高一数学知识大全11篇

高一数学知识篇（1）

高一数学必修1知识1集合的分类

(1)按元素属性分类，如点集，数集。

(2)按元素的个数多少，分为有/无限集

关于集合的概念：

(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。

(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。

(3)无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。

集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：

含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。

非负整数全体构成的集合，叫做自然数集，记作N;

在自然数集内排除0的集合叫做正整数集，记作N+或N-;

整数全体构成的集合，叫做整数集，记作Z;

有理数全体构成的集合，叫做有理数集，记作Q;(有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。)

实数全体构成的集合，叫做实数集，记作R。(包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。)

1.列举法：如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号“{｝”内表示这个集合，例如，由两个元素0，1构成的集合可表示为{0，1｝.

有些集合的元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不致于发生误解的情况下，也可以列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。

例如：不大于100的自然数的全体构成的集合，可表示为{0，1，2，3，…，100｝.

无限集有时也用上述的列举法表示，例如，自然数集N可表示为{1，2，3，…，n，…｝.

2.描述法：一种更有效地描述集合的方法，是用集合中元素的特征性质来描述。

例如：正偶数构成的集合，它的每一个元素都具有性质：“能被2整除，且大于0”

而这个集合外的其他元素都不具有这种性质，因此，我们可以用上述性质把正偶数集合表示为

{x∈R│x能被2整除，且大于0｝或{x∈R│x=2n，n∈N+｝，

大括号内竖线左边的X表示这个集合的任意一个元素，元素X从实数集合中取值，在竖线右边写出只有集合内的元素x才具有的性质。

一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都不具有的性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质。于是，集合A可以用它的性质p(x)描述为{x∈I│p(x)｝

它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的，这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法。

例如：集合A={x∈R│x2-1=0｝的特征是X2-1=0

高一数学必修1知识2一、集合有关概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：

1.元素的确定性;

2.元素的互异性;

3.元素的无序性

说明：

(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{…}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1.用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法：列举法与描述法。

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N-或N+整数集Z有理数集Q实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的'解集是{x?Rx-3>2}或{---3>2}

4、集合的分类：

1.有限集含有有限个元素的集合

2.无限集含有无限个元素的集合

3.空集不含任何元素的集合例：{--2=-5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={--2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

①任何一个集合是它本身的子集。AíA

②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果AíB,BíC,那么AíC

④如果AíB同时BíA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集

高一数学必修1知识3一、高中数学函数的有关概念

1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从函数A到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

注意：

函数定义域：能使函数式有意义的实数x的函数称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的函数.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

?相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)

2.高中数学函数值域:先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法

3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的函数C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.

(2)画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1)平移变换

2)伸缩变换

3)对称变换

4.高中数学函数区间的概念

(1)函数区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的函数，如果按某一个确定的对应法则f，使对于函数A中的任意一个元素x，在函数B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从函数A到函数B的一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象)B(象)”

对于映射f：AB来说，则应满足：

(1)函数A中的每一个元素，在函数B中都有象，并且象是的;

(2)函数A中不同的元素，在函数B中对应的象可以是同一个;

(3)不要求函数B中的每一个元素在函数A中都有原象。

6.高中数学函数之分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

高一数学知识篇（2）

1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。

4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。

5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。

6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

二、初高中数学教材与教学特点

（一）初高中数学教材特点：

1.初中教材是九年制义务教育用书，倡导全面提高学生素质，只要求学生了解的内容多；高中教材是信息大集中，能力大发展，大学内容多下放的指导用书，对培养学生能力提出了较高要求。

2.初中内容“浅、少、易”，与学生生活贴近，简单、具体形象；高中内容“起点高，容量多，难度大”，概括性、抽象性、逻辑性明显增强。

（二）初中数学教学特点：

1.从直观、形象、具体事例出发，概括出一般结论，然后师讲解典型例题，学生反复练习，直至掌握为止；

2.教师牵着学生走，教师怎么教，学生怎么学，学生缺乏自主性，缺乏自学能力；

3.学生上课或听、或思、或练，不会边听边做笔记，更不会自我归纳、总结；

4.学生思维单一、解题缺乏严密的逻辑性，推理能力差，尤其对代数中字母的可变性缺乏理解，分类讨论的纯粹性，完备性把握不够。

（三）高中数学教学特点：

1.从特殊到一般，抽象性，概括性强；

2.教师注重数学思想方法教学，要求学生举一反三，从典型例题中悟出一般解题规律，在理解的基础上形成解题技能；

3.教师引导学生自学，让学生逐步养成独立思考，自我总结的良好习惯；

4.要求学生上课必须手脑并用，学会边听边做笔记，养成错题自觉正误的良好习惯；

5.要求学生思维广阔，考虑问题全面、深刻，全方位，多角度思考问题，善于从不同角度挖掘出问题的实质；

6.注重严密逻辑推理，知识的深度、广度、难度、综合性明显加大。

三、处理好“教材衔接”的几点措施

1.编好、用好“衔接教材”，为学生顺利进入高中数学知识的学习扫清障碍

针对初高中教材内容差异，市教科院已编写一本初高中数学“衔接教材”，并对何时补充什么内容作了安排。通过对“代数部分”一章的使用，学生初中基础知识得到进一步巩固，对高中教材适应力较上届明显增强。

2.低起点、小步子、缓坡度、稳进度；夯实基础，降低难度，逐步提升

在进行集合的基本概念，子、交、并、补的概念与性质教学后，我们补充了“乘法公式”一节，“因式分解”两节。在上“一元二次不等式解法”之前，补充“一元二次方程的根与系数的关系”“含参数的一元二次方程根的分布”各两课时，然后对含参数的一元二次不等式解法，一元二次方程、不等式与二次函数间的相互转化进行适当拓宽，并将集合知识运用到不等式中，逐步提升学生粗象、概括能力，培养学生转化、化归意识。

3.适时进行学法指导，培养学生良好学习习惯

教师在上课时，重点内容要指导学生做笔记、要求学生错题及时改正，揭示解题规律与方法，并小结应注意的问题，培养学生上课积极思考问题，作业独立完成，以及解后反思，章末小结的良好学习品质。

4.教师上课教态应和谒，讲授基本概念与方法须耐心、细致，切忌急躁、冒进

初中学生都是带着一种好奇与向往之心来到高中的。他们即使基础较差，但都渴望在高中阶段取得理想成绩。如果教师一开始讲授过快，过难，多数学生会跟不上，学生满腔的热情可能会因几次课听不懂，几次考试成绩不佳而降到“冰点”。因此，教师除“低起点，小步子”进行教学外，还应及时了解学生，多与学生沟通，正面鼓励学生，耐心、细致地为学生讲清基础知识与方法。

5.进行题型归纳，加强规范训练，注重知识落实

如上完“函数单调性”新课后，利用单调性定义判断、证明函数单调性应进行专题训练，掌握其基本步骤，再补充“复合函数单调性的判断与证明”、“闭区间上二次函数最值求法”、“粗象函数问题”三个专题，让学生掌握函数单调性典型例题与解法。

高一数学知识篇（3）

1问题的提出

范良火先生的博士论文《教师教学知识发展研究》通过定量的方法(问卷调查)和定性的方法(课堂观察和面谈)研究了“教师是如何羡展他们的教学知识”这一问题.最后得出的研究结论是:数学教师的教学知识主要来源于教师“自身的教学经验与反思”以及教}种和同事的日常交流”.至于当学生时的经历，特别是职前培训则是最不重要的来源.考虑到范良火先生的博士论文的研究样本是来自美国芝加哥地区最好的25所中学，而中国的国情，包括学校教育，尤其是教师培养的体系和教师发展的坏境与美国相比，既有共同之处也有显著的差异，因此国内数学教师究竟怎样发展自身的教学知识，需要专门的研究.本文拟从一节高中数学课出发，管窥国内高中数学教师是如何发展他们的教学知识的?更具体地说，本文旨在通过一节高中数学课透视以下两个问题:

(1)高中数学教师的教学知识是否存在着不同的来源?

(2)不同的来源对高中数学教师教学知识的发展的相对作用有多大?

本文对“教学知识”的界定直接借用文中的观点，即教学知识是指教师具有的怎样进行数学教学的知识，它包括3部分内容:教学的课程知识、教学的内容知识、教学的方法知识.对这3部分知识的进一步解释会在后文阐述.

2研究方法

2.1研究对象

从乌鲁木齐市八中的21名高中数学教师中随机选取了一名教师(隐去真实姓名)，不妨称为教师L.教师L的背景情况如下所示:男，31岁，教龄8年，陕西师范大学本科毕业.

2.2研究工具

主要通过一节高中数学课的课堂听课和听课后的面谈收集数据资料.所听的这节课是高二立体几何九(B)版本的内容，课题名称为“用法向量求空间线面角”.随后的面谈安排在听课后第二天进行.之所以选择课堂听课和课后面谈收集数据和资料，是因为数学教师的教学知识是“情景化的”、“隐性的”，它经常依赖于特定的时间、地点和情景，而缺乏像数学、物理等知识的显性特征，只有在实际的课堂教学氛围中，教师的教学知识才能反映和显现出来.通过课堂听课去发现教师具有什么样的教学知识，而通过课后面谈去证实教师是否具有通过课堂听课所发现的教学知识以及相应的来源.

2.3数据的收集与整理

对被听的这节课除了现场进行课堂记录以外，还对整节课进行了摄像并全部整理成文字材料.课后的面谈全部进行了录音并同样整理成文字材料.教师L上的这节课的教学设计主要环节如下:

(1)课题引入:正方体AC1中，E是棱BC的中点，求直线B1E与平面B1D1C所成的角(见图1).

(2)新知探究:如何用法向量求直线与平面所成的角?

(3)例题分析.

例1正方体AC，的棱长是2; E， F分别是棱BC， CD的中点，建立适当的坐标系，分别写出下面各平面的一个法向量坐标.

①ABCD;②BDD1B1;③ACC1A1;④A1B1CD;⑤B1D1C1;⑥EFC1

例2正方体AC1中，E. F分别是棱BC. CD的中点.

①求B1E与平面B1D1C所成的角.

②求B1E与平面B1C1F所成的角.

例3已知矩形ABCD. PD平面ABCD. PD=AD， AB= ， E为CD中点，F为PB中点.

①求证PB平面AEF.

②求直线AC与平面AEF所成的角.

3研究过程与结论

如前所述数学教师的教学知识包括3部分内容;教学的课程知识、教学的内容知识、教学的方法知识，下面就从教师L上的“用法向量求空间线面角”这节课调查其具有的这3方面的教学知识的不同来源及每种来源的相对重要性.

(1)高中数学教师关于教学的课程知识的不同来源及每种来源的相对重要性.

数学教师具有的教学课程知识主要是关于数学教科书、教学辅导用书以及关于计算机(器)与投影仪等方面的知识.具体地说，是指数学教师具有的关于数学教科书、辅导用书、计算机(器)和投影仪等本身的知识，以及如何使用这些材料和设备进行数学教学的知识.例如教师自身具有的关于如何使用计算机的知识和如何运用计算机进行数学教学的知识均属于教学的课程知识.

下面是与教师L关于教学的课程知识方面的谈话记录

问:你上的这节课课题是“用法向量求空间线面角”，这节内容教材中并没有，你自已是如何获知关于“用法向量求空间线面角”的知识的?

答:商中立体几何九(B)教科书中只简单地介绍了法向量的概禽，并没有编排法向量在求空间方方面的应用.我是布一次教姚部分内容，自己也不太熟尾，主妥是与办公室的另一位老师交流后才恨恨热尾的，同时也体会到法向量在求空间3类渐方面的优越性.这七立老师今年是布二次教这部分内容.

问:那你与这位老师经常交流吗?

答:那倒没有，只是在有问题时才交流，因为平时大家都挺忙的，

问:刚才你说法向量在求空间3类角时很有优越性，你是如何认识到这一点的呢?

答:自已做题时的体会.以前一般是用定义法求空间角，而现在通过解题发现用法向量确实比较简单，

从以上谈话可以看出，教师L对他所教的这节课本身的知识主要来源于他“与同事的交流”和“自己的解题体会”，注意到空间向量的知识在大学“空间解析几何”课程中学过，因此，我们设计了下面的问题考查大学的专业课学习是否对他关于本节课的知识有影响.

问:在大学期间有一门基础数学课租“空间解析几何”，其中有关于空间向量的知识，这些知识对你上这节课有帮助吗?

答:当然有帮助，尽管有些知识我已经忘记了，但还是对一些基础的知识有印象，

注意到教师L在本节课中还使用了计算机和投影仪，所以下面的谈话围绕这方面展开.

问:你在上这节课运用了计算机和投影仪，你是如何获 知关于计算和投影仪的使用方法方面的知识的?

答:主要靠自己摸索，当然在继续教育培训中也开设了计算机方面的课程.

问:但你这节课做图用的是“几何画板”工具，关于“几何画板”方面的知识也是在继续教育中学到的吗?

答:不是，继续教育培训中只讲常用软件的使用方法，比如文字处理、幻灯片的制作，等待，“几何画板”是数学方面的专门作图软件，我是跟一个老师学了一些基本的操作知识，后来在上课用它作图时，边请教边自己琢磨，用得多了，也就熟了。

可以看出，教师L关于电脑方面的知识主要是通过与同事的交流、自学和继续教育培训中获得的.为了考查这位教师关于本节课教学的课程知识是否还存在其它的来源，我们设计了如下的谈话.

问:除了自学、与同事的交流、自己的解题实践以及继续教育培训、大学期间的专业学习等途径以外，是否泛有其他的途径，比如你当中小学学生时的经脸、数学教研组和市教研中心的教研活动也对你增进有关法向量和计算机操作方面的知识有帮助?

答:我当中小学学生时，根本没学向量知识，也没见过计算机，数学教研组和市教研中心的教研活动也很少交流这方面的知识.

问:为什么数学教研组和市教研中心的教研活动也很少交流这方面的知识？

答:活动流于形式，多是本务性工作，没有实质性内容.

下面是教师L对上面提到的对5种不同来源作用性大小的排序.作用最大的是自学和自己的教学实践;作用第二的是与同事的交流;作用第三的是大学期间的专业课学习;作用第四的是继续教育培训.

通过课堂听课和面谈资料，可以得出下面的结论:这位高中数学教师其关于教学的课程知识存在着5种不同的来源，这5种来源按作用从大到小依次为自学、自己的教学实践、与同事的交流、大学期间的专业课学习、继续教育培训，

(2)高中数学教师关于教学的内容知识的不同来源及每种来源的相对重要性.

教学的内容知识是关于教学某一具体内容的方式或方法的知识，具体地说，是指教学某一特定内容时，有多少有效或不太有效的方式?这些方式是什么?这些方式有什么优缺点?学生在理解某一特定数学概念时，可能会有哪些困难?有什么较为容易的方式让学生掌握?这些均属于数学教师具有的教学的内容知识.

注意到教师L在这节课的教学过程中，首先用了一个在正方体中不易用定义法求线面角的问题引入课题，同时还用地面上的“小草”比喻法向量，另外教师还一再对学生强调要正确计算法向量的坐标，因此下面的面谈主要围绕这些教学的内容知识展开.

问:你在讲授用法向量求线面角的方法时没有直接讲授新课，而是用了一个问题设疑引入，你这样引入课题的目的是什么?

答:是为了使学生体会到用法向量求线面角的优越性.你可以看到我给出的这个正方体中的线面角用定义法是非常难求的.

问:你是怎么得知用这样一个问题就可以使学生体会到用法向量求线面角的优越性?或者说你选择的这个问题是自己想到的呢?还是从其他的同事那里得知的?

答:我在备课时就趁一定要让学生体会到法向量的优越性，因此我就试着去编制这样一个问题.换言之，没有人告诉我用这样一个问题可以使学生体会到法向量的优越性，是我自己想出来的.

问:我注意到你用了一个比喻去形容法向量，即法向量就象地面上的小草一样，里立地长，有长有短，有很多.用小草去比喻法向量的方法是你从哪里学来的呢?

答:也是我自己想到的.我经常琢磨如何通俗易懂、形象直观地讲解教学，况且法向量的内容大家都是才开始接触，也不可能有人告诉我如何去教.

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问:这节课对学生而言最难的是什么?

答:当然是用待定坐标法计算法向量的坐标.

问:你怎么知道对学生而言计算法向量的坐标是最难的?

答:自己的教学经验.因为学生解题经常出现“一看就会，一做就错”，其中有相当一部分是因为计算错误.

从以上面谈资料可以看出，这位教师关于教学的内容知识主要来源于自己的琢磨和思考以及自己的教学经验.其实从这节课的内容而言，这一结论是可以理解的.因为是新内容，大家都不太熟悉，所以与同事交流的作用不大.当然由此也反映出对新教材的培训工作严重滞后或流于形式.

(3)高中数学教师关于教学的方法知识的不同来源及每种来源的相对重要性.

教学的方法知识是关于一般教学策略和课堂组织模式等方面的知识，也称为“一般教学法知识”，即教师关于一般教学过程，诸如有效的教学策略、课堂常规、行为管理模式、课堂组织过程、以及激励技能等方面的知识.例如，什么是合作学习以及如何在课堂中运用合作学习进行数学教学就是数学教师具有的教学的方法知识.它显然超越于学科之上.

注意到这位教师在这节课中运用了“问题引课、一问一答、让学生板演练习、小步子层层递进、追问结论与方法的缘由”等一般教学策略和课堂组织模式，因此下面的面谈主要就这些方法的来源展开.

问:这节课你是通过一个有挑战性的问题引入课题的，你经常这样做吗?

答:是的，因为问题是数学的心脏，是教学的发动机.

问:你是从哪里学到这种引课方式的?

答:有经验的老师都这样做，我是跟他们学的.

问:注意到你本节课一共提问了8位学生，为什么这么频繁地提问，而且是一问一答?

答:通过一问一答可以暴露学生的思维，可以发现问题的所在.

问:你是如何获知“一问一答”这种提问方式的?

答:现在都提倡“一问一答”，不提倡满堂灌，许多老师都这样做.我上大学时的教学教学法课也讲过谈话法，学校领导开会也经常说不能满堂灌.

问:你本节课用的3道例题，由易到难，一步一个台阶，这种“小步子“循序渐进”的教学方法你经常用吗?你是从哪里获知这种教学方法的?

答:是的，经常使用.从哪里获知的?应该是自已的教学经验吧.

另外，还通过面谈考查了这位教师使用的“让学生板演练习”和“追问结论与方法的缘由”这些教学方式的来源，得到的回答分别是“自己当学生时老师就这样做”和“自己的教学反思和实践”

当被问及以上不同来源的相对重要性时，这位教师给出的重要性从大到小的排序依次是:自己的教学反思和实践、与同事的交流、大学数学教学法的培训、自己当中小学学生时的经验.

从这节课的课堂听课和课后面谈反映出这位教师关于教学的方法知识存在着4种不同的来源，其相对重要性从大到小的依次是:自己的教学反思和实践、与同事的交流、大学数学教学法的培训、自己当中小学学生时的经验.

注意到数学教学法的学习被排在第三重要的位置，说明职前教育培训对增进数学教师教学的方法知识还是有一定的作用.

4几点思考

(1)在新课程实施过程中，高中数学教师遇到很多挑战.比如对向量、概率统计、极限与导数等内容不熟，以及如何深入浅出地讲授这些内容心里没底，这反映出新课程背景下教师具有的教学课程知识和教学的内容知识均有待提高.因此如何发挥继续教育培训的作用，使得高中数学教师能真正受益是一个值得深思的问题.因为本文的研究结果表明，高中数学教师在面临新教材的教学时，更多地是依赖于自学和教学经验，而继续教育培训并没有发挥应有的作用.

高一数学知识篇（4）

二、初三学生在接受高一数学知识时存在的问题

（一）在教材内容方面存在的问题

与初三的教材内容相比较来看，高一的数学教材内容更加抽象，多是对于变量的研究，在计算和理论研究方面的知识涉及较多，对学生的抽象思维能力和联想能力的要求比较高。同时，知识体系发生了变动，使得数学学科的知识点难度加大，习题量变得繁重复杂，解题也更加注重于技巧性。虽然我国在教育改革中对初高中教材的难度都有所降低，但是相比较来看初中数学教材降低的程度较大，高中生由于受高考的影响即使教材中的内容难度降低，教师还是会对学生进行拓展训练，使得高中的习题难度依然较大，也因此导致了初三学生在接受高一数学课程时显得十分吃力。

（二）在教学形式方面存在的问题

初中数学学科的学习在课程安排上学习内容相对较少，教师的教学进度缓慢，能够有时间对教材中的重点难题或者学生掌握不好的知识进行反复的讲解和练习。而高中则不同，高中由于涉及到的学科增多，因此各学科在一周中所占的课程数量较少，而教学内容又相对较多，因此高中教师通常会提高教课的速度从而使知识点能够全部讲解完毕，对于教材中的重难点和学生掌握薄弱之处也没有时间进行反复的强调，使得刚刚从初三升到高一的学生短时间内不能够良好的适应这种教学形式上的转变，对高中数学的学习产生了不利影响。

（三）在学习方法方面存在的问题

初中学生通常对教师的依赖性较强，习惯于跟着老师学，不善于进行自己的独立思考和分析研究，对课程的重点和考试的要点通常也都是教师归纳完毕后交给学生的，使学生的总结归纳能力得不到训练，进入高一学习之后，由于高中的学习任务繁重，而教师对学生在学习方法方面的管理较少，使得学生普遍有些应付不来，有些学生只能完成当天的作业量，而忽视了预习、复习等环节，使初三学生在高一数学学习时的压力增加。

三、让初三学生在无痕中接受高一数学基础知识

（一）教师注重入学教育，帮助学生进行心理过渡

初三学生在经过中考后到?_高中之后，将会信心满满的对待这个新的开始，但是高中数学学习中一开始接触到的集合与函数等问题将会使学生突然感到压力倍增，从而产生紧张恐惧的心理。这时就需要教师在中间发挥调节的作用，积极做好学生的入学教育，帮助学生顺利完成初中到高中的心理过渡。例如，在面对学生的紧张恐惧情绪时，高中数学教师应加强与学生之间的沟通和交流，可以利用课余时间或者课堂的最后几分钟让学生之间互相谈一谈对于高一数学中函数部分知识学习的心得和体会，传授学生一些学习函数的小方法、小窍门等，并且对于学生在函数以及因式分解等方面的疑问，应给予耐心详细的解答。教师在课后可以寻找有关函数方面的典型例题，与同学共同思考解答，锻炼学生的数学思维。经常鼓励学生，帮助学生找回自信心，缓解紧张和焦虑的心情，树立正确的学习目标，从而使其能够以健康良好的心态对待高一数学学科的学习。

（二）以“函数”方面知识为例

由于学生是刚由初三升到高一，对于初中的学习方式和知识结构比较熟悉，因此为了能够让学生更好的适应高中教材，教师应做好初高中教材课程的衔接研究，将高中教材初中化，才能够更好的让初三学生接受高一知识。初中的课堂比较生动灵活，而部分高中的教学课堂而过于规范严谨，因此教师要在教学过程中进行教学情境的设立，使数学课堂充满活力。例如，在学习有关函数的知识时，教师说：“生活中的许多地方都能够运用到函数。比如商场的促销活动，购买3只以上的茶壶则能够享受买一送一（即买一只茶壶送一个茶杯）或者打九折的优惠活动，已知每个茶壶20元，每个茶杯5元，若想获得最大的实惠，则哪种优惠方法更加合算呢？”学生对教师所说的生活相关内容十分感兴趣，纷纷跟上教师的思路，开始进行函数的学习。

（三）以“因式分解”知识为例

高一数学知识篇（5）

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：n，z，q，r，n*

2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b);

2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或 ，且 )

3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b}

4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b}

5)补集：cua={x| x a但x∈u}

注意：①? a，若a≠?，则? a ;

②若 ， ，则 ;

③若 且 ，则a=b(等集)

3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与 、?的区别;(2) 与 的区别;(3) 与 的区别。

4.有关子集的几个等价关系

①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub;

④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。

5.交、并集运算的性质

①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a;

③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub;

6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

二.例题讲解：

【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系

a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n∈z}

对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数，所以m n=p，故选b。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：m={…， ，…}，n={…， , , ，…}，p={…， , ，…}，这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

= ∈n， ∈n，∴m n，又 = m，∴m n，

= p，∴n p 又 ∈n，∴p n，故p=n，所以选b。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合 ， ，则( b )

a.m=n b.m n c.n m d.

解：

当 时，2k+1是奇数，k+2是整数，选b

【例2】定义集合a*b={x|x∈a且x b}，若a={1,3,5,7},b={2,3,5}，则a*b的子集个数为

a)1 b)2 c)3 d)4

分析：确定集合a*b子集的个数，首先要确定元素的个数，然后再利用公式：集合a={a1，a2，…，an}有子集2n个来求解。

解答：a*b={x|x∈a且x b}， ∴a*b={1,7}，有两个元素，故a*b的子集共有22个。选d。

变式1：已知非空集合m {1,2,3,4,5}，且若a∈m，则6?a∈m，那么集合m的个数为

a)5个 b)6个 c)7个 d)8个

变式2：已知{a,b} a {a,b,c,d,e},求集合a.

解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

集合a可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

评析 本题集合a的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以共有 个 .

【例3】已知集合a={x|x2+px+q=0},b={x|x2?4x+r=0},且a∩b={1},a∪b={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：a∩b={1} ∴1∈b ∴12?4×1+r=0,r=3.

∴b={x|x2?4x+r=0}={1,3}, a∪b={?2,1,3},?2 b, ∴?2∈a

a∩b={1} ∴1∈a ∴方程x2+px+q=0的两根为-2和1，

∴ ∴

变式：已知集合a={x|x2+bx+c=0},b={x|x2+mx+6=0},且a∩b={2},a∪b=b，求实数b,c,m的值.

解：a∩b={2} ∴1∈b ∴22+m?2+6=0,m=-5

∴b={x|x2-5x+6=0}={2,3} a∪b=b ∴

又 a∩b={2} ∴a={2} ∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合a={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合b满足：a∪b={x|x>-2}，且a∩b={x|1

分析：先化简集合a，然后由a∪b和a∩b分别确定数轴上哪些元素属于b，哪些元素不属于b。

解答：a={x|-21}。由a∩b={x|1-2}可知[-1,1] b，而(-∞,-2)∩b=ф。

综合以上各式有b={x|-1≤x≤5}

变式1：若a={x|x3+2x2-8x>0}，b={x|x2+ax+b≤0},已知a∪b={x|x>-4}，a∩b=φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

点评：在解有关不等式解集一类集合问题，应注意用数形结合的方法，作出数轴来解之。

变式2：设m={x|x2-2x-3=0},n={x|ax-1=0}，若m∩n=n，求所有满足条件的a的集合。

解答：m={-1,3} , m∩n=n, ∴n m

①当 时，ax-1=0无解，∴a=0 ②

综①②得：所求集合为{-1，0， }

【例5】已知集合 ，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为q，若p∩q≠φ，求实数a的取值范围。

分析：先将原问题转化为不等式ax2-2x+2>0在 有解，再利用参数分离求解。

解答：(1)若 ， 在 内有有解

令 当 时，

所以a>-4,所以a的取值范围是

变式：若关于x的方程 有实根,求实数a的取值范围。

解答：

点评：解决含参数问题的题目，一般要进行分类讨论，但并不是所有的问题都要讨论，怎样可以避免讨论是我们思考此类问题的关键。

三.随堂演练

选择题

1. 下列八个关系式①{0}= ② =0 ③ { } ④ { } ⑤{0}

⑥0 ⑦ {0} ⑧ { }其中正确的个数

(a)4 (b)5 (c)6 (d)7

2.集合{1，2，3}的真子集共有

(a)5个 (b)6个 (c)7个 (d)8个

3.集合a={x } b={ } c={ }又 则有

(a)(a+b) a (b) (a+b) b (c)(a+b) c (d) (a+b) a、b、c任一个

4.设a、b是全集u的两个子集，且a b，则下列式子成立的是

(a)cua cub (b)cua cub=u

(c)a cub= (d)cua b=

5.已知集合a={ }， b={ }则a =

(a)r (b){ }

(c){ } (d){ }

6.下列语句：(1)0与{0}表示同一个集合; (2)由1，2，3组成的集合可表示为

{1，2，3}或{3，2，1}; (3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为 {1，1，2}; (4)集合{ }是有限集，正确的是

(a)只有(1)和(4) (b)只有(2)和(3)

(c)只有(2) (d)以上语句都不对

7.设s、t是两个非空集合，且s t，t s，令x=s 那么s∪x=

(a)x (b)t (c)φ (d)s

8设一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判别式 ，则不等式ax2+bx+c 0的解集为

(a)r (b) (c){ } (d){ }

填空题

9.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为

10.若a={1,4,x},b={1,x2}且a b=b，则x=

11.若a={x } b={x },全集u=r，则a =

12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有两个负根，则k的取值范围是

13设集合a={ },b={x },且a b，则实数k的取值范围是。

14.设全集u={x 为小于20的非负奇数}，若a (cub)={3，7，15}，(cua) b={13，17，19}，又(cua) (cub)= ，则a b=

解答题

15(8分)已知集合a={a2,a+1,-3},b={a-3,2a-1,a2+1}, 若a b={-3}，求实数a。

16(12分)设a= ， b= ，

其中x r,如果a b=b，求实数a的取值范围。

四.习题答案

选择题

1 2 3 4 5 6 7 8

c c b c b c d d

填空题

9.{(x,y) } 10.0, 11.{x ,或x 3} 12.{ } 13.{ } 14.{1,5,9,11}

解答题

15.a=-1

16.提示：a={0，-4}，又a b=b，所以b a

(ⅰ)b= 时， 4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1

高一数学知识篇（6）

随着新课标的推广，“自主”逐步成为新时期高中生学习的主要方式。高中数学教学也不例外，其主张打破传统高中生过度依赖教师的学习方式，自主学习和探究有关的数学知识，有助于增学习效果。而类比推理作为一种重要的数学思想和方法，有助于提升高中生理解和解决数学问题的能力，值得高中生自主学习和掌握。因此，对于类比推理在高中生数学学习中的应用进行探讨具有重要意义。

一、巧用类比推理，整合分散知识

高中数学教学过程中所涉及的数学知识量比较大，且大多数的数学知识是分散存在的。高中生在学习数学知识的时候，如果没有系统地整合这些分散的数学知识，或者只是按照教材的编排顺序来学习，势必无法确保所学数学知识体系的完善性，很容易混淆所学的有关数学知识点。实际上，高中数学学科各章节的数学知识点并非独立存在的，他们之间具有很强的系统性和联系性，所以为了提升数学学习效果，必须要加强这些分散的数学知识的整合力度，在充分理解有关数学知识的基础上去整合和消化这些数学知识。但是单纯地依靠死记硬背是远远不够的。如果可以选用类比推理方法，对有关的高中数学学科知识进行细致划分和归类处理，这样就有利于整合处理和分析有关的数学知识。与此同时，如果死记硬背有关的数学知识，那么很容易产生思维定势，影响实际的学习效果。通过合理运用类比推理思想，可以在潜移默化中学习有关的数学知识，可以极大地增强学习效果。

例如，在学习“向量”这部分数学知识的过程中，高中生常常将空间向量、平面向量以及共线向量等相关数学概念混淆，更无法充分把握这些向量之间的内在联系，进而会影响实际学习的效果。而此时，如果在学习该部分数学知识的时候合理引入类比推理数学思想，那么高中生就可以在灵活掌握共线向量等相关知识的基础上，将该部分数学知识推广到平面向量部分知识学习中，进而可以推广到空间向量的数学知识学习中来，从而借助环环推进的学习方式在最短的时间内学习和掌握这些相关向量知识及它们之间的内在联系，有助于为灵活运用这些数学知识解决实际问题奠定扎实基础。

二、巧用类比推理，开展自主学习

随着新课标的推进和普及，传统被动的知识学习模式已经无法满足新时期高中生学习的需求。为了满足新时期高中数学学习需求，高中生必须要增强自身在学习过程中的自主性和能动性，充分发挥自主探索和学习数学知识的能力，更好地掌握有关的数学知识。如果此时可以合理运用类比推理数学思想来开展数学知识学习，那么可以大大增强学习的自主性，有助于高中生自主观察和学习有关的数学知识，深入挖掘数学知识的内在本质，大大增强学习数学知识的效果。

例如，在学习“等比数列”部分数学知识的时候，高中生已经学习过等差数列方面的数学知识，此时可以借助类比推理数学思想来自学该部分的数学知识。通过类比等比数列和等差数列二者的定义、数学表示、通项公式以及公式推理方法等数学知识来归纳和总结必要的数学知识。如此一来，通过该种类比推理方式，可以帮助高中生充分认识到等比数列的特殊性，即其中任意一项和公比均不可为零，有助于使高中生充分体会到数学知识的联系性，可以提高高中生灵活运用所学数学知识的能力。

三、巧用类比推理，深化解题思想

在学习高中数学知识的过程中，除了可以借助类比推理数学思想来整合数学知识和开展自主学习之外，同样可以借其来深化解题思想，这不仅有助于高中生提升解决有关数学问题的能力，同时也可以进一步在此过程中培养和提升创新能力和探究能力，深化对于有关数学解题思想的认识。因此，在实际的数学问题求解的过程中，高中生需要注意借助类比推理数学思想来合理对比有关的解题要点，明确不同数学问题求解的异同点，以便可以快速找到解决有关数学问题的突破点和解题方法，从而可以不断提升解题能力，更好地学习和运用有关数学知识。

总之，类比推理思想的合理应用，可以帮助高中生通过对比各种数学知识来更好地整合和掌握数学知识，尤其是可以将某些繁杂、抽象的数学知识简单化、形象化，将大大提升学习数学知识的效果。

高一数学知识篇（7）

数学是最早作为学科知识进行传授的课程之一，它的专业性和重要地位不容置疑。专业化的课程需要专业化的教育，专业化的教育呼唤专业化的教师，教师需要有什么样的知识结构成为教师专业发展的主题。教师的知识结构的形成是一个渐进的过程，学科教学知识是教师的知识结构的核心。本文拟从作者从事高职高专数学教学的体会出发，探讨数学教师学科教学知识的建构。.

一、学科教学知识的地位

1986年美国斯坦福大学(stanforduniversityusa)的舒尔曼(leeshulman)提出了教学是一种专业的教育理念。就是说教师不仅是某一学科的专家，而且是教育的专家，具有像医生、律师一样的专业不可替代性。1986年，美国卡内基教育和经济论坛、霍姆斯小组相继发表了《以21世纪的教师装备起来的国家》和《明天的教师》两个报告，这两个报告同时提出以教师的专业发展作为教师教育改革的目标，中心思想在于在教师队伍中确立等同于医师、律师的“专业性”。在我国，1993年10月31日通过，1994年1月1日正式施行的《中华人民共和国教师法》“总则”第三条明确规定:“教师是履行教育教学职责的专业人员，承担教书育人，培养社会主义事业建设者和接班人、提高民族素质的使命。Www.133229.CoM"第一次在法律上确认了教师的专业地位。

所谓教师职业专业化，是指一个个体成为教师职业群体的合格成员并且素质越来越高技能越来越娴熟的转变过程。教师作为一门专业，教师职业没有确定的标准是造成教师社会地位不如医师和律师高的重要原因之一，教师也应该像医师和律师一样要有其自身的专业规范，教师也应该像医师和律师一样有其专业不可替代性。教师职业专业化需要哪些专业知识?这是值得我们进一步进行探讨的。

长期以来，人们认为“长者即教师”，“学者即教师”，“教师即文化知识的传播者”，这都是只将教师视为学习的资源，知识的供应商，认为只要有学科专业知识就可以当教师了，而忽视了成为教师的另外一个重要条件即要具有一定的教育理论知识和教学实践知识，学科教学知识就是其重要的部分。这种特定的知识成为一种专业化要求之后，教师职业成为一门专业就成了历史的必然。事实表明“一个人可以是一名杰出的学者，同时却是个糟糕透顶的老师”。教师与其他专业人员不同的是，教师具有“双专业性”，即作为一名教师不仅需要知道“教什么”即掌握所教学科的专业知识，而且需要知道“怎样教”即掌握教育科学专业知识。这两方面知识都必不可少，某种意义上讲后者比前者更重要。后者也是教师与学者的区别所在。舒尔曼提出教师的知识结构由学科知识、课程知识和学科教学知识组成。并把学科教学知识描述为“最有用的知识代表形式;最强大的类推、阐述、示范和解释”。从实际结果来看，一名专业化程度高的教师，其专业知识结构应当由学科专业知识、一般教育专业知识和学科教学知识等几方面的知识所组成。刘清华认为学科教学知识对教师的课堂行为影响最大，处于教师知识结构的重心。

二、数学教学知识的内涵

数学教学知识是数学教师怎样进行数学教学的相关知识。范良火指出数学教师的数学教学知识应包括(1)教学的课程知识—关于包括技术在内的教学材料和资源的知识;(2)教学的内容知识—关于表达数学概念和过程的方式的知识;(3)教学的方法知识—关于教学策略和课堂组织模式的知识。根据舒尔曼的说法，教学的内容知识是指“对于一个人的学科领域中最一般地要教授的内容，表达那些概念的最有用的形式，最有效的比喻、说明、例子、解释以及示范—一句话就是使人易于懂得该学科内容的表达和阐述方式”。

技术领域的课程更新很快，比如计算机课程。似乎数学是个例外，几十年来没有太大的改变。高等数学(微积分、线性代数)创立于18~19世纪，己有二百多年的历史。多年来该课程没有太大的变化，但数学的专业知识并不能替代数学的教学课程知识。作为专业的高等数学知识和作为应用的高等数学知识有很大的区别，专业数学课程注重理论体系的建立和逻辑论证，高职高专数学课程是以高等数学知识为载体传授高等数学的基本思想方法及应用，比如极限的思想就是贯穿高等数学的始终，定积分中的元素法提供了解某一类应用问题的方法。作为专业的数学教师，要掌握作为应用的高等数学知识的结构，分清哪些是学习的重点和难点，熟悉定理和习题涵盖的知识点及各知识点的前后联系，了解教材中数学知识的应用，更重要的是要.通过数学知识来传授数学的逻辑思维方法。数学教师大都是数学专业毕业的，理论知识强，应用知识弱，因此，学习相关的应用科学知识是数学教师专业发展的必然。

数学具有其独特的语言和符号，数学语言的高度概括和抽象，是数学魅力所在也是学习数学的困难所在。高等数学的强逻辑性和抽象性对数学教师的教学方法提出了更高的要求。怎样培养学生的数学学习兴趣、调动学生学习数学的积极性，怎样与学生进行双向交流、鼓励他们克服数学学习上的困难是对专业数学教师的教学方法要求。数学基本概念是对数学思想的总结和沉淀，而数学思想和方法正是数学学习的灵魂所在。数学概念的抽象和形成往往是相当困难的，有些甚至经历成百上千年的漫长过程，函数就是一个典型例子。伽利略的著作中有一点点函数的影子，但直到1673年才由莱布尼兹首次提出，今天的教科书上函数的定义又经过了达朗贝尔、欧拉、柯西等凡代数学家的不断演化。极限概念、定积分的概念也是如此。

三、数学教师的教学知识形成

目前我国高等师范院校数学土业的课程设置普遍存在的突出矛盾是“专业课程所占比重太大，教育学、心理学、数学教学法等教育专业课程比重太小”，下表是某师范学院数学专业的教学计划。

从表1中可以看出，数学专业教育课程占60.1%，教育学课程占13.5%。我国大学数学专业的主要教学内容是数学专业知识，教育专业课程的比例很低，与发达国家相比差距很大，如英国为35%德国为30%。教育实习时间很短，只有六周，而且学生一毕业就能上讲台讲课。而一般医学院学生的实习期是一年，毕业一年后才能考医师资格证。由此可见，作为“怎样教”的教育科学专业知识在大学学习过程中所学甚微。

不仅如此，长期以来，数学教师的专业发展是一个“自然成熟”的过程，成长的途径单一。数学教师一般是从大学毕业的校门直接走上讲台上课，他们大多有扎实的数学专业知识，但数学教学的课程知识以及教学的内容知识十分欠缺，教学的方法知识也处于纸上谈兵的阶段，短暂的教育实习没有给他们多少帮助。教学伊始，数学教师不知道教学过程中应该发展哪些知识?怎样发展他的知识?繁重的教学任务使得数学教师只来得及熟悉教材和做习题，作为专业数学教师的数学学科的教学知识来源全凭教师个人“孤军奋战”，来自教师专业的专业指导和培训对新教师而言几乎为零。新教师经过凡年甚至十几年的自我磨砺逐渐成长，时间虽长，但仍有个别教师无法成为合格的数学教师。数学学科的教学知识形成是一个渐进的过程，需要教师在教学实践中不断地学习研究，总结提高。对于专业数学教师，我们目前的在职进修仍以学历进修为主，也就是以数学专业知识为主，造成教师专业成长缓慢，这对数学教师的专业发展是很不利的。

四、数学教师的教学知识建构

热爱教师职业是数学教师的教学知识建构的基本要素，扎实的数学专业知识是数学教师职业发展的基石，是数学教师的知识结构中重要的组成部分。然而，仅有热爱和数学专业知识是不够的，数学教学是一项极为复杂的工作，数学课程理论性、系统性强，对概念教学要求高，数学教学不是解题教学，数学的思想和方法才应是它的灵魂，数学内容是这个灵魂的载体。要成为一名真正的数学专业教师还应在教学实践中不断完善自己的数学学科的教学知识。

数学教师要建立数学教师专业发展意识，从数学系的毕业生到一名真正的数学专业教师需要经过长期的教师专业学习过程，不但要有理论学习和教学实践，还要不断反思和总结。

数学教学知识主要依靠实践，是教师通过理论学习和教学实践的结合获得的。教师的自我意识和内在动力是教师教学知识建构的基础，教师自身的教学实践和教学经验是教师教学知识建构的重要源泉，范良火指出，教师“自身的教学经验和反思”及“和同事的日常交流”对他们发展自身的教学知识是两个最为重要的来源，没有亲身的教学实践和不断总结教学经验，教师教学知识结构就不能得到完善。但教师的教学知识建构是一个长期、复杂的过程，是教师的理论知识和实践知识结合的产物，仅仅靠教师自身的教学实践和教学经验是不够的，也不能通过专家“告诉”教师教学知识而使之成为优秀教师，其中很重要的一条就是“悟”。以我们的体会可以采取以下措施:

1听。听同教研室教师的课。高等数学作为高职高专的公共基础课，为教师之间相互听课提供了有利条件。“他山之石，可以攻玉”，别人的经验无论好坏，对自己都有帮助。对于新教师，在见习期也应像见习医生一样，以听课为主，不要单独授课，要在老教师的指导下授课，这不但可以缓解新教师的授课压力，也可以通过实践和与其他教师的交流构建自身的数学教学知识。

2看。看自己的教学录像。现代教学设备为教师自我教育提供了良好的条件，但大多数教师并没有看过自己的教学录像。在教师的专业发展中，教师的自我意识和内在动力是教师教学知识建构的基础，自己看自己讲课能够更全面地发现和“悟”出自己在教学中存在的问题。尤其是数学概念的教学中，当你讲的时候觉得已经叙述得很清楚了，但你看自己的教学录像的时候可能会发现有不够明确的地方。

高一数学知识篇（8）

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）06-0115-02

一、数学史知识在高等数学教学中的应用现状分析

通过同行听课的形式，结合华南农业大学高等数学的教学实践，对教师应用数学史知识进行高等数学教学的现状进行分析如下：

1.有些教师对数学史知识在高等数学教学中的作用认识不足。有些教师认为数学史知识在高等数学的教学中是“可有，可无”的，甚至有的教师认为在高等数学课上讲数学史知识是浪费时间，等等，这种错误的认识势必影响数学史知识的在高等数学教学中作用的发挥。

2.有些教师不知道如何将数学史知识应用到高等数学教学中去。有些教师虽然认识到了数学史知识在高等数学教学中的重要作用，但是却不是很善于将数学史知识渗透进高等数学教学中去，或者是数学史知识的教育与高等数学教学相分离，没有发挥出数学史知识教育的真正作用。

3.有些教师自身的数学史知识不够丰富。数学史是师范类数学专业的一门必需课。但在高校中，很多数学教师毕业于非师范类大学，没有数学史方面的教育背景，数学史方面的知识比较匮乏或者不系统，以致无法将数学史知识应用于教学实践。总之，许多教师没有充分发挥出数学史知识在高等数学教学中的真正作用和效果。

二、数学史知识在高等数学教学中的作用

针对一些教师对数学史知识在高等数学教学中的作用认识不足的现状，结合作者多年来高等数学教学的实践，谈谈将数学史知识应用于高等数学教学的作用。

1.将数学史知识融入高等数学教学中有利于激发学生的学习兴趣[8，9，11-13]。著名教育家陶行知说：“兴趣是最好的老师。”数学史中存在大量可用于提高学生学习兴趣的例子。例如，在讲微分方程的时候，教师可以告诉学生，冥王星的发现是在利用微分方程理论计算出它的轨道后，再通过天文学家长期观察发现的。又如，在讲导数概念时，适当介绍导数的两个产生背景――瞬时速度和光滑曲线上一点的切线的定义，可让学生体会到数学概念是来源与生活实践的，从而激发他们学习的兴趣。此外，数学史上一些有趣的悖论也可以增加学生的兴趣。

2.应用数学史知识进行高等数学教学有利于帮助学生加深对数学概念、方法的理解[13]。数学家与教育家F・克莱因认为：学生在课堂上遇到的困难，在历史上也为数学家所遇到，那么，如何能使学生顺利克服这些困难呢？如果学生了解了有关概念的形成过程，就有可能从中受到启发，从而可以帮助学生加深对数学概念和知识的理解[10]。例如，胡桂英等[3]将极限的数学史知识融入极限理论的教学，使学生了解了数学极限思想的形成过程，较好地实现了从认识有限量到认识无限量的思想转变过程。

3.在高等数学教学中融入数学史知识有利于对学生进行情感教育[8，9，11，12，17]。通过介绍我国的数学成就，有助于弘扬祖国的优秀文化，激发民族自豪感和爱国主义情怀[3]。例如，在讲述极限概念时，教师可以介绍中国先秦时期伟大的哲学家庄子引用过的一句古语：“一尺之棰，日截其半，万世不竭。”说明我国极限思想的源远流长；还可以介绍刘徽的“割圆术”以及其取得的成就，激发学生民族自豪感。通过介绍数学家勤奋刻苦、锲而不舍的追求真理的精神有助于培养学生的意志品质和科学精神。例如，在讲述欧拉方程时，适当介绍一下数学家欧拉，欧拉是历史上写论文最多的数学家，但在他28岁时噩运降临在他身上。通过口述，他儿子记录的形式计算，他坚持了20年直到最后一刻。这个故事可以培养学生的意志品质和科学精神，激励学生努力学习。

4.在高等数学教学中应用数学史知识有利于完成教书育人的教学目标。教师的主要任务是教书育人，“教书”主要是向学生传授知识，“育人”主要是让学生学会为人处事。历史是由人民群众创造的，数学史主要是由数学工作者和数学家创造的。在数学史上，有值得学习的榜样，也有让人为之扼腕的史实。例如，在讲级数理论中的阿贝尔定理时，适当介绍天才数学家阿贝尔的杰出贡献，以及他的悲惨遭遇，可以让学生懂得一些为人处事的道理。

三、将数学史知识融入高等数学教学的若干原则

针对有些教师不知道如何将数学史知识融入到高等数学教学中去的现状，结合作者自身的教学实践，作者认为将数学史知识融入高等数学教学应该遵循一定的原则。

1.数学史知识与教学内容相结合的原则。利用数学史进行高等数学教学的目的之一是为了帮助学生加深对数学概念、方法的理解，使高等数学的教学更加生动活泼。如果将介绍的数学史知识和教学内容相分离，那么有可能使取得的效果适得其反，舍本逐末。因此，为了更好地发挥数学史知识在高等数学教学中的作用，必须遵循数学史知识与教学内容相结合的原则。

2.数学史知识为辅，高等数学知识为主的原则。数学史知识的引入是为了使高等数学教学达到更好的教学效果。因此，数学史知识的介绍不宜占用课堂学时太多，否则会有喧宾夺主之嫌。在融入数学史知识的时候，教师应该认真整理、甄选数学史的相关资料，设定好数学史知识教学的教学情景和教学目标，以一种比较自然的方式融入到高等数学教学中去。

3.数学史知识与学生现有的知识水平相适应的原则。在高等数学中，所引用的数学史知识必须与学生知识水平相适应。如果引入的数学史知识难度过大，学生理解不了，就会无法发挥数学史知识的作用，甚至让学生望而生畏，增加学生的学习负担。与学生知识水平相近的数学史知识（课外知识）既可以帮助学生理解高等数学的相关知识，还可以拓展他们的视野。

四、提高教师数学史修养的几点建议

说到底，教师是应用数学史知识进行高等数学教学的实施者。因此，要在高等数学教学中充分地发挥出数学史知识的作用，必须提高教师的数学史修养。结合本校的情况，作者提出以下几点建议：

1.请进来，走出去。“请进来”是指邀请数学史专家给高等数学教师讲授有关数学史知识；“走出去”是指选派一线在职教师参加数学史方面的专业研讨会进修培训班等。

2.自力更生，自己动手。组织教研室相关教师编写一些有关数学史的教学资料，并开发相关的教学资源库，为教师提供更为丰富的数学史知识教学素材。

3.努力创造应用数学史进行教学的条件。学校应尽可能地订阅数学史方面的报刊杂志，给同学介绍数学家的故事等等，提供一些成功应用数学史知识进行高等数学教学的案例，并制作成光盘供相关教师学习、借鉴等等。

总之，只有教师真正认识到了数学史知识在高等数学教学中的重要作用，掌握了应用数学史知识的方法，并自觉应用数学史知识进行高等数学，才能收到较好的教学效果。

参考文献：

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[3]胡桂英，钟军平，吴昊文.高数“极限”教学与数学史的整合摭谈[J].中国成人教育，2012，（3）：134-135.

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[5]史艳华，王芬玲.高等数学与高中数学的衔接问题探讨[J].教育与职业，2013，（20）：127-128.

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[10]韦兰英，张振强.谈谈数学史教育在高等数学教学中的渗透[J].中国科技信息，2008，（23）：268-269.

[11]吴筱宁，黄建科.关于在高等数学教学中渗透数学史的思考[J].教育与职业，2009，（20）：115-116.

[12]张敏捷.略论数学史在高等数学教学中的意义[J].魅力中国，2009，（25）.

[13]杨颖，刘颖.数学史在高等数学教学中的应用[J].通化师范学院学报，2010，（12）：87-88.

[14]马书燮.数学史与高等数学教育[J].吕梁教育学院学报，2011，28（1）：94-95.

[15]周俊林.数学史对高等数学教育的影响[J].河南教育学院学报：自然科学版，2013，（1）：60-61.

高一数学知识篇（9）

一、高中数学的教学现状

高中数学具体逻辑性、思维性强的特点，但是作为一门基础性的课程，数学不只是讲究理论，它也强调实践性。高中数学的教学当中，要把培养学生的应用意识和能力作为一项重要的内容。高中数学的运用包括很多方面的知识。这些知识可以归纳为数学知识的应用和数学思维方法的应用。而数学思维方法的应用相对来说比较抽象，需要运用数学方法进行假设、判断和运算证明。知识来源于生活，又作用于生活。但是，从目前的高中数学教学研究来看，还存在着一个很大的问题，很多的学生学习数学只是停留在表面的理论和演算上，没有能够做到知识的灵活运用，久而久之造成了数学学习的枯燥无味。

二、高中数学中应用意识和能力的培养

高中数学知识的内容广泛，在我们日常的生活当中也常常能够看到很多数学知识的运用。目前高中新课改也突出强调要加强学生的数学应用意识和能力的培养。数学知识的运用是数学学习当中的一个主要的方面，只有在实践中经过检验的知识才能够获得真正的认知。特别是在当今的社会生活当中，需要培养综合型、高素质的人才，我们就需要在高中数学教学当中强化对学生应用能力的培养，使学生能够熟练地把学到的知识运用实际当中。要达到这个目标，主要应该做到以下三个方面：

1.强化高中数学当中的应用意识

高中数学的运用强调的是知识在实际当中的操作。在进行高中数学的应用能力培养时，特别强调的是学生的参与性。学生如果能够积极主动地参与到课堂的应用操作当中，就能够激发出一种学习的潜能，建构起数学的知识运用框架。很多的高中生在学习高中数学的时候，仅仅是为了应付高考，停留在试卷、作业的运算上，对于真正的运用则表现得很漠视。为了改变这种情况，学生就需要在意识上重视数学的应用。教师要发挥出正确的导向作用。在关注知识的传达时，也注重讲解这些知识的真正应用。

2.进行高中数学应用能力的培养

进行高中数学应用能力的培养不是一件简单的事情。需要教师发挥自己的聪明才智，根据数学的知识特点，整合数学学习材料，进行巧妙的设计，调动学生数学知识的运用兴趣。很多的高中数学知识是和生活联系紧密的。比如一些函数的知识可以运用在生活当中求解那些最大、最小值问题，到达投资的最优选择。几何当中黄金分割点在实际的生活当中也是被广泛运用到的，很多的设计就是来自于这个黄金比例的设想。在教授这些知识的时候，不能够一味地按照课本上的知识规定来进行，而是要更新观念，全面改革教学方法，提高创新意识，培养学生自身的应用意识，理论联系实践，提高应用能力。在数学教学中，还可以借助计算机的先进手段，改变教学的方式，进行启迪式的教学探究，设计出让学生动手做数学的实验环境。突出强调培养学生进行观察、操作、实验和演示等途径，调动感性认识去参与认知活动。

3.提升生活实践当中的数学应用能力

高一数学知识篇（10）

一、高中生数学学习情况的现状

在很多学生眼里，数学是一门学起来很吃力的学科，为了学好这门困难的学科，学生花费了不少时间，下了不少功夫，然而效果并不理想，这样的结果是学生心里充满挫败感，开始厌烦数学科目，时间久了开始害怕数学学科，对数学知识的学习提不起兴趣，严重时甚至会放弃对数学的学习。

二、提高数学自学能力的必要性

提高数学自学能力是学生自身数学文化素养提高的必备条件之一，有利于增加学生学习的主动性和积极性，有助于培养学生的动手能力和思考能力，提高学生的获取知识的能力和发现问题并解决问题的能力。良好的数学自学能力不仅能够使学生快乐的学习，还能够帮助学生在走上社会后具备独立的解决生活问题的能力。另外，数学自学能力的培养有利于我们高中生终身学习能力的养成，终身学习是我们主动的学习、自发的学习和持续的学习的过程，终身学习能够为我们的人生增添无限的光彩。

三、提高数学自学能力的措施

（1）从数学课本中获取知识

首先，我们在读数学课本时，不要机械的读，要用心的读以理解其中的概念、定理、性质和常规的知识，这些是数学知识体系的基础部分，因此不要机械的背下来，而是要真的理解，并懂得利用概念、定理等解题。

其次，仔细研究数学课本中的例题。数学课本中的例题具有非常重要的价值和作用，例题一般都是最典型的、最具有代表性的题，因此我们要认真的研究例题，总结其解决方法和解题思路，从而能够举一反三的使用解题方法。

（2）学会整理数学知识，把知识系统化

在学习数学的过程中，我们要学会把知识系统化，把新学会的知识和已经学过的知识联系在一起，这样才能够长久的记住知识并灵活的应用知识原理。

首先，学会掌握知识的展开顺序，弄清来龙去脉。我们在阅读数学教材的时候要不断的思考，总结数学教材中知识是如何展开的，找出知识的展开顺序，然后分析它们在整体数学知识结构中的从属关系和地位。

其次，分析知识的纵横联系。数学学科的每个知识不是独立的，而是相互联系的，具有严密的逻辑性和完整性。在学习的过程中，我们要学会以某一知识为线索，把分散在课本中的知识串联起来，整理出综横交错的网状知识结构，这样能够使我们快速的记下并理解，这有助于提高我们的解题速度和效率。

（3）学会掌握知识的迁移

在学习数学知识的过程中，我们要善于利用对比和类比等方法总结出相似的知识或者结构相同的知识，在解题时要通过同化等手段迁移知识，比如把角的平分线知识结构迁移到线段的垂直平分线等等。

（4）及时的进行自学检测

在自学之后，学生要找出一些与自学知识相关的习题去练习，标记出做错的题，总结出是哪个知识点没有掌握，然后找出没有掌握的知识点重新研究，然后再找一些与该知识相关的习题再做，反复练习，争取做到能够举一反三，这样做是对知识的查漏补缺，学生的学习数学的能力得到提高，学习的效果自然也好，学生学习数学的积极性也高。

（5）学会及时总结

高一数学知识篇（11）

一、高中数学知识拓展类校本课程建设的重要意义

1.补充了国家教学课程

高中数学知识拓展类校本课程的建设发展，是对国家教学课程的一种重要补充。当前数学校本课程相对来说有着一定的知识结构，而知识拓展类校本课程的开发应用，将数学知识有效拓展，丰富了数学教学的主要形式，并保证了数学知识教学的全面发展。

2.保证了学生最大限度的发展

高中数学知识拓展类校本课程的建设发展，保证了学生最大限度的全面发展。这种拓展类校本课程的建设，主要是对学生的发展给予极大的关注，将学校办学的特色全面体现，进而对社会发展的教育需求加以满足，保证学生的个性化全面发展，并将学生在数学学习过程中的不同层次水平以及需求加以满足，保证学生最大限度的全面发展。

3.提高了数学教师的教学质量

高中数学知识拓展类校本课程的建设，使数学教师的教学质量显著提升。这种校本课程，加深了教师对社会资源、学校资源以及家庭资源的深入了解，并提高了学生发现问题、思考问题以及实践活动中解决问题的能力，对于学生创新精神以及实践能力的培养有着一定的积极作用，也保证了教师专业技能的全面发展，数学教师的教学质量显著提高。

总而言之，高中数学知识拓展类校本课程建设，不仅保证了学生的全面发展，也保证了学校和教师的综合性发展，有着重要的意义

二、高中数学知识拓展类校本课程建设现状

1.教师课程观念较为传统

目前，教师课程观念相对比较传统，由于受到应试教育较深的影响，学校和教师的基本课程观念难以发生根本性的改变，学校教师和学生对于传统的教科书有着极大的依赖，其课程计划也有着一定的指令性，其思维处于一种相对陈旧的课程习惯性思维中，缺乏对数学新知识和创新知识的研究，进而不利于当前高中数学知识拓展类校本课程的建设发展。

2.教师知识技能准备不足

高中数学知识拓展类校本课程的建设发展，往往需要教师有着相对丰富的基础知识和一定的课程问题意识，在课程实际的改革发展中，更要做好课程建设的实践性训练。而教师缺乏课程理论以及相关实践经验，在对校本课程进行全面开发的过程中，其相关的评价体系始终处于一种探索的阶段，缺乏相对成熟的可借鉴经验和基础模式。

3.缺乏针对性引导

由于高中数学知识拓展类校本课程建设是一种全新的课程体系建构，现阶段的建设发展过程中，往往有着一定的随意性和盲目性，对于如何做好高中数学知识拓展类校本课程的规范化、完善性、发展性以及科学性的建设始终是当前研究的热点之一。

4.忽略了学生的实际需求

将学生的实际需求忽略，是高中数学知识拓展类校本课程建设遇到的主要问题。由于任何知识拓展类校本课程的开发，最主要的目标是实现学生的综合性全面发展，而当前高中数学知识拓展类校本课程在实际的建设发展中，难以从根本上对不同学生个体进行充分的了解，对于个体的实际需求缺乏针对性的调查研究，进而使得教材在实际的编写过程中，难以和学生的实际需求和兴趣相吻合，因此失去高中数学知识拓展类校本课程建设的意义，并影响课程的质量。

高中数学知识拓展类校本课程建设发展过程中，存在的问题还包括，在实际的建设发展中，学校的重视度不够以及缺乏科学的评价体系，难以保证高中数学知识拓展类校本课程的全面健康发展。

三、 关于高中数学知识拓展类校本课程建设的思考

1.培养教师数学知识拓展类校本课程建设的相关意识

高中数学知识拓展类校本课程建设发展的过程中，要培养教师的数学知识拓展类校本课程建设意识。首先，加快选修课课程建设，将更多的课程建设时间留给教师，保证教师对于开发数学知识拓展类校本课程有着充分的认识。其次，逐渐深化普通高中课程改革，不断创新教育理念，构建富有时代精神以及多层次和可选择的数学知识课程体系，并转变育人模式，培养学生的探索能力。最后，要帮助学生逐渐养成学生反思和研究问题的习惯，做好对教学内容、教学目标以及教学设计、教学过程和教学效果的反思，并对教师的合作意识和合作能力进行培养。

2.培养教师数学知识拓展类校本课程建设的相关能力

在实际的拓展性校本课程建设中，要保证教师有着对校本课程开发的具体能力。首先，教师要加强理论学习，全面提升自身的素养，并定期参加各类课程改革的培训，领会课改方案的基本要领，并明确校本课程开发的实际情况，及时关注现代化数学知识的发展趋势，从更高的角度对高中数学教学进行有针对性的指导。其次，要加强教师之间的沟通交流，对新的课程内容提出有针对性的建议，完善课程内容，促进教师的全面发展。最后，要保证教师顺应当前时展的基本要求，了解现代化教育的实际发展需求，全面掌握现代化教育技术和教育方法，积极推进教科研活动，全面提高自己的教科研能力和综合素质，并结合学生的长远规划和实际需求，建设好高中数学知识拓展类校本课程。

3.应用现代化信息技术推进高中数学知识拓展类校本课程建设

经济的飞速发展，也推动了现代化教育改革的全面建设，高中数学知识拓展类校本课程建设发展中，更要顺应当前时展的潮流，将现代化信息技术和高中数学知识拓展类校本课程建设充分融合。在高中数学教学中，借助信息技术拓展研究性学习的相关知识，并使用互联网平台，使学生的知识拓展，加深学生对数学知识本质的认识。同时，注重数学知识的某种转变，并不断征求意见，将探索的过程推进，做好高中数学知识校本课程的相关课时安排，并对其呈现的形式加以确立。

高中数学知识拓展类校本课程建设发展过程中，要结合学生的实际发展需求和学校实际的发展特点，对教师的综合素质能力以及知识结构进行全面提升，从根本上保证教师全面的发展，从而推进现代化高中数学知识拓展类校本课程体系的建设发展。

参考文献

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