数学中的反证法大全11篇

数学中的反证法篇（1）

通常，人们在做数学论证时，往往习惯于用直接法正向求证，由条件逐步推出结果，然而，有时候对某一些数学问题，根据已知条件很难推出所要求的结论，这就要求我们必须尝试用另一种方式进行间接论证，这就是我们通常所説的反证法。

看下面例子：

例1 把1600颗花生分给100只猴子，证明：不管怎样分法，至少有四只猴子得到的花生一样多。

解法探析：假设至多有三只猴子分得的花生数相同，我们从所需花生最少的情况考虑：

3只猴子各分得0颗花生，

3只猴子各分得1颗花生，

3只猴子各分得2颗花生，

、、、 、、、

3只猴子各分得32颗花生，

最后一只猴子分得33颗花生。

这样，100只猴子共需花生 3×﹙1﹢32﹚×32∕2 ﹢33＝1617（颗）

这与题设只有1600颗花生矛盾，故原命题成立。

通过以上例子，对这类用直接证法难以下手的题目，用反证法求解时则十分简便，那么究竟如何运用反证法呢？

（一）　通常来说，用反证法时有三个步骤：

ⅰ　反设

“反设”就是正确的否定结论。由于它是反证法的出发点，所以如果反设出现错误，将导致全盘皆错。关于“反设”应注意：

1　首先要弄清题目的条件和结论；

2　强调“反设”是对结论的全否定。

例如 求证：若a，b为自然数，且a×b是奇数，则a，b都是奇数。

结论的反面应是：“a，b不都是奇数”。而不是：“a，b都不是奇数”。

ⅱ　归谬

以“反设”为出发点，题设条件为根据，通过正确推理，得出矛盾。这是反证法的核心。

由于反证法推出矛盾的类型很多，出现矛盾的情形又比较复杂，因此在进行归谬时，经常会陷入困境，甚至对自己的正确推理产生疑惑，因此，举例説明推出矛盾的主要类型：

①与客观事实矛盾

例 高一有400名学生，求证：这400名学生中至少有两名学生的生日是相同的。

证明：假设400名学生的生日都不相同，那么一年将有400天，这与客观实际相矛盾，故原命题成立。

②与公理，定理矛盾

例 如果两直线都平行与第三条直线，则这两条直线也相互平行。

证明：假设这两条直线不平行，则必然相交于一点。这样就得出：过直线外一点，能做出两条直线与该直线平行的直线。这与平行公理矛盾。

③与题设矛盾

例如 前面猴子分花生的例子，由假设求出的结果共需花生1617颗，而题设只有1600颗花生，矛盾。

④与反设矛盾

ⅲ　存真

由所得矛盾肯定原命题成立。

（二）反证法的适用范围

什么类型的数学命题可以用反证法证明呢？一般来説，对于“若A则B”一类的数学命题，都能用反证法来证明，但难易程度不同，就多数题来説，直接证法比较简捷。因此在证题时，首先应考虑使用直接证法。当用直接证法无法下手甚至不可能时，可考虑使用反证法。

通常来说，下列情况可以考虑使用反证法：

（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；

（2）命题的结论以否定形式出现时；

（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；

（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；

（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；

（6）关于存在性命题；

（7）某些定理的逆定理．

总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．反证法有时也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．

以上简单列出了运用反证法推出矛盾的主要类型，方便我们参考，应该注意的是，一个数学命题，究竟使用那种证明方法更方便一些，要具体问题具体分析，切不可生搬硬套。

参考文献

1 “正难则反”好思路　峰回路转现通途

作者：朱浩； 福建中学数学2009年第05期

反证法完全解读

作者：陈素珍 中学生数理化（高二版）2010年第02期

数学中的反证法篇（2）

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.

反证法的证题模式可以简要的概括为“否定推理否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立.实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能会迎刃而解.

例1直线 ∥b，b∥c，那么直线 与c平行吗？为什么？

学生通过自学之后再小组讨论，很容易应用反证法想到：若直线 与c不平行，则与平行公理矛盾，从而得到结论.

例2 证明2为无理数.

假设2为有理数，那么存在两个互质的正整数p、q，使得：2=pq，于是p=2q.

两边平方得p2=2q2.

由2q2是偶数，可得p2是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

因此，可设p=2s，代入上式，得：4s2=2q2.即：q2=2s2.

所以q也是偶数.这样，p、q都是偶数，不互质，这与假设p、q互质矛盾.

这个矛盾说明，根号2不能写成分数的形式，即2不是有理数.

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.

图1例3 如图1，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.

分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.

证明：假设AC平面SOB，因为 直线SO在平面SOB内， 所以 ACSO，因为 SO底面圆O， 所以 SOAB，所以 SO平面SAB， 所以平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.

注：否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.

例4已知三个方程x2+4ax-4a+3=0

x2+（a-1）x+a2=0，

x2+2ax-2a=0.

至少有一个方程有实根，使求实数a的取值范围.

分析： 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根.先求出反面情况时 的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案.

解： 设三个方程均无实根，则有：

Δ1=16a2-4（-4a+3）

Δ2=（a-1）2-4a2

Δ2=4a2-4（-2a）

解得-32

a13

-2

即-32

所以，当a≥-1或a≤-32时，三个方程至少有一个方程有实根.

注：“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单.本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（≥0） 的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集.两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻.

例5 给定实数a， a≠0且a≠1，设函数y=x-1ax-1 （其中x∈R且x≠1a），证明：①.经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图象.

分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而假设.

证明： ① 设M （x ，y ）、M （x ，y ）是函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2，

假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1=y2，

即x1-1ax1-1=x2-1ax2-1，

整理得a（x1-x2）=x1-x2.

因为x1≠x2，所以a=1， 这与已知“a≠1”矛盾，

因此，假设不对，即直线M1M2不平行于x轴.

② 由y=x-1ax-1得axy-y=x-1，即（ay-1）x=y-1，所以x=y-1ay-1，

即原函数y=x-1ax-1的反函数为y=x-1ax-1，图象一致.

数学中的反证法篇（3）

【中图分类号】G633.6

1 引言

公元前六世纪中期的古希腊七贤之首--泰勒斯最早引入了数学证明的思想，公元前三世纪的古希腊数学家欧几里德第一个最广泛、最娴熟地运用了数学证明，我国数学家江泽函则指出："没有数学证明，就没有数学"。反证法是数学证明中的一种间接证明方法，在数学命题的证明中被广泛应用。欧几里德证明"素数有无穷多"、欧多克斯证明"两个正多边形的面积比等于其对应线段比的平方"、"鸽子原理"和"最优化原理"的证明等都用了反证法。但是由于在现行的各种教材中没有对反证法给出系统的介绍，学生对反证法原理的理解和恰当地运用也存在不少的问题，故本文在此"抛砖引玉"。

2 反证法内涵

2.1 什么是反证法

法国数学家阿达玛说过："反证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。"即先假设命题中结论的反面成立，结合已知的定理条件，进行正确的推理、论证，得出和命题中的题设或前面学习过的定义、公理、定理、已知的事实相矛盾，或自相矛盾的结果，从而断定命题结论的反面不可能成立，因而断定命题中的结论成立，这种证明的方法就叫做反证法。

2.2 反证法的原理

2.2.1 矛盾律

矛盾律是亚里士多德的形式逻辑的基本规律之一，其基本内容是：在同一个论证过程中，对同一对象的两个相矛盾的、对立的判断，其中至少有一个是假的，它的公式是：不是。如对""这个对象，"是有理数"和"是无理数"的两个判断中至少有一个是假的。

2.2.2 排中律

排中律是形式逻辑的由一个基本规律，其基本内容是：在同一个论证过程，对同一对象的肯定判断和否定判断。这两个相矛盾的判断必有一个是真的，它的公式是：或者是或者是，排除了第三种情况的可能，在数学论证中常根据排中律进行推理。如要证明"是有理数"，只要证明"不是有理数"不真就够了。这是因为"不是有理数"和"是有理数"是对象的两个相矛盾的判断，根据排中律，其中必有一个是真的。

2.3 运用反证法证明论题的步骤

运用反证法证明数学命题""，首先，必须弄清楚命题的条件和结论，然后按以下步骤进行论证：

第一步：否定命题的结论，作出与相矛盾的判断，得到新的命题；

第二步：由出发，利用适当的定义、定理、公理进行正确的演绎推理，引出矛盾结果；

第三步：断定产生矛盾的原因，在于判断不真，从而否定，肯定原结论成立，间接证明了原命题。

分析上述三个步骤可以发现，运用反证法的关键在于由新的论题演绎出一对矛盾，一般为推出的结果与某一定义、定理、公理、已知条件、所作题断矛盾，或是推出两个相互矛盾的结果。

值得注意的是在运用反证法证明命题时要认真细致地审题，若发现与论题结论相矛盾方面有不止一种情况，必须予以一一否定。且有时并非全部运用反证法，它可能只在证明过程中部分地出现。

3 反证法在证明论题中的运用

反证法是重要的证明方法，在几何、代数等领域都有广泛的运用，现分类举例说明。

3.1 反证法在几何中的运用

3.2 反证法在代数中的运用

4 结语

由上可知，用反证法证明一些问题时，有着其它方法所不能替代的作用。师生在了解了反证法的特点、证明过程及应用"须知"后，加强训练、不断总结，就能熟练地运用了。

参考文献：

[1] 杜永中.反证法[M].四川：四川教育出版社，1989：20.

数学中的反证法篇（4）

反证法又称归谬法、背理法，是一种论证方式，属于“间接证明” 的一种（引用于现行人教版数学教材）.所谓反证，就是将要证明的反面情况驳倒就可以了.首先假设原命题不成立（即我们在原命题的条件下，假定结论不成立），据此推导出明显矛盾的结果，从而得出结论说原假设不成立，原命题得证.

关于反证法的逻辑依据不得不提两个重要的思维方式――“矛盾律”和“排中律”.矛盾律：在同一论证过程中，两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的.排中律：任何一个命题判断或思想或者为真或者为假（不真），二者必居其一. 法国数学家J・阿达玛曾概括为：“这证法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这就是说反证法并非直接证明命题的结论，先是提出与需证结论反面的假定，然后推导出和公理、定理、定义或与题中假设相矛盾的结果.这样，就证明了与待证命题的结论相反的假设无法成立，从而肯定了原来待证命题.用反证法完成一个命题的证明，大体上有三个步骤：否定结论 推导出矛盾 结论成立.

二、反证法在数学解题中的应用

（一）在肯定性命题中的应用

即结论以“……总是……”、“……都……”、“……全……”等出现的，这类肯定性命题可以用反证法进行尝试.

如（代数问题）求证：无论n是什么自然数，总是既约分数.

证明：假设不是既约分数，

令21n+4=k？琢 （1），14n+3=kb （2），（k，？琢，b？缀N，k>1）

既约，由（2）×3-（1）×2得3kb-2k？琢=1？圯3b-2？琢=，因为3？琢-2b整数，为分数，则3？琢-2b=不成立，故假设不成立，分数是既约分数.

（二）在否定性命题中的应用

即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题.

（三）在限定性命题中的应用

在命题结论中含有“至少”、“不多于”、“至多”或“最多”等词语.

如（代数问题，抽屉原理）把2110人分成128个小组，每组至少1人，证明：至少有5个小组的人数相同.

证明：如若128个小组中，没有5个小组的人数相同.则至多有4个小组的人数相同.那么不同人数的小组是：128÷4=32个，对32个小组，我们这样分组：有4个组每小组1人，有4个组每小组2人，有4个组每小组3人，依法分组……有4个组每小组32人，故有：

4×（1+2+3+……+32）=4×[32×（1+32）÷2]=2112

这样2112-2110=2（人） ，多出2人.故以上多于1人或2人的某一个小组人数就减少1人或2人，那么相同人数的组数就比4个多了，即5个或多于5个以上. 故至少有5个小组的人数相同.

（四）在不等量命题中的应用

不等式是学生需掌握的一大重点.当不等式的反面情况比较少时，题中若要求证明不等式成立时，那么只需用反证法来证实其反面不成立.

（五）在互逆命题中的应用

已知原命题是正确命题，在求证其逆命题时可使用原命题结论，此时反证法为解题提供更多便捷.

如（平面几何问题）

原命题：若四边形有一个内切圆，则对边之和必相等.

逆命题：若四边形对边之和相等，则它必有一个内切圆.

逆命题的证明：

三、对反证法运用的思考

（一）在解题时，仔细审题是第一步.当运用反证法时，正确否定命题的结论是首要问题.要使一个待证命题的结论成立，需根据正难则反的原则.从结论的反面来间接思考问题，值得注意的是命题结论的反面情况并非唯一.若结论的反设只有一种情况，称之为简单归谬.例如，证明根号2是无理数，只需证根号2不是有理数.若结论的反面不止一种情况，称之为穷举归谬.必须将所有可能情况全部例举出来，并需要不重不漏地一一否定，只有这样才能肯定原命题结论成立.例如，证明某类数不为正数，则可以从正数的反面负数与零入手.

（二）明确逻辑推理的特点

反证法的任务首先需否定结论导出矛盾.至于出现什么样的矛盾，何时出现矛盾，矛盾是以何种方式存在，都是我们无法计算和预测的.证明的过程没有一个机械的统一标准，但最终都会得到矛盾，而这个矛盾一般总是在命题的相关领域内进行考虑.例如，空间解析几何，平面几何，代数等问题常常与相关的公理、定理、定义等相联系.正因为与这些公式的规则，定理相互矛盾，进而说明原结论的正确性.这便是反证法的推理特点.做到正确否定命题结论，严格遵守推理规则，推理过程中步步有理有据，矛盾出现时，证明就已完成.

（三）了解产生矛盾的种类

数学中的反证法篇（5）

近世代数是一门较抽象的课程.它的主要研究对象是代数系统，即带有运算的集合.由于内容抽象，初学者往往会感到困难重重，尤其对于证明，不知如何从哪方面下手.其实，在掌握好它的基本概念、性质和定理的前提下，它所用的思考方式和手段，很多都是数学证明里常用的，如，类比、归化、转化、反证等.反证法在近世代数的证明中用途极其广泛.它在数学命题的证明中有直接证法所起不到的作用，如果能恰当地使用反证法，就可以化繁为简、化难为易、化不可能为可能.

反证法是分析问题和解决问题的一种科学方法.反证法又叫归谬法、背理法，是数学中常用的一种命题证明方法.反证法是对数学命题的一种间接证法，其理论依据是形式逻辑中的“排中律”和“矛盾律”.这种方法是从反面进行证明，即肯定题设而否定结论，从而得出矛盾，使命题获得证明.有关“存在性”、“否定性”、“无限性”的命题，应用反证法的情况较多.在近世代数中，有些问题直接利用定理结论证明或用定义直接验证较困难时，可考虑使用反证法.本文就子群的阶、同构、主理想、素理想四个近世代数中几个重点难点内容展开讨论，希望学生在学习过程中由此能得到点滴启发.

反证法证题的步骤是：1.反设：反设是应用反证法证题的第一步，也是关键一步，反设的结论作为下一步“归谬”的一个已知条件.反设的意义在于假设所有证明的命题的结论不成立，而结论的反面成立；2.归谬：“归谬”是一个用反证法证题的核心，其含义是从命题结论的“反设”及原命题的已知条件出发，进行正确严密的推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾或自相矛盾的结果；3.结论：指出“反设”是错误的，原命题结论必正确.

1.反证法在子群阶中的应用

例1.设p，q是两个素数，且p

分析：这个结论易通过Sylow定理得到，但[1]中没有涉及Sylow定理，通过反证法可轻松证得.题目要证明至多存在一个子群，我们可以假设存在两个不同的子群.

证明：设H，K是群G的两个不同的q阶子群，但由于|H∩K|| |H|=q，且q是素数，故|H∩K|=q或1.

若|H∩K|=q，则由H∩K≤H且H∩K≤K知H∩K≤=H=K，与H≠K矛盾.

注：从这一例题中可以看到，直接说明pq阶群G最多有一个q阶群难度相当大，但如果假设有两个不同q阶子群，通过推理出现矛盾，则说明最多有一个q阶子群.

2.反证法在同构中的应用

同构在近世代数中是一个非常重要的基本概念.如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义，单从结构上讲，同构的对象是完全等价的.简单来说，同构是一个保持结构的双射.在更一般的范畴论语言中，同构指的是一个态射，且存在另一个态射，使得两者的复合是一个恒等态射.

换言之，G的乘法表是唯一确定的.因此阶为6的非交换群存在且互相同构.

注：这一证明题不是一开始就给予结论否定，而是在证明中部分地方利用了反证法.如|b|≠3.若|b|=3，则在后面的推论中出现矛盾.

3.反证法在环中的应用

例3.证明卡普兰斯基（Kaplansky）定理：设R是一个有单位元用1表示的环，如果R的元素a有一个以上的右逆元，则a就有无限多个右逆元.

4.反证法在理想中的应用

注：说明极大理想都是素理想，可以假设有一个极大理想不是素理想，根据这一假设推出矛盾.

数学思维方法的训练是实现“授之以渔”教学举措的有效手段，我们应该在教学中有意识、有计划、有目的地利用不同类型的问题，从不同视角、不同途径分析、思考和探索，帮助学生拓展证题思路，形成良好的数学思维品质.善于反思，巧妙利用反证是解决数学问题的重要方法和策略，不仅能揭示数学知识的内在联系、规律和相互关系，更能从复杂问题中找到突破口，从而避免繁琐的证题过程，有效提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的探索和创新精神.

参考文献：

[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1998.

[2]汪秀羌.反证法的应用[J].工科数学，1997，2：163-166.

数学中的反证法篇（6）

在目前的数学教育中，人们普遍认为中国学生善于解决常规问题，而不善于解决非常规、开放性问题，这一观点在国内外多项研究中都得到了验证。顾泠沅教授组织的青浦实验在1990年和2007年分别对八年级学生的数学认知水平进行了大样本的测试。这两次测试的结果表明，学生在“计算”、“概念”、“领会”水平上已经取得了较大的突破，但是在“分析”水平上，不但几乎没有任何进步，反而还有倒退的迹象。解决非常规、开放性问题和顾泠沅教授所划分的“分析”水平，均属于高层次数学认知。因此，什么是高认知层次数学任务，以及如何在课堂教学提高学生高水平数学认知亟待解决。

对此，鲍建生等人根据青浦实验小组的数学认知水平分析框架，认为“分析”水平应包括以下五点高认知层次数学任务：

（1）发现并形成合适的数学问题：从各种情境中发现所包含的数学要素、关系或结构，提出合适的数学问题；

（2）解决非常规的和开放性的数学问题；

（3）提出猜想与构造模型：分析条件和结论间主要关系或重点步骤，形成假设或初步的数学模型；

（4）特殊化与一般化：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化；

（5）数学推理与证明：用数学语言形成结论并给出严格的证明。

本文将以此为框架，对一节具体的九年级数学课进行课堂实录研究。

1.《反证法》内容及教材分析

本节课是华东师范大学版初中九年级教材下册29.2节《反证法》，在教学中，学生需要体会反证法的含义，掌握反证法的步骤与综合法的根本区别，并且能用反证法证明一些较简单的命题。反证法是一种常用的数学证明方法，但是，对九年级学生来说，反证法需要较高的数学思维水平，且反证法是他们从来没有接触过的证明方法，因此让学生理解反证法的含义和掌握证明步骤成为本节课的教学重点。同时，寻找问题的反面是本节课的难点。

2.教学过程分析

表1 各数学任务用时分布情况表

本节课包括：情境引入、方法形成、反证法证明过程的分解练习、例题、练习、扩展练习、总结7个部分，将每个部分细化，与上述框架对应，笔者发现，本节课教师对其中四点落实较好，但较少涉及解决非常规和开放性的数学问题。具体过程如上表：

2.1形成并发现合适的数学问题。

这节课在情境引入和方法形成的第一步中，教师帮助学生形成并发现合适的数学问题。

首先，引入课题的是两个现实生活中的情境，这两个问题用反证法更容易解释得清楚，但教师直接让学生解释，在学生解释不清的时候，再提示学生从结论的反面入手。这样的做法给了学生充足的思考时间，这就帮助学生发现并形成合适的数学问题，即，什么样的问题需要用反证法证明？反证法的好处是什么？怎么用反证法证明？在方法形成的第一步中，教师同样做到了引导学生发现和形成数学问题，请看第一步的教学实录：

师：我们看一个具体的数学问题。在一个ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且∠C=90°，那么a■+b■+c■.这个命题是真命题吗？

生：是。

师：这是什么？

生：勾股定理。

师：这就是我们熟悉的勾股定理。接下来教师把他改一改我把刚才的∠C=90°改成∠C≠90°，a■+b■改成≠c■，这是真命题吗？

生：是。（回答人数不多，学生有些犹豫。）

师：是。为什么呢？

师：思考一下，这个问题很难直接回答，那我们是不是也可以从它的反面来讲一讲。想想看我们这个命题是要得到a■+b■≠c■，它的反面是什么呢？

生：a■+b■=c■.

师：那么我假设a■+b■=c■，你会得到一个什么结果？

生：∠C=90°.

师：为什么会得到∠C=90°呢？

生：因为勾股定理的逆定理。

师：也就是说因为勾股定理的逆定理知道这是一个直角三角形，因为C是斜边，所以∠C=90°。这与已知条件中∠C≠90°矛盾。一旦出现矛盾，说明假设还成立吗？

生：不成立。

师：那么就是导致了a■+b■=c■这个命题不成立，也就是a■+b■≠c■，这个命题是一个真命题。

这个过程中，教师一直在引导学生，给出提示，让学生自己说出结果。虽然处理方法与情境引入相似，但情境引入是两个生活实例，而这个问题是一个纯粹的数学问题。如果在情境引入中教师能启发学生发现并形成数学问题，那么在这个问题中，教师希望学生自己能发现这个问题与情境引入中问题的相似，从而自己发现问题中包含的数学要素、关系和结构，形成数学问题。

2.2解决非常规和开放性的数学问题。

在本节课的最后，进行完例题与习题的讲解，教师给出了一个有趣的问题，如下：

讨论问题：有A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎，则C必定是在撒谎，为什么？

这是一个非常规和开放性的数学问题，在之前的授课中，学生练习的均为常规的程序性数学问题，这道非常规开放性的数学问题有利于拓宽学生思路，同时加深对反证法的理解，让学生感受数学与生活的联系，提高学生学习兴趣。但是可惜由于时间关系，教师仅仅用自己提问然后自己回答的方式，证明了一下C必定撒谎这一结论，整个过程用时很短，从课堂反应上看，学生似乎对此问题的理解不够。

2.3提出猜想与构造模型。

在方法形成的第二步，教师引导学生提出了勾股定理的否命题，便在黑板上板书了反证法的详细证明步骤。值得一提的是，教师并没有自己归纳，而是请一名同学回忆上述问题的证明过程，自己归纳。这便做到了提出猜想与构造数学模型。对具体问题的证明和抽象出一般的证明方法之间有着较大跨度，让学生自己归纳有利于培养学生分析条件和结论之间主要关系或重点步骤，形成初步数学模型的能力。

2.4特殊化与一般化。

在形成一般化的证明方法以后，教师适时地按照证明步骤回顾了情境引入和勾股定理否命题这两个问题的证明。这样的做法正好符合了一般化与特殊化的原则，全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化。回顾例子的过程有利于让学生把程序化的证明方法和证明过程的实际联系起来，深化对反证法证明过程的理解。

接着进行了对反证法证明过程的分解练习，具体做法如下：

第一步：练习如何进行假设。让学生说出“a//b”、“∠A不小于60度”、“线段AB，CD互相平分”、“至少有一个”这四个命题的反面是什么。

第二步：给出证明的大致框架，让学生填空。

在ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C。

分解练习对于初学者来说有一定的必要性，教师由于有较多的教学经验，知道学生对于反证法的薄弱环节在于第一步“假设”。“假设”其实是对结论进行否定，而对于初中学生来说，对“不大于”、“至少有一个”这样的命题进行否定存在比较大的困难，教师第一步进行假设的练习解决了学生普遍存在的这一类问题。在第二步中，给出证明框架，让学生填空的做法，是给予了学生一个对反证法整体思路的熟悉过程。这种循序渐进的教学方法对于学生的接受有积极作用。同时，上述的第四点特殊化与一般化要求：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化；而这两步分解练习是对模型（反证法的证明步骤）中的各个要素进行分解和详细阐释，为学生进一步进行特殊化做好了铺垫。

分解练习之后，又讲解了两道例题，并请同学在黑板上板书了一道习题。这同样也是对反证法证明模型的进一步运用，通过分解练习和例题的讲解，学生在练习中反应较好。

2.5数学推理与证明。

以上进行例题的讲解和练习的过程同时也是数学推理与证明的过程。教师多次强调证明的格式规范，学生也能够对所给习题进行严格证明。

3.教学建议与反思

综合对本节课以上五个方面的考察，笔者认为，教师在课堂教学中应注意以下方面。

3.1在发现并形成合适的数学问题之初，教师应留给学生足够的思考时间。

就本节课而言，反证法这种证明方法很可能是学生从来没有在数学学习中接触过的，因此，对于情境引入中的实际问题，即使他们明白其中道理，并且发现从正面去解释存在困难，他们也想不到用反证思想。这个时候，教师应适当提示，步步引导，并且在此过程中给予学生充足的思考时间。如果这个时候教师急于说出答案，那么让学生发现和形成合适的数学问题就变成了老师给出合适的数学问题，学生从一开始对该问题中包含的数学要素、关系和结构认识的不够深刻，这会影响学生掌握和运用该知识。

3.2在课堂中，教师应适当增加非常规和开放性数学问题的比例。

数学中的反证法篇（7）

我们在解数学题的过程中，经常用到这样一种方法：先假定某结论的反面成立，并把这结论的反面成立作为已知条件，再进行正确的逻辑推理，使之导出一个与已知条件、已知公理、定理、法则、已证明为正确的命题等相矛盾的结果，从而肯定原结论成立，使命题获得证明.

例1：已知：a、b、c、d均为实数，且ab=2（c+d），求证：方程x+ax+c=0与方程x+bx+d=0中至少有一个方程有实根.

证明：假定上述两个方程都没有实根

所以已知的两个方程中至少有一个方程有实根.

以上这种方法在数学中被称为反证法.

一、反证法及其在数学证明中的作用

反证法在思维分析和数学证明中有着极其广泛的应用.历史上，英国著名数学家西尔维斯特在他晚年提出的问题：平面上n（n≥3）个已知点不全在一条直线上，证明：总可以找到一条直线，使它只通n过个点中的两个点.这个历经半个世纪都无人解决的难题被一个“无名小卒”用反证法轻而易举地解决了.

从反证法的定义可以看到反证法有如下特征：

1.反证法，开宗明义第一步，总是对所证命题结论的否定，这是反证法区别于其他证明方法最显著的特点之一，没有对命题结论的正确否定，就不是反证法.

2.“对命题结论的否定”，我们通常称之为“反设”，把“反设”作为已知条件，并把此条件运用于推理中，这是反证法的又一特点.反之，如果不以“反设”为已知条件，而是作与“反设”无关的推理，那么这样的证明方法就不能叫做反证法.

由此可以看出，“反设”是应用反证法的第一步，也是重要的一步.只有正确地叙述了一个命题的否命题，反证法的证明才可能是完备的，无懈可击的.

De Morgen法则在叙述一个命题的否命题时有重要的作用.下面我们了解一下什么是De Morgen法则.

二、De Morgen法则及其在反证法中的运用

设有集合族{A}α∈I，我们定义其并集与交集如下：

A={x：？埚α∈I，x∈A}

A={x：？坌α∈I，x∈A}

De Morgen法则是对于集合而言的，设A为一个命题，x∈A表示A对x为真，由上面的定义可看出，如果存在a∈I，使A对x为真，则可用x∈A表示，同样，如果对一切α，A对x为真，可写成x∈A，这样，许多数学命题都可用集合的交集、并集、余集给出.例如：例1的结论用集合语言可表示为{x：x+ax+c=0}∪{x：x+bx+d=0}≠？准，根据De Morgen法则，其否命题应该是{x：x+ax+c=0}∩{x：x+bx+d=0}=R，下面我们看一些较复杂的例子.

例2：叙述数列{a}不收敛

数列{a}收敛的ε-N定义为：

？埚a∈R，？坌ε>0，？埚N∈/N，？坌n>N，

用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：

用De Morgen法则叙述它的否命题

将它写成ε-N定义：？坌a∈R，？埚ε>0，？坌N∈/N，？埚n>N，|a-a|≥ε

所以数列{a}不收敛的ε-N定义为：

？坌a∈R，？埚ε>0，？坌N∈/N，？埚n>N，|a-a|≥ε

例3：叙述f（x）在x不连续

f（x）在x连续的ε-N定义为：

用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：

用De Morgen法则叙述它的否命题

将它写成ε-N定义：？埚ε>0，？坌δ>0，？埚x∈R，虽然有

所以f（x）在x不连续ε-N的定义为：？埚ε>0，？坌δ>0，？埚x∈R，虽然有|x-x|

例4：设S={x}为R中的一个数集，叙述S无上界

S有上界的定义为：？埚M∈R，对？坌x∈S，有x≤M

用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：

{x：x≤M}=S

用De Morgen法则叙述它的否命题

{x：x≤M}≠S=？准

用集合语言把它叙述出来：？坌M∈R，？埚x∈S，使x>M

所以S无上界的定义为？坌M∈R，？埚x∈S，使x>M

例5：设I为全集，叙述f（x）在I上不一致连续

f（x）在I上一致连续的ε-n定义为：

？坌ε>0，？埚δ（ε）>0，？坌x′，x″∈I，|x′-x″|

用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：

用De Morgen法则叙述它的否命题

将它写成ε-N定义：

？埚ε>0对？坌δ（ε）>0，？埚x′，x″∈I，虽然有|x′-x″|

所以f（x）在I上不一致连续的ε-N定义为：

？埚ε>0对？坌δ（ε）>0，？埚x′，x″∈I，虽然有|x′-x″|

例6：利用Cauchy收敛准则叙述数列{a}不收敛

数列{a}收敛：对？坌ε>0，？埚N∈/N，当？坌n，m>N时，有

用集合的交集、并集、余集形式把它叙述出来：

用De Morgen法则叙述它的否命题

将它写成ε-N定义：？埚ε>0，对？坌N∈/N，？埚m，n>N，使

叙述数列{a}不收敛的ε-N定义为：？埚ε>0，对？坌N∈/N，？埚m，n>N，使

数学中的反证法篇（8）

数学是一门注重培养学生思维的学科。《高中数学课程标准》中明确指出：“数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用，要注重对数学本质的理解和思想方法的把握。”长期的实践表明，如果按部就班的对学生进行引导，会导致学生形成思维定式。而有意识的对学生进行逆向思维的训练，有利于帮助学生转变错误的观念，形成正确认知，而且有利于帮助学生发展创新思维。本文结合笔者多年的教学实践经验，就“高中数学教学逆向思维能力的培养”这一课题浅谈如下自己的看法。

一、什么是逆向思维

所谓逆向思维，是一种创造性思维，它是指与原先思维相反方向上的思维。相对正向思维而言，它是与人们常规思维程序相反的，不是从原因（或条件）来推知结果（或结论），而是从相反方向展开思路去分析问题、得出结论。

逆向思维就是突破习惯思维的束缚，做出与习惯思维方向相反的探索。如果学生有逆向思维的能力，采用这种思维去解决问题，就很容易找到解题的突破口，寻找到解题的方法和恰当的路径，使解题过程简洁而新颖，逆向思维不仅可以加深对原有知识的理解，还可以从中发现一些新的规律，或许会创造出更新更好的方法。在数学教学中有目的地设汁一些互逆型问题，能从另一个角度去开阔学生的思路，就会促使学生养成从正向和逆向两个方面去认识、理解、应用新知识的习惯，从而提高学生分析问题和解决问魉的能力。

二、高中数学教学逆向思维能力的培养途径

1.在数学概念教学中训培养逆向思维。高中数学中的概念、定义总是双向的，不少教师在平时的教学中，只注意了从左到右的运用，于是形成了思维定势，对于逆用公式法则等很不习惯。因此在概念的教学中，除了让学生理解概念本身及其常规应用外，还要善于引导启发学生反过来思考，从而加深对概念的理解与拓展。

2.在解题教学中的培养逆向思维。解题教学是培养学生思维能力的重要手段之一，因此教师在进行解题教学时，应充分进行逆向分析，以提高学生的解题能力。

（1）顺推不行则逆推。有些数学题，直接从已知条件入手来解，会得到多个结论，导致中途迷失方向，使得解题无法进行下去。此时若运用分析法，从命题的结论出发，逐步往回逆推，往往可以找到合理的解题途径。

（2）直接不行换间接。还有一些数学题，当我们直接去寻求结果十分困难时，可考察问题中的其他相关元素从而间接求得结果。

3.利用反证问题培养逆向思维。反证法实质上是证明命题的逆否命题成立，即当命题由题设结论不易着手时，而改证它的逆否命题，是从题断的反面出发，以有关的定义、定理、公式、公理为前提，结合题设，通过推理而得出逻辑矛盾。从而得知题断的反面不能成立。应用反证法证明的主要三步是：否定结论一推导出矛盾一结论成立。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

4.强化学生的逆向思维训练。一组逆向思维题的训练，即在一定的条件下，将已知和求证进行转化，变成一种与原题目相似的新题型。在研究、解决问题的过程中，经常引导学生去做与习惯性思维方向相反的探索。其主要的思路是：顺推不行就考虑逆推；直接解决不了就考虑间接解决；从正面入手解决不了就考虑从问题的反面入手；探求问题的可能性有困难就考虑探求其不可能性。

5.灵活运用基本数学方法，促进逆向思维发展。

（1）分析法是从结论出发“执果索因”，步步寻求结论成立的充分条件，它只要求每相邻的两个论断中，后一个是前一个的充分条件（不一定等价），用分析法思考，要论证的结论本身就是出发点，学生知道了应从什么地方着手，能自觉地、主动地去思考，学生的解决问题的信心便大大增强了。“由因导果”的方法通常称为综合法。分析法和综合法各有千秋，可以互相弥补对方的不足。在实际论证一个命题时，先用分析法思考发现可以作为论证出发点的真命题，再用综合法表达出证明过程，两者配合起来，在教学中运用十分广泛，且分析法常用于不等式和恒等式的证明。

（2）逆证法虽然也是从结论出发，但它与分析法还是有区别的，逆证法要求推理过程中，任何两论断都互为充要条件，逆证法首先对不等式或恒等式进行变形，逐步推出一个已知的不等式或恒等式，这比较直截了当，检查这些变形是可逆的并不困难，但在一般情况下使用逆证法并不省事，应让学生重点掌握分析法。

参考文献：

数学中的反证法篇（9）

反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的命题，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了原命题的结论，从而使命题获得了证明。

具体的实施步骤为：第一步：反设，即作出与求证结论相反的假设；第二步：归谬，即将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步：存真，即说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

立体几何较其它学科而言有困难的一面，其中有些问题简直叫人束手无策。当山重水复疑无路时，若遵循“正难则反”的解题原则，应用反证法，则常可柳暗花明又一村。况且反证法是常用的数学解题方法。现列举反证法解决立体几何的几类棘手问题，以期抛砖引玉。

现列举反证法在立体几何证明中的一些常见应用，以供参考。

1、证明2条直线是异面直线

证明2条直线是异面直线可以用“平面内的直线与过平面外一点及平面内不在该直线上的一点的直线是异面直线”这一结论，但常用的还是反证法。

例1 如下图所示，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P， A∈a， D∈a， B∈b，E∈c，求证BD和AE是异面直线。

证明 设BD和AE不是异面直线，则BD与AE确定一个平面β，有A∈β， B∈β，E∈β，D∈β。因为A∈a，D∈a，所以a β。

又因为P∈a，所以P∈β。因P∈b，B∈b，所以b β。因E∈c，P∈c，所以c β，这与a、b、c不共面矛盾，从而有BD和AE是异面直线。

2、否定性命题

当结论以“没有…”、“都不…”、“不是…”、“不能…”、“不存在…”等否定形式出现时，由于直接法证明不易入手，可以考虑用反证法证明。

例2证明：在空间中不可能有这样的多面体存在，它们有奇数个面，而它们的每个面又都有奇数条边。

分析：条件中出现“奇数个面”、“奇数个边”，由此联想到奇数的性质，借助于奇数的性质来证明结论。

证明：假设存在这样的多面体。它有n个面（n为奇数），每个面的边数分别是S；、S：、…、S n（S，、52…S。都是奇数），并设多面体的总边数是5。因为每条边都是两个面公有的，所以S；十52+…+S。~25。此式的左边是奇数个奇数的和，仍然是奇数；而右边是偶数，这是不可能的。所以命题得证。

说明：在命题结论中涉及否定论断，因为再否定就是肯定，而对于肯定的结论一般比原结论更具体明确，易于证明。

3、此前无定理可直接引用

学习立体几何的初始阶段，有时面对题目中需证的结论，由于所学定理很少，往往没有能从正面直接可用的定理，显得无法入手。此时若用反证法，很可能豁然开朗，化难为易。

例3 已知四边形ABCD的四个角ABC、BCD，CDA、DAB都是直角，求证四边形ABCD是矩形。

A

分析 要证四边形ABCD是矩形，因其四个角都是直角，故只要证明四边形是平面四边形即可。

证明假设四边形ABCD的四条边不在同一个平面内，不妨设边BC，CD在平面a内，则AB ，AD都在平面a外。

作AA'a于A'，连结A'B，A'D，则由AB上BC，ADCD，根据三垂线逆定理得A'BBC，A'DCD。从而平面四边形A' BCD中有三个直角，则四边形A'BCD是矩形， BA'D=900，BD2=A'B2+A' D2。

又在RtABD中，BD2= AB2 + AD2，因而有A'B2+A'D2=AB2+AD2。但由A'B < AB，A' D < AD，知A'B2+A'D2

所以假设不成立，则四边形ABCD是平面四边形，进而是矩形。

4、数量上无限的某种元素

结论是数量上无限的某种元素都具有某种特征的命题，无法把这些元素一一列举出来给以直接证明，这时可采用反证法证明其中任意一条莫不具有这种特征。

例4 过已知平面外一点且平行于该平面的直线，都在过已知点平行于该平面的平面内。

5、运用反证法应注意的问题

（1）穷举法的运用。如果原命题的否定只有一面，那么只须把这一面，这种单纯的反证法叫归缪法：如果命题题断的否定不只是一面，此时必须将其各面都驳倒，才能肯定原来的题断成立。这种较繁的反证法叫穷举法。我们在运用反证法时，要注意穷举法的运用。例如已知：a//b，a =A，求证：b和 必相交于一点。用反证法证明时，应假设b和 不相交于一点，然而不相交于一点包含两个方面，一是b ，二是b// ，因此必须分两个方面予以推论而得：b 不可能，及b// 也不可能，从而得出b和必相交于一点。

（2）反证法时的图设。用反证法证题时，假设和命题的事实是相矛盾的。因此在空间图形的图设中，不可能用一个图形把两个相互矛盾的方面同时反映出来。所以作图时，我们常常把所作的图形故意加以歪曲。

（3）反证法的图设大致可分三类：一类是按事实原本无法成型的。这类题目在应用反证法时，我们应对事实作全部的歪曲，也就是在证题过程中作出一个假设成立的四棱锥，并且它符合题设给我们的条件。第二类是在正确的图形中，添补局部与事实不符的图形。第三类，是按题设可以正确作出图形的，此类题目也就不必对图形加以歪曲。

参考文献：

[1]郝睿达.立体几何中的反证法[J].数理化解题研究（高中版）,2007(3)

数学中的反证法篇（10）

数学离不开解题，掌握数学的一个重要标志是善于解题，在解题过程中的有意识比赛或无意识竞争逐渐形成了现在的数学竞赛。本文将介绍竞赛数学的一些基本解题方法。

一、构造法

解题常在问题的给定系统里由题设推得结论。但对有些问，如存在性问题、条件与结论相对较远的问题等，直接推理不能顺利进行，因此不得不找寻某种中介工具，建立条件与结论的联系。解题的这种中介工具通常隐含在题设之中，需要去发现、解释并构造。通过构造题目所没有的解题中介工具―实例、数学模型或对应关系去解决问题的方法就是构造法。

1.存在性问题的构造性解法

存在性问题，就是指结论中含有“存在”这一词的问题。是研究某一数学对象是否存在，或某种数学对象是否具备某一性质的问题。解决存在性问题的方法有构造性和非构造性两种。非构造性的解决方法是利用排中律（例如反证法）论证。反证法在构造证明中起着非常重要的作用。

例1.证明：一个奇数c为合数的充要条件是存在自然数a≤■-1，使（2a-1）2+8c为平方数。

证充分性较简单，证明略。下面证必要性。必要性为存在性问题，可用构造法。

设c为奇合数，则c能分解为两个大于1的奇数之积，较小的记为2k-1，较大的记为m，即c=（2k-1）m，k≥2，m≥2k-1。令a=m-k+1，则a=■-k+1≤■-1≤■-1，

且（2a-1）2+8c=（2m-2k+1）2+8（2k-1）m=[2m-（2k-1）]2+8m（2k-1）

=[2m-（2k-1）]2

例2.对于任何自然数，在整点平面上是否存在一个圆，使它的内部恰好有个整点？

解讨论型的存在性问题，假设题中的圆存在，只要找出一点使得它到平面上的各个整点的距离都不等。点P（■，■）是符合条件的点。用反证法证明猜想正确。

否则，平面上有两个不同的整点M（a，b）、N（c，d），到P点的距离相等，即（a-■）2+（b-■）2=（c-■）2+（d-■）2

化简整理，得c2+d2-a2-b2+■（b-d）=02（a-c）=0可推出a=c，b=d这与假设矛盾。我们把平面各整点到点P的距离按由近到远排列为P1，P2，…Pn，…，选择r，使■

2.构造数学模型

构造数学模型是指反映特定问题的数学对象及其关系结构的映像系统，是具体的、直观的、典型的模式。构造数学模型是一种创造性的思维，但也离不开对题目结构的深刻认识。

例3.已知a，b，c是ABC的三边，求证

a2（b+c-a）+b2（a+c-b）+c2（a+b-c）≤3abc

分析：将求证式左边变形得

a（b2+c2-a2）+b（a2+c2-b2）+c（a2+b2+c2）（*）

能够联想到余弦定理，并且将（*）式转化为三角问题，利用已知的三角不等式cosA+cosB+cosC≤■可证明结论成立。

二、反证法

数学证明有直接证明法和间接证明法两种。反证法为间接证法的一种，是数学证明的大法。许多历史上著名的命题都是用反证法证明的。反证法被誉为“数学家最精良的一种武器”。

例4.{an}为正数列，满足（ak+1+k）ak=1，k=1，2，…，求证对一切k∈N，ak为无理数。

证假设存在ak=■（p，q为互质自然数），则得ak+1=■，即ak+1也是有理数，令Sk表示ak的分子与分母的和，则Sk=p+q，Sk+1=q-（k-1）p。

因为k≥1，故Sk≥Sk+1，从而Sk>Sk+1>Sk+2>…

因为Sk，Sk+1，Sk+2，…都是整数，故一定存在Sk+1

三、数学归纳法

数学归纳法也是数学中最基本、最重要的方法之一，在数学各分支里都有广泛的应用。需用数学归纳法证明的一般是与自然数有关的命题，但并不是所有的与自然数有关的命题都可以，只有可以递归的命题才可用数学归纳法证明。

例5.m，n∈N求证2mn>mn

证：①显然当m=1，n=1时，不等式成立。

②对任意的自然数k，l，假设2kl>kl与2kl>lk成立，则

2（k+1）l=2kl2l>kl2l=（2k）l≥（k+1）l及2k（l+1）=2kl2k=（2l）k≥（l+1）k

即p（k+1，l）和p（k，l+1）都成立，命题得证。

数学中的反证法篇（11）

王戎（晋朝人，竹林七贤之一）7岁时，与小伙伴外出游玩，看到路边的李数上结满了果子，小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地没动.路人不解，王戎回答道：“树在道边而多子，此比苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的？他运用了怎样的推理方法？

他的推理过程可简单的表述为：如果李子不是苦的，它就不可能长在道路旁，且上面结了那么多李子.这种推理方法叫做反证法（归谬法）.

1.反证法的定义：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得到矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法（reduction to absurdity）.

2.反证法的实质：先否定结论，后导出矛盾，从而说明结论的反面是错误的，故原命题成立.

3.反证法证明命题的一般步骤：

①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论成立.

注1.“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证；

注2.“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等；

4.一个反证法的范例

证明：素数有无穷多个。

这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(Euclid of Alexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：

假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1

此时，令N=a1*a2*…*an,那么所有的ai(i=1,2,……,n)显然都不是N的因子，那么有两个可能：或者N有另外的素数真因子，或者N本身就是一个素数，但是显然有N＞ai(i=1,2……n).无论是哪种情况，都将和假设矛盾。这个矛盾就完成了我们的证明，所以确实有无穷多个素数！

这个证明简短而又有力，充分体现了证明者的智慧和反证法的特点！

反证法的应用

类型一.用反证法证明否定性命题

例1 设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1

证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，由于ad-bc=1

所以a2+b2+c2+d2+ab+cd=ad-bc

即a2+b2+c2+d2+ab-cd+bc=0

（a+b）2+（c+d）2+（a-b）2+（b+c）2=0

所以a=b=c=d=0,这与已知条件ad-bc=1矛盾，

故假设不成立，所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1

类型二.用反证法证明“至少”、“至多”等存在性问题

例2 若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+■,b=y2-2z+■,c=z2-2x+■

求证：a，b，c中至少有一个大于0

证明：假设a，b，c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0，则a+b+c≤0

而a+b+c=（x2-2y+■）+（y2-2z+■）+（z2-2x+■）

=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3>0

这与a+b+c≤0矛盾，因此abc中至少有一个大于0

类型三.用反证法证明唯一性问题

例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行

证明：假设过点A还有一条直线c与已知直线a平行.由于a∥b,c∥a，所以b∥c,这与b∩c=A矛盾，所以假设错误，故原命题成立.

类型四.用反证法证明直接证明有困难的问题

例4 证明：■是无理数

证明：假设■不是无理数，那么它就是有理数.于是，存在互质的正整数m，n，使得■=■（任意一个有理数都可以写成形如■（m,n互质，m∈Z,n∈N ））

从而m■n，因此m2=2n2，所以m为偶数.于是可设m=2k（k∈N） ,从而有4k2=2n2，即n2=2k2，所以n也为偶数.这与m，n互质矛盾！

由上述矛盾可知假设错误，从而■是无理数。

注解：（1）反证法证明的第一步是否定结论

常见数学用语的正面叙述及其否定形式

（2）如何推理论证，找出矛盾

所谓“推理论证”是指由假设结合所学知识进行分析、推理和论证；

“导出矛盾”是指和已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、公理、事实矛盾等；

（3）反证法适用的题型：

1.否定性问题；

2.存在唯一性问题；

3.“至多”或“至少”问题；

4.结论的反面比原结论更具体，更容易研究和掌握的题目；

5.原命题直接证明有困难时；

练习：（1）已知三个正数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，