
一是将非本质特征作为本质特征进行概括产生数学概念错误；二是只概括部分本质特征，不能正确理解数学概念的本质所产生的数学概念错误.如，分式的概念，学生往往遗漏了关键的一点――分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式，而造成错误的分式概念产生.三是发生异化，即对本质特征加以修正、改变.如，算术平方根的概念，不少学生将其概念中的整数修改为正数，导致概括出来的算术平方根概念是错误的.
（三）概念定义与概念意象相脱离导致数学概念错误
数学概念是由概念定义与概念意象构成的完整的整体.但是，在大多数情况下，学生的概念定义与概念意象是相脱离的，大多数数学概念的形式化定义与概念本质想脱离造成许多错误的产生，特别是那些以检测概念定义为主要目标的问题，错误的概率就更高了.
例如，学生在学习函数定义时，往往用了概念意象形象地记住几种特殊的函数模型――一元一次函数、一元二次函数、指数函数、三角函数、对数函数，而将函数概念早已置之不理.将数学定义与数学概念意象想脱离最易发生在每个初学者身上，对于大多数的数学概念的学习都潜藏着这种概念定义与概念意象相脱离的现象，只有经过变式、正反例的对比、概念的运用等多种活动的开展后，才会慢慢地将概念定义与概念意象相融合起来.
三、数学概念联系中形成的错误
数学概念之间的联系一直贯穿于数学概念学习的过程中，例如，新概念与原概念的联系，概念内容与概念的联系等.部分学生在学习数学概念时，对概念之间联系比较僵化，对概念联系不恰当，从而导致数学概念错误的产生.
（一）数学概念联系僵化导致的错误
学生在学习数学概念时，没有自主去建立概念内部与概念之间的联系，依赖与教师所建立的结构或教材上现有的结构去记忆其表达形式，或语言表达.然而教师和教材的知识有限，并不能满足于学生对数学概念的准确掌握.此时，学生所掌握的数学概念是孤立的，所掌握的概念对象是僵化的.这种孤立僵化地看待数学概念而产生的错误，一般出现在有高中数学概念交织在一起的复杂背景中，在这种背景中，学生往往同时接触多个数学概念，只有恰当地解决这些概念之间的联系，才能从根本上解决问题.比如，把“正比例函数”“一次函数”和“二次函数”的概念放在一个联系的背景下去理解，比单纯地理解其中的一个对象要容易得多.然而，由于部分学生对所掌握的数学概念是孤立的，是僵化的，结果造成这样一种常见的情形：学生对每一个数学概念很熟悉，甚至能倒背如流，但问题终究解决不了，到运用时却不知所措.
（二）数学概念联系不恰当的错误
在学习和使用数学概念时，或多或少都要与各种概念进行联系，如果数学概念的联系不恰当，将会导致数学概念学习与运用中的许多错误：一是将数学概念中的非本质特征作为本质特征与其他概念进行联系干扰了数学概念之间的联系的正确建立.二是将数学概念体系中的概念定义、概念性质、概念判定等混为一谈.将数学概念的部分定义作为整体概念定义，将数学概念的部分性质作整体数学概念的性质，将数学概念部分判定用来判定数学概念；或者将数学概念的部分定义与部分性质、部分判定合起来一起去建立数学概念的联系.以致在数学概念学习中会思维混乱，表现为对概念认识模糊不清，对概念知识掌握太过零散，难以掌握正确的数学概念，甚至将正确的数学概念给歪曲了.三是对数学概念的本质属性把握比较浅显，导致数学概念之间的联系无法正确建立.如，“轴对称图形”与“中心对称图形”之间的联系可以说明这一点.在讨论对称图形时，这两个概念之间的联系可以很容易建立，然而当讨论完轴对称图形再讨论中心对称图形时，他们将无法接受中心对称图形的概念.
四、负迁移形成的数学概念理解和运用错误
负迁移包括认知结构与新知产生矛盾以及消极的思维定式.认知结构，简单来说就是学生头脑中的知识结构.广义上，认知结构是学生已有观念的全部内容及其组织；狭义上，它是学生在某一学科的特殊知识领域内观念的全部内容及其组织.当学生的认知结构与所学的新知产生矛盾时，认知结构将影响新知识的理解、运用.思维定式，也称“惯性思维”，是由先前的活动而造成的一种对活动的特殊的心理准备状态，或活动的倾向性.当在学习数学概念时有了消极的思维定式，将会成为束缚创造性思维的枷锁.
（一）认知结构与新知有矛盾导致数学概念的错误理解
利用原来的认知结构来进一步学习新的知识，一旦认知结构与新的知识有矛盾时，他们将无法对新知识进行理解与运用，导致新知识的错误产生.例如，学习复数中的“i2=-1”时，早已有这样的认知结构“任何实数的平方都是正数”，因此，在学习复数时，无法接受i2=-1，在心理上自觉不自觉地存在一些障碍，导致对复数概念的理解、运用的错误产生.
（二）消极的思维定式导致数学概念的错误理解
消极的思维定式将会束缚创造性思维，妨碍采用新的方法来正确理解新的知识，导致新知识错误的产生.消极的思维定式包括认识上的困难、不适当的类比与只善于简单思维，不会复杂思维等等，在数学概念的学习中，不同阶段的差异性与同一阶段内的稳定性存在矛盾，将会使学生在认识上发生困难.例如，函数的概念，在初中阶段的定义与高中阶段的定义从字面上看是不一样的，在初中只是描述性的，是作为常量的数学的函数，然而高中是用映射的观点来解释，如果在初中时过于强调函数概念的描述性，那么将会使学生在高中时认识函数上发生困难.
在数学概念的学习中，不仅认识上的困难会导致数学概念的错误产生，不适当的类比也会导致数学概念的错误产生.人们学习新的事物或知识几乎是从模仿开始的，然后，用类比的方法去解决类似的问题，大部分情况下，解得答案都是正确的，所以，学生容易形成类比思维的定式，但是学生有时候盲目地类比，把不恰当的类比用来学习新的概念，此时类比的思维会对学生学习数学概念起消极作用，导致数学概念错误的产生.
在数学概念的学习中，学生反复使用简单性思维（单向思维和顺向思维）去学习新的知识，却不会用复杂思维（发散思维和逆向性思维）去学习新的知识.例如，学生理解函数列的收敛性概念时，当问学生{fn}在X上一致收敛于f是否有ε>0，Ν≥1，x∈X，则|fn（x）-f（x）|
综上所述，由于对概念理解不透彻，概念意象模糊性、分散性以及消极的思维定式都会造成数学概念学习过程中出现错误.
高中数学导数的概念及意义篇（2）
一、 认知主义学习观与教学观
对传统的中学数学概念教学的反思数学概念的教学是数学教学中非常重要的一个环节。数学概念相对比较抽象，难以把握，教材中一般只给出数学概念的定义，省略了形成过程，给学生学习造成了一定困难，Ⅲ所以教师的教学观念和方法就显得特别重要。当前一大部分中学数学教师存在这样的传统教学观念：（1）把知识看成是定论，重结果轻过程；（2）把学习看成是知识从外到内的输入，重灌输轻引导；（3）低估了学习者的认知能力、知识经验及其差异性，重“教”轻“学”；（4）在教学中表现出了过于简单化的倾向。
（一） 认知主义的数学学习观与教学观
用认知主义学习理论指导数学教学就形成了认知主义的数学学习观和数学教学观。
（二） 认知主义的数学学习观
数学学习观是指对数学学习本质的认识，认知主义认为：数学学习是一个主
动的、积累的、建构的、诊断的、情境化的具有目标导向的过程（Shuell，1988）。
数学学习不会自动地产生，而需要学生进行大量的、高密度的心理活动。这些活
动涉及学习者对已获得知识进行意义归属；将新知识整合到已有的知识结构中或
智力模型中。此外意义学习是有目标导向的。
二、 高中数学教学概念的特征
数学概念具有很多其他学科概念不具备的特性，数学概念作为一种思维形式，反映着事物内部的本质特质，其具有双重性与抽象性的特征.在使用符号化与形式化的数学语言后，数学概念也更加抽象，高度抽象的概念都是在具体模型之上
建立的.数学概念的描述有必要借助符号化的语言，很多意思不能用汉字直观的表示出来，因此，强调符号的作用，可以将抽象化的数学概念形式化.数学概念也具有很强的系统性，概念之间的联系也较为广泛直接，学生可以在学习小概念的基础上，逐步扩充知识面，对整个知识体系有一个系统的了解.数学概念是在不断更新与发展的，因此，在高中数学的教学过程中，有必要提高概念教学的重视度，让学生对高中数学概念有个较为系统且深刻的掌握，为今后数学学习奠定基础。
概念，是人们对事物本质的认识，是逻辑思维的最基本单元和形式u J.概念是人们用于认识和掌握自然现象之网的纽结，是认识过程中的阶段.思维要正确地反映客观现实的辩证运动，概念就必须是辩证的，是主观性与客观性、特殊性与普遍性、抽象性与具体性的辩证统一.概念还必须是灵活的、往返流动的和相互转化的，是富有具体内容的、有不同规定的、多样性的统一心1.人类对真理的认识，是在一系列概念的形成中，在概念的不断更替和运动中，在一个概念向另一个概念的转化中实现的.恩格斯说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系.”而数学的定理、法则、运算的逻辑基础就是数学概念，它是解决数学问题的基础和重要工具，同时，高中的概念明显比初中的增加很多，因此，强化概念教学是建立理论体系的中心环节和解决问题的前提，高中数学教师为了提高教学效果，对其必须予以重视.下面谈一些数学概念教学中应注意的问题。
三、在体验数学概念产生的过程中认识概念
数学概念的引入，应从实际出发，创设情景，提出问题：通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，形成感性认识，通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性。如在“异
面直线”概念的教学中，教师应先展示概念产生的背景，如在长方体模型中，当学生找出两条既不平行又不相交的直线时，教师告诉学生像这样的两条直线就叫做异面直线，接着提出“什么是异面直线”的问题，让学生相互讨论，尝试叙述，
经过反复修改补充后，给出简明、准确、严谨的定义：“我们把不在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线”。在此基础上，再让学生找出教室或长方体中的异面直线，最后以平面作衬托画出异面直线的图形。学生经过以上过程对异面直线的概念有了明确的认识，同时也经历了概念发生发展过程的体验。
四、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念
新概念的引入，是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要分成若干个层次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：（1）用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；（2）用点的坐标表示的锐角三角函数的定义；（3）任意角的三角函数的定义。由止己慨念衍生出：（1）三角函数值在各个象限的符号；（2）三角函致线；（3）同角三角函数的基本关系式；（4）三角函数的凼象与性质；（5）三角函数的诱导公式等二可见，三角凼数的定义在三角函数教学中可谓重中之重，是整个三角部分的奠基石，它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。“磨刀不误砍柴工”，重视概念教学，挖掘概念的内涵与外延，有利于学生理解概念。
结语
概念教学是数学教学的重要组成部分，为提高高中数学概念教学的深度与广度，提高学生对概念学习的重视度，本文从概念教学的路径进行分析，提出了三种概念教学的方式，从概念的实际教学意义出发，希望能通过概念教学，提高学生学习数学的兴趣度，提升高中数学教学的整体质量与水平.，在概念教学中，要根据课标对概念教学的具体要求，创造性地使用教材。对教材中干扰概念教学的例子要更换，对脱离学生实际的概念运用问题要大胆删去，优化概念教学设计，把握概念教学过程，真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造，达到认识数学思想和本质的目的。
参考文献：
[1] 杨帆 高中数学概念教学应注意的几个问题[期刊论文]-辽宁师专学报（自然科学版）2009，11（3）.
[2] 王世明 高中数学概念教学[期刊论文]-读写算：教育教学研究2011（41）.
高中数学导数的概念及意义篇（3）
关键词： 导数概念；瞬时变化率；教学设计
Key words： derivative conception；instantaneous rate of change；teaching design
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2014）15-0240-03
0 引言
导数概念是微积分最基本最重要的概念，往往影响到学生在整个高职学习阶段学习微积分的兴趣，导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在物理学、经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都得到了广泛的应用，导数的出现推动了人类事业向前发展。
由于数学本身的严谨性，导数概念不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；如能把导数的运算更好地应用于解决问题上，可使学生站得更高看得更远，能把微积分作为一个重要工具，在其他专业课程或日常生活中能运用微积分的思想则是高职数学教学达到的重要目标，导数概念的教学是学生认识微积分，打开微积分大门的关健一步。在高职院校数学的教学中，由于学生的数学基础参差不齐，要学习较为抽象的导数概念，往往觉得枯燥难学，提不起学习兴趣甚至产生厌学的情绪，不但影响了数学课程的学习，还因对概念的理解不深入，在相关的导数应用时会束手无策。本文作者在教学过程中，从导数概念的内容、教法及教学过程进行了有一定成效的教学设计，取得了一定的教学成效。下面就导数概念的教学设计展开介绍和讨论。
1 内容特点及学情分析
学情特点：首先，现阶段的中学数学教学大纲中，导数概念及应用也包含在其中，中学大纲的要求是让学生了解导数概念并能进行一些简单的应用，所以在学生眼里，导数概念在中学的课本里已出现，而在高职数学课堂上想让学生再接触该概念，往往容易让学生觉得没有必要甚至产生厌学的情绪，而学生对大学的期望值又高，这时进行导数概念的教学对教师及学生提出了一个更新更高的要求；另一方面该概念超乎了学生的直观想象力，抽象度高，极限概念和运算在学生的思维里只停留在一个单纯简单的运算阶段，而导数概念当中的极限思想远已超越了单纯简单的运算意义；但有利因素在于学生们已有大量的函数瞬时变化率、物理瞬时变化率的经验，且他们的思维正处于最活跃阶段，刚进校对大学的学习充满期望，只要调动得当，自然会引导他们对导数概念的学习产生浓厚的兴趣，从而达到理想的教学目标。
内容特点：导数概念是建立在已有函数概念和极限运算的基础上，几乎所有教材都是以两个实例带出，两个引例的内容学生不陌生，它们可作为问题的切入点；导数概念的关健内容是求极限，而这个极限的条件是自变量的增量趋向于零时，内容是一个增量比的极限，这个极限即由平均变化率到点的变化率的过渡。
在多年的教学经验中，作者针对以上两个的特点，确定该概念教学设计的总方向是从学生的思维特点出发，把问题化抽象为具体，分解瞬时变化率的内在含义，一步一步地引入，达到了理想的教学效果。其中教学设计的重点是更关注导数是一个极限，是一个瞬时变化率等意义的真正理解，难点是概念当中极限的意义和所起作用，即平均变化率到点变化率的过渡，这个过渡偏偏又是导数概念抽象之处。此时教师如能从不同于在中学时所述问题的角度又高于该角度来进行教学，学生才会更愿意去接受，也会做出比中学时更深入和广泛的应用。
2 教学设计和过程
2.1 内容设计
①内容一：两个引例，以它们作为切入口引入新课，一个是求变速直线运动的某点瞬时速度，另一个是求曲线上某点切线的斜率。
②内容二：导数的概念，在分析解决问题的关健时，强调引例中解决问题关健的三个步骤作为引路线，即曲线的斜率中的：Δy、■、■■；变速运动中的ΔS、■、■■；分析和分解三个步骤的本质和每步进展所起的作用，指导学生按步骤去思索，使概念的产生水到渠成。
③内容三：举例求函数的导数，实践和体会概念。
④内容四：导数的几何意义和物理意义。
⑤内容五：给出函数不可导的例子和图象，了解不可导的意义。
2.1.6 ⑥内容六：练习及小结，熟练和巩固导数概念。
2.2 教学方法设计 结合导数概念的特点，重点在于分解概念成几个小环节，突出重点，分散难点。教学设计的整个流程如图1。
2.3 教学过程的实施
2.3.1 运用多媒体课件的演示给出两个实例，引入新课
两个实例：①求曲线上某点的切线的斜率；②求变速直线运动的某点瞬时速度；在此前，学生已有切线概念是曲线与直线只有一个交点这种狭隘的方式，作者利用多媒体的教学途经，弥补传统教学的不足，增加教学效果的直观性，在图形上用动态的观感来吸引学生的注意，其中动画图形先让学生先通过观察曲线的切线形成过程，是如何由割线通过切换而得，得到对切线概念更广泛的认识；再给动画图形展示如何由曲线的割线位置往切线位置的转动，从动态过程启发理解割线斜率往切线的斜率的转变，这样动画切换可直观地感受和理解无限逼近思想，揭示极限的思想和作用，理解增量比的极限的本质，过渡到更深层的瞬时变化率理解，提高了学生学习积极性，吸引学生的目光。同时通过对求平均速度的分析，由一小段路程的速度转化为一点的速度的形成过程，强调极限在当中所起的作用。
在学生观察动画时教师同时提出几个思考的问题：
①由一小段的平均速度变换成一点瞬时速度如何实现？
②由割线的斜率变换成一点切点斜率如何实现？
③Δx0和Δt0的目的何在？
④Δx0和Δt0的过程是动态的，还是静止的？
2.3.2 强调三个步骤及分解三个步骤的本质
即求切线的斜率时：Δy、■、■■，弄清三个步骤中的每项含义并提出思考问题：
①Δy是什么？■又是什么？
②在求极限过程中，Δx和x谁是常量，谁是变量？
③■、■■的区别与联系？
2.3.3 抽象形成概念
其中提练出导数概念是：函数y=f（x），若自变量x在x0处有增量Δx，则函数y相应地的增量Δy，Δy=f（x0+Δx）-f（x0），比值
■=■
若当Δx0时，■的极限存在，则这个极限值称为函数y=f（x）在x0处的导数。
2.3.4 概念的引申拓展
在给出概念后，还要对概念进行引申拓展，导数是一个极限，又不是一个普通的极限，这个极限的含义还可以有以下形式如：
①■■；
②■■；
③■■
④■■。
作者在学生理解了上述几个形式后，还会给出以下形式，让学生思考下列各式子可表示什么：
①■■；
②■■；
③■■等。
2.3.5 以例子加强概念内涵的理解
①导数概念内涵挖掘一：求函数的导数即求出一个极限。
例1：求函数y=x2的导数作为例子，按上述三个步骤求出该函数y=xn的导数。再以求函数的导数作为例，得出幂函数求导公式，即（xn）′=nxn-1。当中通过求导过程引导学生经历数学知识再发现的过程，让学生在参与其中获取知识，巩固概念，发展思维，感悟数学，提高学习的积极性。
②导数概念内涵挖掘二：函数的导数是一个不定型的极限。
教师作以下演算例2：
1）求下列极限：
■■
=■■
=■■
=■
2）使用导数概念：
■■=■■=（■）′=■
结论：导数是一个极限值且是一个不定型的“■”型，反过来极限值也可通过导数概念来解释。
③导数概念内涵挖掘三：函数的导数是一个瞬时变化率，几何意义、物理意义箅经济意义。
教师给出下列问题加强对瞬时变化率的理解：
1）导数概念y′=■■，是变量y对x的瞬时变化率。
2）如求函数y对自变量x的瞬时变化率时，则有切线斜率y′=■■；
如求路程S对时间t的瞬时变化率时，则有速度
v=s′=■■；
求速度v对时间t的瞬时变化率时，则有加速度
a=v′=■■；
求市场需求量q对价格p的瞬时变化率时，则有需求弹性Ep=q′=■■。
求电量Q对时间t的瞬时变化率时，则有电流i=Q′=■■等。
④导数概念内涵挖掘四：函数的导数与连续的关系，不可导的理解。
例3：求函数y=|x|在x=0处的导数，按上述三个步骤求。
求极限时：因■=■=■=1 x>0-1 x
■■=■1=1
■■=■（-1）=-1
由结论得此时极限不存在，即该点不可导。
结论：即曲线的尖点处不可导，连续不一定可导。
例4：给出圆的图象，通过作圆的切线，当圆的切线与x轴垂直时，此时切线的斜率k=tan■不存在
而y′=k，由结论得此时导数也不存在，即该点不可导。
结论：切线与x轴垂直时，该点也不可导。
在对导数内涵发掘的过程中，为学生营造可以讨论问题认识问题的机会，以这种教学形式介绍导数概念，不但使学生学习积极性被充分地调动起来，主动地思考和发现问题，增加了学生的知识面，使导数概念丰富多彩，同时运用数学思维方法来解决问题的能力得到了更大的提高，有助于创新和应用能力的培养。
2.3.6 学生做练习及教师小结，巩固导数概念
安排完成练习，用导数定义求下列函数的导数：
①y=x3；②y=■。
巩固导数概念的三个步骤。
高职数学教学中，在课堂上把数学概念枯燥难以接受的内容进行上述精心的教学设计，让内容更丰富立体，知识变得生动有趣，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度，也达到了高职数学课堂上的素质教育目标，培养了学生的数学素养。为更好落实教学目标，把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态”，为学生创设思考想象的空间，让学生感受探索的乐趣，把瞬时变化率这个抽象难以理解的概念学到并在将来有机会进行运用。
3 教学设计过程的反思
在数学概念的教学设计中，还要充分了解学生的基础和知识面，往往学生的难点不一定出现在本节所要理解的内容上，如推导幂函数的求导公式时，Δy=（x-Δx）n的展开式往往是学生遗忘较大的，在该环节上还要补充中学的知识才得以完成。
参考文献：
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高中数学导数的概念及意义篇（4）
高等数学是研究现实世界的空间形式数量关系的一门学科。而数学概念则是现实世界的空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映。学习数学离不开数学概念，概念理解正确与否，直接影响到数学公式、法规、定理的学习。概念是数学学习的核心，数学概念的学习，不仅要记住它的定义，认清代表它的符号，更重要的是要真正把握它的本质属性，而学生在解决数学问题时出错或产生困难，原因往往在于概念的理解上产生了困惑，特别是对同一数学概念的不同表达形式缺乏系统概括的理解。因此，必须十分重视概念教学。
数学概念是反映一类对象本质属性的思维方式，具有抽象性和具体性双重特点。数学基本概念是形成学生数学能力的基础，数学内容的全部展开都立于数学概念之上。
数学中的概念通常可以分为两类，一类是不定义概念，如点、直线、平面等，它只是直观地加以描述，对这些概念只要正确了解便可以了；另一类是通过定义给出它的确切含义，如函数、方程等概念，这一类要真正弄清它的意义，并加以正确应用。教学中，应让学生真正掌握其本质，理解概念的内涵和外延，而不是让学生死记硬背。
学习数学概念有两种最基本的方式，一是概念的形成，二是概念的同化。但使用概念形成的方式、学习显然不符合学生学习数学的特点，不符合教学的简约性规律；仅用概念同化的学习方式学习，由于数学的高度抽象性和概括性特点，学生难以掌握概念的本质属性，难以形成掌握好数学概念背后的丰富事实。把两者结合起来，就可以扬长避短。
学生学习概念还受以下几因素影响：
1、学生知识经验
概念学习过程中，学生往往从他已有的有关知识经验出发去认识、理解、区分事物的各种联系和性质，如学习方程的概念，学生首先要掌握“等式”、“未知数”，学习极限的概念，要掌握“数列”的知识等，并且只有在学习时回忆起这些知识，才能保证学会概念。学生的生活经验越丰富，他们的空间和数的概念就越多，掌握数学概念越有利。
2、学生的数学概括能力水平
概括是概念形成和同化的关键环节，数学能力强的学生容易概括出一类事物的本质属性，而能力弱的则不能。
3、语言表达能力
概念本身是抽象的，但由于给予了特定的符号，而且这些符号组成了一定的语言系统，学生往往通过对具体的的语言符号来学习概念的，所以言语表达成为概念学习重要的一环。最好让学生用自己的话来叙述定义。
如何搞好概念教学，我认为在教学中应注意以下几个方面：
1、引用所学国的知识
在教学中，为了使学生容易牢固地掌握数学概念，教师必须提供或唤起学生的一切有关的知识经验，当然，知识经验必须是具体的，学生已经掌握，而不是抽象的、理论的。例如：要确定导数的定义，先让学生辨认明显的实际例子：曲线在某点的切线斜率，产品总成本的变化率及变速直线运动的速度等。又如在学习0°到360°的三角函数的基础上，引入任意角的三角函数概念，使学生明确三角函数值只与角的终边所在的象限有关。
2、概念教学中发展学生概括（抽象）能力
心理学研究表明，概括（抽象）是人们形成和掌握概念的直接前提，仍以形成导数概念为例，引导学生进行抽象；产品总成本的变化率与变速直线的速度可以抽象为函数，找出它们的共同属性加以概括即为导数的定义。在概念教学中，教师有目的地进行引导学生积极思考，有利于形成以教师为主导，学生为主体的良好的课堂形式，有利于发展学生思维，使学生的观察、概括、抽象能力有所提高。
3、采用变式图形，加强对概念本质属性的理解
教学中，有些数学概念可结合图形来讲解，而教材往往只给出了标准位置的图形，对此，教学时可在原有图形基础上，再引进变式图形加以对比，突出概念的本质属性，摒弃那些非本质属性，以加深对概念的理解，同时，可防止学生的思维定势。如两条直线互相垂直，其中一条叫另一条直线的垂线。它的本质属性是两条直线夹角成直角，而与是否有一条直线处于水平位置无关。
实际上，在对其他与图形无关的概念教学时，也要注意本质属性，可列举几种满足概念的不同类型，让学生区分辨别，以巩固他们对本质属性的理解。如：y=k/x（k≠0）是反比例函数。同一数学对象不同表达形式正式变更非本质特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，从不同侧面突出了数学对象的本质特征，突出了那些隐蔽的本质要素。
1、应用中加深对概念的理解
在初学概念时，虽然能够弄清概念的含义，但是通过应用，才能更深刻地理解它。例如在工农业生产、经营管理及经济核算中，常常要求解决在一定条件下，怎样使“产量最多”、“用料最省”、“效率最高”以及“成本最低”等问题，这些问题反映在数学上，就是求函数的最值问题，而求最值就是求函数的导数，这样就更能理解导数的概念。
2、广泛联系，完善概念
高中数学导数的概念及意义篇（5）
二、数学概念在教学中的几点缺失
（一）教师方面
1.在教学中过分注重定义的叙述，而不求深入地分析概念的内涵和外延；
2.在教学中简化了概念的形成过程，对概念定义一带而过，甚至忽略定理的证明过程；
3.在教学中仍采用孤立单一的概念教学方法，忽略对以往所学知识的类比同化；
4.在教学中盲目地使用题海战术，不注重概念的引入，只注重概念的应用，把教学重点放在训练学生的解题技巧和方法上；
5.在教学中忽视了对概念定义的复习。
（二）学生方面
1.在学习过程中对数学概念的抽象性和概括性的把握不够，难于理解；
2.在学习过程中主观上认为基本概念单调乏味，对数学概念不重视不求甚解，对数学概念理解模糊，缺乏应用意识是学生高考数学失分的主要原因之一；
3.在学习过程中不能透彻理解数学概念的本质，只能死记硬背、生搬硬套地解决简单的数学问题，更缺乏举一反三的能力；
4.在学习过程中认为对数学概念的核心关键的知识点通过练习掌握即可，而忽略细节，时间的安排上，盲目做题疲于应付。
三、数学概念在教学中应注重的几个方面
（一）在教学中应注重数学语言及数学符号语言的强化
数学概念是用精准的数学术语和符号进行简练的表述的。数学语言和符号的概括性，是数学概念的标志，也是人们概括地认识客观事物中数和形的特性的工具。
比如，奇函数的概念：“如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。”又比如，必修2中公理1的符号表示为A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α？圯l？奂α.每个数学语言和符号都有其准确的含义，如果不理解初步概括的数学术语和符号的准确含义就难以形成或理解更高层次与更抽象的数学概念。因此，在教学中应该对数学语言及数学符号进行强化。
（二）在教学中应注重数学概念的引入
1.利用学生的生活经验，提供丰富的感性材料。
概念是在现实生活中抽象出来的理性认知，在教学中教师应帮助学生完成对概念从感性认识到理性认识的过渡。丰富而直观教学资料和充足的感情资料是引入概念教学的良好时机。
比如，用调整时间的例子引入正角、负角的定义。又比如，用课桌面、黑板面、海面等引入平面的定义。
2.利用学生的学习经验，提供同化类比的材料。
数学概念不是孤立的，定义一个新概念要用到许多旧概念，数学概念之间是相互联系的。美国认知心理学家奥苏伯尔认为，学习者学习新知识的过程实际上是新旧材料之间相互作用的过程，学习者在学习中能否获得新知识，主要取决于学生个体的认知结构中是否存在能够同化新知识的停靠点[2]。因此，在教学中应该注重引导学习者从原有的知识经验中，生长新的知识经验。
比如在讲双曲线的概念时，可让学生复习椭圆的概念（到两定点的距离之和等于定值的点的轨迹），再提出若到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是什么？
3.关注学生学习的心理因素，注意把握概念引入的时机。
概念的引入，要把握好时间点。过早，等于是简单机械地灌输；过迟，学生容易失去兴趣，也会使得教学知识体系略显零乱。因此，教师应及时整理和总结，在学生情绪高涨及精力充沛的时候给出概念。
（三）在教学中应注重数学概念的形成和掌握
1.注重刻画概念的本质，抓住概念中的关键字眼进行分析。
教学中有部分老师认为对数学概念，只要求学生了解其大概意思没有花费太多的时间进行分析；也有的教师对数学概念理解不够深刻、透彻。没有了教师的积极引导和严格要求，学生对概念本质的理解必然会有很大缺失。
比如等差数列的概念，“如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列”。其中的“第二项起”、“差”、“同一个常数”，这些字眼都应该做着重的分析。通过这样的提问思考的方法学习概念，就能抓住概念的本质，产生对数学概念很强的理解能力。
2.注重分析概念的内涵和外延，多角度考察分析概念。
概念的内涵是指对概念本质属性的揭露，也就是这个概念所反映的全体对象具有哪些与其它事物相区别的属性。概念的外延则表示该概念所反映的对象的全体[3]。多角度地分析概念的内涵和外延，引导学生主动在头脑中进行积极思维的过程，学生掌握概念不是静止的，而是将已有知识再一次形象化、具体化，使学生对概念的理解更全面、更深刻。
比如，增加数列的内涵“从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于一个常数”，这样的数列就是等差数列。数列的内涵增加，外延缩小，就由数列过渡到等差数列了。
3.注重新旧知识的衔接，抓住概念间的内在联系和区别。
在概念教学中，针对学生对概念的理解的困难，教师可以给学生提供一些相似的概念，帮助学生辨明概念的含义。比如，立体几何中异面直线距离的概念，教学中可以先让学生回顾一下有关距离的概念，如两点之间的距离，点到直线的距离，两平行线之间的距离，引导学生思考这些距离的共同特点，再由学生分析概括出异面直线距离的概念。
4.注重数与形的结合，积极构建概念教学的问题情境。
教师在教学中积极充分利用图形与实例，不仅可以使概念直观化、模型化、具体化，还可以使新旧概念之间的关系明朗化、系统化。教师有意识地联系学生生活认识发掘数学概念的直观形象或生活，并赋其具体意义，通过揭示概念“形”与“义”之间的联系，使概念更直观、更易于理解。
比如，椭圆的定义和方程中，可以开始由多媒体演示“神舟九号”飞船绕地球旋转运行的画面。通过对实例的分析，生动直观，学生不仅掌握了椭圆的形成过程，而且能深刻理解概念。
5.注重结合高考的命题趋势，抓住容易混淆的概念进行突破分析。
高中数学导数的概念及意义篇（6）
一、引言
能够识别一类刺激的共性，并对此作出相同的反映，这一过程被称为概念学习.数学是反映现实世界中空间形式和数量关系的学科，而数学概念是数学学科知识体系的基础，是数学知识本质属性的反映，是构建数学理论的基石.因此数学概念学习就成为数学学习的核心.数学概念是反映数学对象的本质属性和特征的思维形式.它排除了对象具体的物质内容，抽象出内在的、本质的属性.在现实教学中，由于数学概念的抽象性与概括性，往往令很多学生头疼.实际上，中职学生原本数学基础比较薄弱，对那些抽象的数学概念难以理解，学习时更是困难重重.如何上好职高数学概念课，让学生理解掌握数学概念呢？本文就以一节概念课为例进行探讨.
二、APOS理论
20世纪90年代以后，建构主义的教育理论思潮迅速流行.其主要观点就是学生获取知识不是被动的，而是通过学习主体自主建构.APOS理论是以建构主义为基础的数学学习理论，由美国学者杜宾斯基（E.Dubinsky）提出的，主要针对数学概念的学习，从数学心理学的角度将学生的心智建构分为四个阶段：action（操作）、process（过程）、object（对象）和schema（图式）.它的核心是引导学生在社会线索中学习数学知识，分析数学问题情境，从而建构他们自己的数学思想.
（一）操作（Action）阶段——引入概念.
操作阶段是学生理解概念的基础.通过操作感觉事物，感受概念的直观背景和概念间的联系，是感性认识阶段.
（二）过程（Process）阶段——概括概念.
教学中应充分发挥学生主体的能动性，通过前一阶段的操作活动进行思考，经历思维的内化过程，总结出概念的定义.
（三）对象（Object）阶段——分析概念的内涵与外延，揭示概念的关系.
通过对概念演化发展过程中资料的分析、抽象，认识概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象.
（四）图式（Scheme）阶段——深化学习.
学生不断调整自身已有的认知结构，通过同化和顺应建立新的平衡，形成新的知识图式.
APOS理论充分反映了个体认知数学概念的思维过程，揭示了数学概念学习的本质.对职高数学的概念教学具有极大的启发意义.
三、教学设计
（一）教学内容解析.
函数是贯穿整个中职数学课堂的主线之一，它所蕴涵的数学思想和方法渗透到科技和生活的各个领域，是现代数学的基础.函数的教与学使学生由初中形象思维向高中抽象逻辑思维转化，培养学生基本运算能力和解决实际问题能力.因此，在学生高中数学知识体系的构建上，本节课起到了至关重要的基石作用.
函数概念的教学要求利用集合的观点，对初中学过的函数知识进行再认识，拓展了函数概念的外延，丰富了其内涵.针对学生的实际认知水平，本课的教学基于建构主义的APOS理论，采用问题驱动的方式，利用生活中的实例启发和引导学生抽象出函数的概念，从而使学生掌握知识和发展思维.
（二）教学重难点.
本课的重点确定为：函数的概念，函数的两要素，求函数的定义域.而对函数的概念及记号的理解，判断两个函数是否相同，这些内容作为本课的难点.
重难点突破：利用加油站计价器的动画导入函数的概念，让学生体会探究并发现两个变量之间的依赖关系，从集合的角度抽象出函数的概念.通过计价器的变化帮助学生理解函数的定义域，指导学生求出函数值.通过三个计价器的动画对比剖析，引导学生深入理解定义域与对应法则是函数的两个要素，判断两个函数是否相同要看这两个要素是否相同.
（三）教学目标解析.
通过生活中实例帮助学生建立函数的概念，理解函数的定义及函数符号的含义；使学生能用集合与对应的语言描述函数，深入理解函数的两个要素.通过从实例中抽象出函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力及数学思维能力；理解函数定义域的含义，会求函数的定义域，并能将函数的定义域用集合的方式表示出来；通过函数值的求解，培养学生的计算能力；认识函数的两要素，掌握判断两个函数是否相同的方法，培养学生对比分析问题的能力，学会抓住问题的关键.
教学过程中鼓励学生积极、主动地参与课堂教学的整个过程，感受数学严谨的逻辑推理过程，通过师生的课堂问答，帮助学生建立攻克难点的自信，发现探索新知的乐趣，获得成功的体验.
（四）教学过程设计.
依据APOS理论，本课的教学分成四个阶段：
1.操作阶段：创设情境，问题引导.
播放动画：3月初，小王开车来到中国石化加油站加油.请同学们仔细观察视频中加油计价器上数字的跳动.
回答下面四个问题：
（1）这个加油的变化过程中，有哪些量在变化，哪些没有变化？哪个量依附于哪个量在变化？
（2）请同学们计算，当加油量为15升，36升和48升时，计价器上显示的金额分别是多少？
（3）加油量是否一直在增大？写出加油量的变化范围.金额是否一直在增加？写出金额的变化范围.
设计意图：
问题（1）是让学生寻找加油过程中的两个变量，引导学生用已有的运动变化的观点抽象出函数概念.
问题（2）是引导学生求函数值，培养学生的计算能力.
问题（3）因为汽车油箱容积一定，所以加油到50升时就满了，油箱的容积决定了函数的定义域，加满油时金额也不会再上升，初步找出加油量与金额的变化范围，并用集合表示出来.
（4）如果把加油量看成x，把金额看成y，你能建立起x与y之间的关系吗？
由于前三个问题的铺垫，水到渠成，学生顺利得出加油量与金额之间的函数关系，对于自变量x的取值范围，应加以强调.
通过以上回忆、计算、推理等数学操作活动，学生对函数的概念有了感性认识.
2.过程阶段：对照引例，形成概念.
在上述例子中，我们可以发现，在汽车加油的变化过程中有两个变量：加油量x与金额y，因为油箱只有50升，即自变量x有它自己的取值范围：D={x|0≤x≤50}.在D中的每一个加油量x，按照8元/升的价格，都有唯一的金额y与之对应，我们可以建立起加油量x与金额y之间的对应关系：y=8x{0≤x≤50}.由此总结出函数的概念：在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么把x叫做自变量，把y叫做x的函数，记作y=f（x）.
设计意图：把引例中的数学问题进行压缩、提升，将新的集合的观点描述的函数的概念，加入学生已有认知结构中.
3.对象阶段：概念剖析，巩固强化.
y=f（x）是函数概念的形式化的符号，x表示自变量，如例中的加油量，y是x的函数，如例中的金额，f表示对应法则，如例中加油量与金额之间的对应法则是单价8元/升，那么，不同的对应法则可以用不同的符号表示，如g（x），h（x），F（x）等，自变量x的取值范围叫做函数的定义域，如例中油箱的容积为50，D={x|0≤x≤50}.
定义域与对应法则称为函数的两个要素.
当x=x■时，函数y=f（x）对应的值y■叫做函数在点x■处的函数值，记作y■=f（x■），如f（15）=8×15=120，表示函数在x=15处的函数值.函数值的集合{y|y=f（x），x∈D}叫做函数的值域，如金额y的取值范围C={y|0≤y≤400}.
基于学生对函数概念的初步认识，设计了3个例题.
例1.判断下列代数式哪些是函数，哪些不是？
（1）y=2x+1 （2）y=x■-3
（3）y=1 （4）y■=x
设计意图：前两小题学生能很快做出回答，分别是熟悉的一次函数及一元二次函数.学生对3、4题的判断出现了意见分歧.有的学生仍停留在初中对函数概念的认识，认为3不是函数，因为没有变量x，而4是函数，因为x和y都有.这时回顾函数的集合定义，强调定义中的“每一个”“唯一一个”的准确理解.从而使学生对函数概念的理解上升到理性阶段.
例2.求下列函数的定义域：
（1）f（x）=■ （2）f（x）=■ （3）f（x）=（3x+2）■
设计意图：强调函数的定义域是自变量x的取值范围.在实际问题中，定义域是由问题的实际意义所确定的，如油箱的容积为50，在用代数式表示的函数中，定义域是使代数式有意义的自变量x的取值范围.
例3.设函数f（x）=■，试求f（0），f（2），f（-5），f（b）的值.
设计意图：第一题由老师求解，后面三小题可由学生板演.
通过有关函数值的计算，培养学生的计算能力.
4.图式阶段：对比实例，深入解析.
观察三次加油的课件：
1.2014年3月初，小王车加油，油箱50升，单价8元/升.
2.2014年3月初，小张车加油，油箱35升，单价8元/升.
3.2014年1月初，小王车加油，油箱50升，单价7元/升.
问题1：观察1、2两个加油过程，计价器的变化相同吗，为什么？（定义域不同）
问题2：观察1、3两个加油过程，计价器的变化相同吗，为什么？（对应法则不同）
设计意图：回归到汽车加油问题中，改变加油量的最大值与单价，教师引导学生从中得出判断两个函数为同一函数的标准：定义域与对应法则是否相同.紧随其后设计例题.
例4.指出下列函数中，哪个与函数y=x是同一个函数：
（1）y=■ （2）y=■ （3）s=t
函数的定义域与对应法则是函数的两个要素，判断两个函数是否相同就是判断两个函数的定义域与对应法则是否相同，而与表示函数所选用的字母无关.
设计意图：通过以上四个例题的分析求解，深化目标.学生最终形成函数概念的心智结构.
通过本课的学习，学生的认知结构中只能形成函数概念的初始阶段的图式，今后还需要长期的学习活动（如指对函数、三角函数等）进行完善.
紧扣本节课的重难点，设计几道课堂练习题，帮助学生应用知识，强化训练.
1.求下列函数的定义域：
（1）f（x）=■ （2）f（x）=■
2.已知f（x）=3x-2，求f（0），f（1），f（a）.
3.判断下列各组函数是否为同一函数：
（1）f（x）=x，f（x）=■
（2）f（x）=x+1，f（x）=■
最后进行归纳小结，布置作业.
四、设计体会
APOS理论对学生的函数概念的理解作了分层分析，真实反映了学生的心智建构过程，揭示了函数概念学习的本质.学生对本概念的理解不是线性的，而是呈循环螺旋上升的趋势.基于APOS理论设计的本课的教学，实质是“以学生为主体”的理念在课堂探究中的体现，学生在形成函数概念时自觉地完成了由感觉、知觉到表象，由感性认识上升到理性认识的过程.在函数的概念教学中，教师引导学生不断探索，相互交流，培养了学生解决实际问题的能力；引导学生自主实践，勇于发现，培养了学生的创新能力.
参考文献：
[1]刘超，王志军.论核心数学概念及其教学.高中数学教与学，2011（11）.
[2]叶立军.数学课程与教学论.浙江大学出版社.
[3]翁凯庆.数学教育概论.四川大学出版社.
高中数学导数的概念及意义篇（7）
总要求
本大纲内容包括“高等数学”及“概率论初步”两部分，考生应按本大纲的要求了解或 理解“高等数学”中极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学的基 本概念与基本理论;了解或理解“概率论”中古典概型、离散型随机变量及其数字特征的基 本概念与基本国际要闻 学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法，应注意各部分知识 的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力;能运用 基本概念、基本理论和基本方法正确地判断和证明，准确地计算;能综合运用所学知识分析 并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方 法和运算分为“会”“掌握”和“熟练”三个层次。 、
复习考试内容
一、极限和连续
(1)极限
1.知识范围 数列极限的概念和性质
(1)数列数列极限的定义性有界性四则运算法则夹逼定理，单调有界数列极限存在定理
(2)函数极限的概念和性质 函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系 χ趋于无穷(χ∞，χ+∞， χ-∞)时函数的极限函数极限的几何意义 性 四则运算法则 夹逼定理
(3)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量的性质，无穷小量的比较。
(4)两个重要极限
sin x lim x = 1 x 0
1 lim 1 + x = e x ∞x
2.要求
(1)了解极限的概念(对极限定义中“ε—N”“ε—δ”“ε—M”的描述不作要求)。掌握函数在一点处的左极限与右极限以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系， 会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价) 。会运用等价无穷小量代换求极限。
(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
(2)连续
1.知识范围
(1)函数连续的概念 函数在一点处连续的定义 左连续和右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的 间断点
(2)函数在一点处连续的性质 连续函数的四则运算 复合函数的连续性
(3)闭区间上连续函数的性质 有界性定理 值与最小值定理 介值定理(包括零点定理)
(4)初等函数的连续性
2.要求
(1) 理解函数在一点处连续与间断的概念， 理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系， 掌握函数(含分段函数)在一点处的连续性的判断方法。
(2)会求函数的间断点。
(3)掌握在闭区间上连续函数的性质，会用它们证明一些简单命题。
(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数的连续性求极限。
二、一元函数微分学
(一)导数与微分
1.知识范围
(1)导数概念导数的定义左导数与右导数函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义可导与连续的关系
(2)导数的四则运算法则与导数的基本公式
(3)求导方法 复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法
(4)高阶导数 高阶导数的定义 高阶导数的计算
(5)微分 微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性
2.要求
(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点 处的导数。
(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
(4)掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。
(5)了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
(6)理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
(二)导数的应用
1.知识范围
(1) 洛必达(L′Hospital)法则
(2) 函数增减性的判定法
(3) 函数极值与极值点值与最小值
(4) 曲线的凹凸性、拐点
(5) 曲线的水平渐近线与铅直渐近线
2.要求
(1)熟练掌握用洛必达法则求“
0 ∞ ” “ ” “0∞” “∞—∞”型未定式的极限的方法。 0 ∞
(2)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增 减性证明简单的不等式。
(3)理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、值与最小值的方法， 会求解简单的应用问题。
(4)会判定曲线凹凸性，会求曲线的拐点。
(5)会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。
三、一元函数积分学
(一)不定积分
1.知识范围
(1)不定积分 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质
(2)基本积分公式
(3)换元积分法 第一换元法(凑微分法) 第二换元法
(4)分部积分法
(5)一些简单有理函数的积分
2.要求
(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
(2)熟练掌握不定积分的基本公式。
(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(仅限形如
2 2 2 2 。 ∫ a x dx、 a + x dx 的三角代换与简单的根式代换) ∫
(4)熟练掌握不定积分的分部积分法
(5)掌握简单有理函数不定积分的计算。
(二)定积分
1.知识范围
(1)定积分的概念 定积分的定义及其几何意义可积条件
(2)定积分的性质
(3)定积分的计算 变上限的定积分牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式换元积分法分部积分法
(4)无穷区间的广义积分、收敛、发散、计算方法
(5)定积分的应用 平面图形的面积、旋转体的体积
2.要求
(1) 理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。
(2) 掌握定积分的基本性质
(3) 理解变上限的定积分是上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
(4) 熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式
(5) 掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
(6) 理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。
(7) 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成 旋转体的体积。
四、多元函数微分学
1.知识范围
(1)多元函数 多元函数的定义 二元函数的定义域 二元函数的几何意义
(2)二元函数的极限与连续的概念
(3)偏导数与全微分 一阶偏导数 二阶偏导数 全微分
(4)复合函数的偏导数 隐函数的偏导数
(5)二元函数的无条件极值和条件极值
2.要求
(1)了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。
(2)了解二元函数的极限与连续的概念。
(3)理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握 二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法。
(4)掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。
(5)会求二元函数的无条件极值和条件极值。
(6)会用二元函数的无条件极值及条件极值求解简单的实际问题。
五、概率论初步
1.知识范围
(1)事件及其概率 随机事件 事件的关系及其运算 概率的古典型定义 概率的性质 条件概率事件的独立性
(2)随机变量及其概率分布 随机变量的概念 随机变量的分布函数 离散型随机变量及其概率分布 (3)随机变量的数字特征 离散型随机变量的数学期望 方差 标准差
2.要求
(1) 了解随机现象、随机试验的基本特点;理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。
(2) 掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容(或互斥)关系及对立关系。
(3) 理解事件之间并(和) 、交(积) 、差运算的定义，掌握其运算规律。
(4) 理解概率的古典型定义;掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。
(5) 会求事件的条件概念;掌握概率的乘法公式及事件的独立性。
(6) 了解随机变量的概念及其分布函数。
(7) 理解离散型随机变量的定义及其概率分布，掌握概率分布的计算方法。
高中数学导数的概念及意义篇（8）
总要求
本大纲内容包括“高等数学”及“概率论初步”两部分，考生应按本大纲的要求了解或 理解“高等数学”中极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学和多元函数微分学的基 本概念与基本理论;了解或理解“概率论”中古典概型、离散型随机变量及其数字特征的基 本概念与基本国际要闻 学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法，应注意各部分知识 的结构及知识的内在联系;应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力;能运用 基本概念、基本理论和基本方法正确地判断和证明，准确地计算;能综合运用所学知识分析 并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方 法和运算分为“会”“掌握”和“熟练”三个层次。 、
复习考试内容
一、极限和连续
(1)极限
1.知识范围 数列极限的概念和性质
(1)数列数列极限的定义性有界性四则运算法则夹逼定理，单调有界数列极限存在定理
(2)函数极限的概念和性质 函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系 χ趋于无穷(χ∞，χ+∞， χ-∞)时函数的极限函数极限的几何意义 性 四则运算法则 夹逼定理
(3)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量的性质，无穷小量的比较。
(4)两个重要极限
sin x lim x = 1 x 0
1 lim 1 + x = e x ∞x
2.要求
(1)了解极限的概念(对极限定义中“ε—N”“ε—δ”“ε—M”的描述不作要求)。掌握函数在一点处的左极限与右极限以及函数在一点处极限存在的充分必要条件。
(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系， 会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价) 。会运用等价无穷小量代换求极限。
(4)熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
(2)连续
1.知识范围
(1)函数连续的概念 函数在一点处连续的定义 左连续和右连续 函数在一点处连续的充分必要条件 函数的 间断点
(2)函数在一点处连续的性质 连续函数的四则运算 复合函数的连续性
(3)闭区间上连续函数的性质 有界性定理 值与最小值定理 介值定理(包括零点定理)
(4)初等函数的连续性
2.要求
(1) 理解函数在一点处连续与间断的概念， 理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系， 掌握函数(含分段函数)在一点处的连续性的判断方法。
(2)会求函数的间断点。
(3)掌握在闭区间上连续函数的性质，会用它们证明一些简单命题。
(4)理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数的连续性求极限。
二、一元函数微分学
(一)导数与微分
1.知识范围
(1)导数概念导数的定义左导数与右导数函数在一点处可导的充分必要条件导数的几何意义可导与连续的关系
(2)导数的四则运算法则与导数的基本公式
(3)求导方法 复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法
(4)高阶导数 高阶导数的定义 高阶导数的计算
(5)微分 微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性
2.要求
(1)理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点 处的导数。
(2)会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
(3)熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
(4)掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。
(5)了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
(6)理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。
(二)导数的应用
1.知识范围
(1) 洛必达(L′Hospital)法则
(2) 函数增减性的判定法
(3) 函数极值与极值点值与最小值
(4) 曲线的凹凸性、拐点
(5) 曲线的水平渐近线与铅直渐近线
2.要求
(1)熟练掌握用洛必达法则求“
0 ∞ ” “ ” “0∞” “∞—∞”型未定式的极限的方法。 0 ∞
(2)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增 减性证明简单的不等式。
(3)理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、值与最小值的方法， 会求解简单的应用问题。
(4)会判定曲线凹凸性，会求曲线的拐点。
(5)会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线。
三、一元函数积分学
(一)不定积分
1.知识范围
(1)不定积分 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质
(2)基本积分公式
(3)换元积分法 第一换元法(凑微分法) 第二换元法
(4)分部积分法
(5)一些简单有理函数的积分
2.要求
(1)理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
(2)熟练掌握不定积分的基本公式。
(3)熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法(仅限形如
2 2 2 2 。 ∫ a x dx、 a + x dx 的三角代换与简单的根式代换) ∫
(4)熟练掌握不定积分的分部积分法
(5)掌握简单有理函数不定积分的计算。
(二)定积分
1.知识范围
(1)定积分的概念 定积分的定义及其几何意义可积条件
(2)定积分的性质
(3)定积分的计算 变上限的定积分牛顿—莱布尼茨(Newton—Leibniz)公式换元积分法分部积分法
(4)无穷区间的广义积分、收敛、发散、计算方法
(5)定积分的应用 平面图形的面积、旋转体的体积
2.要求
(1) 理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件。
(2) 掌握定积分的基本性质
(3) 理解变上限的定积分是上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
(4) 熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式
(5) 掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
(6) 理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法。
(7) 掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成 旋转体的体积。
四、多元函数微分学
1.知识范围
(1)多元函数 多元函数的定义 二元函数的定义域 二元函数的几何意义
(2)二元函数的极限与连续的概念
(3)偏导数与全微分 一阶偏导数 二阶偏导数 全微分
(4)复合函数的偏导数 隐函数的偏导数
(5)二元函数的无条件极值和条件极值
2.要求
(1)了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。
(2)了解二元函数的极限与连续的概念。
(3)理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握 二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数全微分的求法。
(4)掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。
(5)会求二元函数的无条件极值和条件极值。
(6)会用二元函数的无条件极值及条件极值求解简单的实际问题。
五、概率论初步
1.知识范围
(1)事件及其概率 随机事件 事件的关系及其运算 概率的古典型定义 概率的性质 条件概率事件的独立性
(2)随机变量及其概率分布 随机变量的概念 随机变量的分布函数 离散型随机变量及其概率分布 (3)随机变量的数字特征 离散型随机变量的数学期望 方差 标准差
2.要求
(1) 了解随机现象、随机试验的基本特点;理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。
(2) 掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容(或互斥)关系及对立关系。
(3) 理解事件之间并(和) 、交(积) 、差运算的定义，掌握其运算规律。
(4) 理解概率的古典型定义;掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。
(5) 会求事件的条件概念;掌握概率的乘法公式及事件的独立性。
(6) 了解随机变量的概念及其分布函数。
(7) 理解离散型随机变量的定义及其概率分布，掌握概率分布的计算方法。
高中数学导数的概念及意义篇（9）
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念作到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2、教学目标及确立的依据：
教学目标：
(1)教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
(2)能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
(3)德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3、教学重点难点及确立的依据：
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高挡题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理：
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不一样了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
学法：
四、教学程序
一、课程导入
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1：把高一(12)班和高一(11)全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起?
二.新课讲授：
(1)接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质(一对一，多对一)，进而给出映射的概念，表示符号f：AB，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。
(2)巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对多，多对一”但不能是“一对多”。
例1.给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射进而给出函数的近代定义(设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f)，并说明把函f：AB记为y=f(x)，其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y(或f(x))值叫做函数值，函数值的集合{f(x)：x∈A}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系。(函数是非空数集到非空数集的映射)。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
2.函数是非空数集到非空数集的映射。
3.f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
4.f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
5.集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。
6.“f：AB”表示一个函数有三要素：法则f(是核心)，定义域A(要优先)，值域C(上函数值的集合且C∈B)。
三.讲解例题
例1.问y=1(x∈A)是不是函数?
解：y=1可以化为y=0*X+1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
[注]：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。
四.课时小结：
1.映射的定义。
2.函数的近代定义。
3.函数的三要素及符号的正确理解和应用。
4.函数近代定义的五大注意点。
五.课后作业及板书设计
书本P51习题2.1的1、2写在书上3、4、5上交。
预习函数三要素的定义域，并能求简单函数的定义域。
函数(一)
高中数学导数的概念及意义篇（10）
1．教材的地位和作用
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿于中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有对概念做到深刻理解，才能正确灵活地加以应用。本课中学生对函数概念理解的程度会直接影响数学其它知识的学习，所以函数的第一课时非常的重要。
2．教学目标及确立的依据
（1）教学目标：
1）教学知识目标：了解对应和映射概念、理解函数的近代定义、函数三要素，以及对函数抽象符号的理解。
2）能力训练目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。
3）德育渗透目标：使学生懂得一切事物都是在不断变化、相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点。
（2）教学目标确立的依据：
函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿整个中学数学，如：数、式、方程、函数、排列组合、数列极限等都是以函数为中心的代数。加强函数教学可帮助学生学好其他的数学内容。而掌握好函数的概念是学好函数的基石。
3．教学重点难点及确立的依据
教学重点：映射的概念，函数的近代概念、函数的三要素及函数符号的理解。
教学难点：映射的概念，函数近代概念，及函数符号的理解。
重点难点确立的依据：
映射的概念和函数的近代定义抽象性都比较强，要求学生的理性认识的能力也比较高，对于刚刚升入高中不久的学生来说不易理解。而且由于函数在高考中可以以低、中、高档题出现，所以近年来高考有一种“函数热”的趋势，所以本节的重点难点必然落在映射的概念和函数的近代定义及函数符号的理解与运用上。
二、教材的处理
将映射的定义及类比手法的运用作为本课突破难点的关键。 函数的定义，是以集合、映射的观点给出，这与初中教材变量值与对应观点给出不同了，从而给本身就很抽象的函数概念的理解带来更大的困难。为解决这个难点，主要是从实际出发调动学生的学习热情与参与意识，运用引导对比的手法，启发引导学生进行有目的的反复比较几个概念的异同，使学生真正对函数的概念有很准确的认识。
三、教学方法和学法
教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅。
依据是：因为以新的观点认识函数概念及函数符号与运用时，更重要的是必须给学生讲清楚概念及注意事项，并通过师生的共同讨论来帮助学生深刻理解，这样才能使函数的概念及符号的运用在学生的思想和知识结构中打上深刻的烙印，为学生能学好后面的知识打下坚实的基础。
四、教学程序
学 法：
〖课程导入〗
通过举以下一个通俗的例子引出通过某个对应法则可以将两个非空集合联系在一起。
例1，把高一（12）班和高一（11）全体同学分别看成是两个集合，问，通过“找好朋友”这个对应法则是否能将这两个集合的某些元素联系在一起？
〖新课讲授〗
1．接着再通过幻灯片给出六组学生熟悉的数集的对应关系引导学生总结归纳它们的共同性质（一对一，多对一），进而给出映射的概念，表示符号f：AB，及原像和像的定义。强调指出非空集合A到非空集合B的映射包括三部分即非空集合A、B和A到B的对应法则f。进一步引导学生总结判断一个从A到B的对应是否为映射的关键是看A中的任意一个元素通过对应法则f在B中是否有唯一确定的元素与之对应。
2．巩固练习课本52页第八题。
此练习能让学生更深刻的认识到映射可以“一对一，多对一”但不能是“一对多”。
例1，给出学生初中学过的函数的传统定义和几个简单的一次、二次函数，通过画图表示这些函数的对应关系，引导学生发现它们是特殊的映射，进而给出函数的近代定义（设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，使得A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应则这样的对应叫做集合A到集合B的映射，它包括非空集合A和B以及从A到B的对应法则f），并说明把函f：AB记为y＝f（x），其中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y［或f（x）］值叫做函数值，函数值的集合{f（x）：x∈A}叫做函数的值域。
并把函数的近代定义与映射定义比较使学生认识到函数与映射的区别与联系（函数是非空数集到非空数集的映射）。
再以让学生判断的方式给出以下关于函数近代定义的注意事项：
（1）函数是非空数集到非空数集的映射。
（2）f表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样。
（3）f（x）是一个符号，不表示f与x的乘积，而表示x经过f作用后的结果。
（4）集合A中的数的任意性，集合B中数的唯一性。
（5）“f：AB”表示一个函数有三要素：法则f（是核心），定义域A（要优先），值域C（上函数值的集合且C∈B）。
〖讲解例题〗
例1，问y＝1（x∈A）是不是函数？
解：y＝1可以化为y＝0•x＋1
画图可以知道从x的取值范围到y的取值范围的对应是“多对一”是从非空数集到非空数集的映射，所以它是函数。
［注］：引导学生从集合，映射的观点认识函数的定义。
〖课时小结〗
1．映射的定义。
2．函数的近代定义。
3．函数的三要素及符号的正确理解和应用。
4．函数近代定义的五大注意点。
高中数学导数的概念及意义篇（11）
导数概念是高等数学课程中的一个核心概念，是导数计算及应用的基础和前提.从一定程度上说，正确地处理好导数概念的教学直接关系到微分学乃至整个高等数学的教学效果.下面我就导数概念的教学，结合自己的教学实践经验谈自己的几点思考.
一、正确理解导数概念的地位与作用
导数的概念是高等数学的核心概念之一，它是从实践中抽象出来的，具有鲜明的实际意义、广泛的应用性和理论意义.导数概念的产生来源于实际问题，经典是例子是瞬时速度问题和切线问题，经过这两个例子的分析，抹去其实际背景，抽象其共同的数学结构，归纳出导数的概念，因而导数的概念既有实际背景意义又有抽象性.正因为其抽象性，决定了其应用的广泛性，它不仅可解决物理的瞬时速度问题和几何的切线问题，同时还可以解决大批类似的实际问题.正因为如此，才有必要从理论对导数的概念进行研究.导数的概念在高等数学中有十分重要的理论作用，它不仅是本章的求导和求微分的基础，同时也是导数应用的理论前提和理解积分概念的基础.
二、做好引例的设计，发挥引例的作用
导数概念来源于实际问题，其引例有很多，典型的引例有两个，一个是求物体在直线上运动的瞬时速度问题，另一个是求平面曲线在某点的切线问题.这两个问题分别由牛顿和莱布尼茨提出，都与微分学产生相关.那么如何把这两个引例的教学做好呢？重点是把教材的引例设计好，发挥引例的作用.对切线问题的引例可以这样设计：
第一，要明确问题，使问题简单明了.问题：已知函数y=f（x）及对应曲线C的图形，求曲线C在点M（x■，y■）（y■=f（x■））处的切线.
第二，要对问题进行细化，层层递进.要解决切线问题，一要说清为什么要讲这个问题；二要讲清如何求该切线.为此可以设计如下几个小问题：
通过以上例题，可以进一步加强学生对导数概念本质的理解.此外在设计利用导数定义计算导数的例题时，要围绕求基本初等函数的导数来进行，这样既可以加强导数计算步骤的理解，又可以向本章的核心问题的解决靠拢，为后面导出基本初等函数的导数公式和解决初等函数的导数问题做铺垫.
参考文献：
