高等函数的概念大全11篇

高等函数的概念篇（1）

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2014）07-0157-01

数学概念定义是数学科学知识体系的基础，是中学数学基础知识的核心；数学概念定义是数学思维的细胞，是数学能力的根基之一。因此，中学数学概念定义的教学，我认为应从以下几个方面来进行尝试：

1.重视概念的形成发展史

数学概念既不是人们头脑中固有的，也不是从天上掉下来的它是人们在长期的社会实践中，经历了从感性认识上升到理性认识，从感觉、知觉形成观念通过分析、综合、抽象、概括而形成的。在教学中，老师在引入概念时可以将概念的形成过程引入课堂，介绍给学生。例如复数这一章节的教学可以首先将复数的发展史作为首课时向学生展示。

2.注意具体到抽象的过渡来引入概念

概念是现实生活中一类对象经加工提炼而成的，数学概念也是为了解决实际数学模型而产生的，教师应注重以具体的问题引出抽象的概念，这样就不会让学生感到问题提出的突兀。

从数学体系发展过程角度看，一些概念是从数学知识发展需要引入的。例如：在讲分数指数幂时，教材上只是给出定义：。为什么引入分数指数幂呢？教室可以引导学生回忆我们学过的加、减、乘、除、乘方、开方的概念的引入，以及相反数、倒数的引入过程：乘法的引入，就是当多个因数相加时，为了简化运算，引入乘法；当多个因数相乘时，为了简化运算，引入乘方。还有一些看起来是规定的概念，也要让学生了解其规定的合理性。相反数的引入，将加法和减法统一为加法；倒数的引入，将乘法和除法统一为乘法；那么分数指数幂的引入，将乘方和开方统一为乘方。学生就好理解了。

抽象是数学的一种美，但学习时其感知对象，学生也觉得枯燥，要让观察者对呈现于面前的某些对象有兴趣，使其注意力集中与这些对象，则在课堂教学中，教师时高时低、抑扬顿挫的声调、活动教具的示范、教学多媒体的运用，都是增强学生感知效果的有效方法。

3.用熟悉的概念引申产生新的概念

学习是一个渐进的过程，对概念的理解也是一个渐进的过程，随着我们知识水平的不断提高，原有的概念的外延不断扩大并由此扩大或改进成新概念，在我们组织教学时，我们可以从旧的概念入手同学生一起用发现的手法来提高和完善我们的认知，引出新思想。例如函数这一概念在初三是新知识，到高一后学生对他的理解就比较深刻，也可以说这时抽象也转化为一种具体，教师若由此出发通过解析式、定义域、值域并对映射概念加以对比发现函数也是映射，最终提出函数的近代定义，用引出的方法学生让自己动手发现新知识，这种成功的喜悦 ，无疑使得学生对概念的理解更为深刻。

从对函数的不同认识阶段看：初中以"变量说"定义函数，重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数，帮助学生形成对函数的直接体验，体会函数的意义，形成用函数解决问题的直接经验. 高中数学以"对应说"定义函数，引进数字以外的符号（y = f （x） 中，f 不代表数，与x ，y 的含义非常不同） 表达函数，进一步明确函数的表示法，以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体，给出研究函数性质的方法和过程的示范，进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用，使学生形成用函数

念研究具体问题的"基本规范"。

从研究函数的方法上：对于"基本初等函数"的研究，是通过对指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数的研究，逐步加深对函数概念的理解，在"基本初等函数"的应用中，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性，建立更加广泛、稳固的函数本质的理解.所以，本单元的核心任务就是：建立一般意义的函数概念，了解函数的抽象符号的意义，了解函数中的问题、内容和方法，形成研究函数问题的"基本规范"。

从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的"纽带"，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。另外，函数还是数学的后续发展的基础，同时在物理、化学等自然科学中有着广泛的应用，在解决生产生活中的实际问题时，也往往采用函数作为建模的基本工具。因此，函数的学习非常重要，应当给予充分的重视。

高等函数的概念篇（2）

【中图分类号】 G 【文献标识码】 A

【文章编号】0450-9889（2015）03B-0109-02

要提高数学教学质量，必须加强基础知识、基本方法和基本技能的教学，而概念教学是这“三基”教学的核心。函数是中学数学的主干内容，与中学数学的大部分内容都有密切的联系。鉴于此，函数概念最早出现在初二下学期的课本，而且在此之前的幼儿园、小学阶段都已经渗透了有关函数概念的集合和对应的方法。到了高中，进一步深化函数概念，成为贯穿中学数学知识的一条主线。因此，历届数学教育家想方设法编出了循序渐进、螺旋上升、科学合理的函数内容教材，努力提高学生的数学文化知识。可是，教学效果仍然不尽人意，特别是在普通中学，许多学生读到了高三，还说不清楚什么是函数。在此，笔者想与同行们共同探讨如何进行初、高中数学函数概念的教学。

一、如何进行初中函数概念的教学

学生理解数学概念，一般是从感性开始的。采取从感性到理性，又从理性到实践的过程进行教学，是符合学生认识规律的。课本准备了一些感性材料，让学生经历从典型、丰富的具体事例中概括概念本质的活动。初中课本准备了4个不同类型的实际问题：（1）画出了表示某地某天内的气温随时间变化而变化的图形曲线。（2）绘出了2006年8月中国人民银行公布的“整存整取”年利率表，表中显示了年利率 y 随着存期 x 的增长而增高。（3）给出了收音机刻度盘上的波长 λ（m）和频率 f（kHZ） 的对应值表。（4）让学生根据圆面积公式 S=πr2，填圆半径 r 与面积 S 的对应值表。在上面的每一个问题中，先后出现了两个相互依赖、相互制约、相互影响大小的变量，不妨分别用字母 x 和 y 来表示，引导学生发现：先出现的变量 x ，在允许的范围内每取一个值，都会得出另一个变量 y 的一个值，或者说另一个变量 y 随之就会只有一个值和它对应。由此概括抽象出初中函数定义：如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值， y都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量， y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数。可见，函数 y 是一个变量，但它不是独立变化的变量，而是由自变量自变引起因变量因变的这样一个变量，于是，把因变量 y 称作是自变量 x 的函数。学生学习了定义之后，还要让学生回到实践，知道在客观世界中，广泛存在着函数的事例。比如，正方形的面积 S 是边长 a 的函数；物体作匀速直线运动的路程 S 是时间 t 的函数等事例。当学生知道函数自变量 x 可以表示时间、长度、路程、电流等变量，知道因变量 y 可以表示温度、利率、频率、面积、电压等变量。知道函数研究的对象是两个有着主从依赖、互相制约的确定关系的变量，这两个变量的值存在着一种特殊的对应关系时，学生就理解了初中的函数概念。至于两个变量之间的主导与从属关系，在一定条件下可以互相转化，只能放在高中学习反函数时再去研究。

二、如何进行高中函数概念的教学

高中阶段函数的教学是初中阶段函数教学的延续，要求学生在集合与对应等思想的基础上深刻理解函数概念。现行的高中教材类似于初中教材的设计，从函数具有丰富的实际背景出发，准备了三个不同类型的实际问题。问题（1）给出了炮弹距地面的高度 h（m） 随时间 t （S）变化的规律 h=130t―5t2。问题（2）中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞面积从1979～2001年的变化情况。问题（3）给出了“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况表。每个问题都给出了两个变量各自的变化范围，教材的意图是要让学生知道或发现这两个变量之间对应关系的共同点，于是让学生先回答课本 P16 的思考题：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么共同点？

共同点：（1）两个变量都有各自所属于的非空数集；（2）这两个非空数集之间的元素都有一种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应。

不同点：两个变量的对应关系表现形式不相同，实例（1）是解析式，实例（2）是一条曲线，实例（3）是数据表格。

于是，每个实例中的两个变量之间的关系都可以描述为：对于数集 A 中的每一个 x ，按照某种对应关系 f ，在数集 B中都有唯一确定的 y 和它对应，并且把这种对应关系记作 f：AB，从而得到了突出“对应关系”的高中函数定义：

设 A ， B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f（x）， x∈A。其中， x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f（x）│x∈A} 叫做函数的值域。这样引入函数概念虽然自然，但是，学生知其然而不知其所以然。过去学习了“因变量 y叫做自变量 x 的函数”，现在为什么要把“数集 A 与 B 之间元素的这种对应关系 f：AB叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数呢？”过去讲的函数是一个变量，现在讲的函数是一种对应关系，学生误以为有两个完全不同的函数定义。

任何一个概念都反映事物的一定范围（即事物的集合）和这个范围内的事物的共同本质。概念所反映事物的范围（或集合）叫做这个概念的外延，这些事物的本质属性的总和（或集合）叫做这个概念的内涵。概念的外延和内涵分别描述了事物集合的量和质。定义概念就是准确地揭示它的内涵和外延。在中学进行新概念教学时，既要从学生接触过的具体内容引入，也要从数学内部问题提出，这是比较好的一种教学方法。

既然学生过去学习了“ y 是 x 的函数”定义，就要从学生的认识水平出发，只要把初中函数定义进一步抽象一点点，把不是最基本的本质属性“变化过程”和“变量”弃掉，只保留最基本的本质属性，就会得出高中的函数定义。

现行高中教材准备的三个实际问题，仍然可以作为引入函数概念的具体事例。不过，先要根据这些具体事例，引导学生回忆、回答出初中的函数定义“y是 x 的函数”之后，提问：

一个函数的自变量 x 总有取值范围吗？因变量即函数 y 总有变化范围吗？

答：都有。

把自变量 x 的取值范围记作 A ，因变量 y 的变化范围记作 B 。再提问：

初中函数的最基本的特征是什么？

答：v1w自变量 x 有一个取值范围 A ，因变量 y 有一个变化范围 B 。

（2）对于数集 A 中的每一个数 x ，按照某个确定的对应法则 f ，都对应着数集 B 中唯一确定的数 y （把这个 y 记作 f（x））。我们把这种对应关系，称之为从数集 A 到数集 B 的单值对应，记作f：AB。

我们把从数集 A 到数集 B 的单值对应 f：AB，叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y= f（x），x∈A。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与 x 的值相对应的 y 值（f（x））叫做函数值，函数值的集合{f（x）│x∈A}叫做函数的值域。

这样，只保留初中函数最基本的两个特征，就轻松地得出了高中函数定义。

三、初、高中函数定义的实质是一样的

通过保留初中函数最基本的两个特征，得出高中函数定义，学生容易知道初、高中函数定义的实质一样：都是指两个数集之间的元素单值对应，只不过初中函数定义侧重于表达变量变化的结果，而高中函数定义侧重于整体表达变量之间的全部对应和变化。初、高中函数定义的这种相同本质，可以用如下的简易图形示意：

四、解决初中函数不能解决的一些问题

通过减少初中函数概念的内涵，得到的高中函数概念的外延就会扩大，所以初中函数定义中的每一个函数，即初中讲的“ y 是 x 的函数”，都是高中函数定义中的函数，都可以写成“从集合 A 到集合 B 的一个函数”，但是，反之不成立。这样，高中函数研究的范围已经扩大，就能解决初中函数不能解决的一些问题，这就是发展概念的动机和原因。例如：

（1）y=sin2x+cos2x=1（x∈R）是函数吗？

（2）y=与 y=x 是同一个函数吗？等等，这些问题如果用初中函数定义就无法回答，但是，用高中函数定义就很容易解决。

五、反思高中函数定义

讲授完高中函数定义之后，可让学生反思：（1）定义中的“……，称 f：AB为从集合 A 到集合 B 的一个函数”。难道从集合 A 到集合 B 还会有另一个函数？比如，已知y=sin x，x∈[0，]是从集合[0，]到集合[0，1]的一个函数，让学生找一找从集合[0，]到集合[0，1]的另一个函数，有y=cos x，x∈[0，]，等等。（2）除了高中学的函数之外，还会有别的函数吗？

例如，设立方体长、宽、高、体积分别为x，y，z，V，则V=xyz，其中x，y，z都是自变量，这是一个有三个自变量的多元函数，不是中学的一元函数。

再如，y=±是函数吗？

因为它不符合中学函数定义的“单值对应”，所以不是中学的函数，而是中学函数之外的多值函数。

通过反思高中函数定义，就不会书云亦云，师云亦云了。

六、巩固、发展函数概念

函数概念的形成，不是一二节课就能完成的，学生学习了概念之后，还需要采取一些巩固、发展概念的措施，罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析，来促进学生认识概念的本质，确定概念外延的有效手段。例如（选自2011年湖北黄石必修1检测题）：

在下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中，不能确定 y 是 x 的函数是（ ）

（1）A={x│x∈Z}，B={y│y∈Z}，对应法则 f：xy=；

（2）A={x│x>0，x∈R}，B={y│y∈R}，对应法则 f：xy2=3x；

（3）A={x│x∈R}，B={y│y∈R}，对应法则 f：xy：x2+y2=25；

（4）A=R，B=R，对应法则 f：xy=x2；

（5）A={（x，y）│x∈R，y∈R}，B=R，对应法则f：（x，y）S=x+y；

（6）A={x│-1≤x≤1，x∈R}，B={0}，对应法则 f：xy=0。

解析：在对应法则 f 下，（1）A 中不能被 3 整除的数在 B 中没有象。（2）A 中的数在 B 中有两个数与之对应。（3）A 中的数（除去±5）在 B 中有两个数与之对应。（5） A 不是数集。所以（1）（2）（3）（5）都不能确定 y 是 x 的函数。（4）（6）显然满足函数的特征， y 是 x 的函数。

一个概念即是对前面知识的总结，又是新知识的出发点，函数研究的是变量间的依赖关系，对应关系，因而讨论函数的性质时，还是要突出一个“变”字，围绕自变量，因变量的变化特征来界定。比如，当自变量 x 在定义域 A 中由小变大时，根据 y=f（x） 的变化特点，提出了函数的“增减性”“奇偶性”和“周期性”等概念。用这样的思路来进行函数概念和性质的教学，能把概念教活，使学生获取的知识成为一个有机的整体。

【参考文献】

[1]陈森林.中学代数教学法[M].武汉：湖北人民出版社，1981.8

高等函数的概念篇（3）

函数是高中数学一个非常重要的知识，它贯穿整个高中，是高中数学的一个核心知识。其实，在初中学生就已经接触到了函数，比如一次、二次、正反比例函数在初中就已经学习了，在高中又学习了三角函数，幂函数，指数函数和对数函数等初等函数。函数是学生学习的一个重点，也是一个难点。下面作者就如何开展初高中函数概念教学谈谈自己的看法。

1初、高中函数概念的区别

初中教材偏重于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念定义不全。如函数的定义，对数函数的定义就是如此。死记硬背对数运算性质，不容易记而且容易记错，只有对对数概念深刻理解，在此基础上多加练习才能准确掌握对数运算性质。函数在中学数学学习中占据核心与主线的重要地位，也是学习高等数学的基础。在函数教学中初中学习只对函数的基本概念作了一些了解，但高中时对于基本函数的图像和性质、反函数、判断、证明、应用函数的三大特征（单调性、奇偶性、周期性），都有很大要求。

初中函数概念是以运动观点来描述的，它直观、感性，贴近生活，学生易于理解、接受；高中函数概念是以集合观点来描述的，它抽象、理性，不贴近生活，学生不易理解、接受。但两个概念的实质是一样的，如何实施两个概念之间的自然过渡是学好函数概念的关键。例如，初中是这样定义函数的：“设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于的x每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。”在这个定义中只提及数值之间的关系是一种对应关系，并没有说明是一个什么样的对应关系。其次是对x的取值没有说清楚，按照这个定义是无法解释y=1（x∈R）这样一个函数的。

2函数概念教学如何有效进行

2.1适当进行铺垫，注重函数概念教学的初次衔接

高中教师要熟悉初中数学教材和课程标准对初中的数学概念和知识的要求做到心中有数，把高中教材研究的问题与初中教材研究的问题在文字表述、研究方法、思维特点等方面进行对比，明确新旧知识之间的联系与差异，高中数学新授课就可以从复习初中内容的基础上引入新内容。高一数学的每一节内容都是在初中基础发展而来的，故在引入新知识、新概念时，注意旧知识的复习，用学生已熟悉的知识进行铺垫和引入。寻找数学内容的衔接点，规划教学，教师应认真学习和比较初、高中数学课程标准及教材，全面了解初、高中数学知识体系，找出知识的衔接点、区别点和需要铺路搭桥的断裂点，以使备课、讲课更加符合学生实际，避免让学生重复学习初中已讲授过、或者缺乏相关学习经验过分困难的知识。

2.2关注学生的心理变化，培养学生良好的学习习惯

高一新生的平均年龄处在16至18岁的青春期，同时，心理上也发生着微妙的变化，尤其是刚经历完中考的洗礼，无论是成功还是失败都已告一段落。有的为能考上理想的高中而兴奋不已，终于可以松口气了，有的因为考得不理想而沮丧，有种一切从头开始的愿望。然而，面对全新的一切又有种不知所措的感觉。特别是初、高中教学内容和教师的教学方法的不衔接，导致一些学生丧失了信心，现实与理想差距甚大，因而心理上容易出现各种问题。作为任课教师应及时发现和处理学生出现的不良心理状况。

另外，良好的学习习惯是学好高中数学的关键。许多高一新生认为只要课上认真听课，课下多做练习就足够了。因而他们缺乏以下几个方面良好的学习习惯。第一，阅读和理解的习惯。缺乏这种习惯的学生往往对课本内容比较陌生，对基础知识的理解不深刻。第二，练习和反思的习惯。有些学生不爱做练习更谈不上反思了，还有些学生练习做了很多，但缺少反思的习惯。第三，归纳和总结的习惯。很多学生忙于题海战术，不注重类型题的归纳和总结，学习效率低。

2.3对教法的建议

（1）丰富函数概念的形成过程，适当介绍函数发展历史

在我国中学的函数概念教学，在初中采用“变量说”，在高中采用“对应说”，这种安排基本上是遵循函数概念历史发展的本来顺序，也符合人们对于函数概念认识过程上的发展性、阶段性，这恰好体现了社会个体对函数的认知与人类认识函数的历史是一致的。但即便如此，学生形成和理解函数概念的水平仍旧很低。函数概念形成的曲折数学史和初中、高中、大学的数学教育相匹配，绝非是偶然的，而是数学教育与函数不断深化的必然规律。传统数学教材强调完美的逻辑，严密的推理，注重数学知识的传授，数学技能的训练，缺乏生气，学生淹没在成堆的定理、公式、法则中，使许多学生感到数学索然无味，难以引起学生的数学兴趣和学习的主动性。

（2）重视函数符号的教学和抽象逻辑思维能力的培养

函数符号的特征凝结了数学符号的特有特征：抽象性、概括性。函数符号的使用和理解，根本之处是要把握它表示的对象的内涵实质，而不是它的外在表现形式。学生对函数符号的理解是伴随这对函数概念理解的整个过程中的，而学生对函数符号语言的掌握情况是判断学生对函数概念掌握情况的有效信号。由于数学符号的抽象性，因此学生是往往会望而却步，畏惧三分，从而影响了学生学习数学的积极性。

总之，在众多研究函数教学的说明上我们认识到在函数部分教学时，应注重打好基础，对概念定义等抽象的理念要多向学生讲授，可以利用配合习题解答或证明等方式来让学生理解。不要堆积太多习题给学生，要让他们充分吸收函数知识而不是死记硬背。函数学习中要注意经典例题的讲解，通过经典例题，带动学生举一反三，摸清摸透知识点。而且通过例题的讲解，学生也比较好理解函数抽象的概念。最后就是要培养学生的自主学习能力和理解能力，每天布置适量习题，帮助巩固知识点和加深理解。通过上述论点，我认为加强学法指导，培养良好的学习习惯，多关注学生，多与学生交流，多鼓励表扬学生，以提高学生学习的自信心。教学时间上，向初中教学延伸，对初中数学知识进行适时适当的复习，这样有助于函数概念教学。

参考文献：

高等函数的概念篇（4）

在新课改理念下，教师应及时转变教学观念，“以人为本”，关注对函数教学中存在的问题，更新函数教学方法，提高函数教学效率。

一、以概念图加强函数概念教学的系统性

学习和理解函数概念是高中学生认知函数的开始，也是掌握和应用函数解题方法的基础。然而，在实际教学中，不少教师存在重应用轻理论的现象，忽视函数概念的教学。他们大多采用传统的讲授法，把概念教学当做讲解新内容时的小铺垫，一笔带过，既不联系已经学过的函数概念知识，也不引申讲解，割裂了概念与概念、概念与解题技巧之间的联系。这使得学生很难形成较深的印象，对于概念的理解也只停留在表面，在之后的解题过程中容易混淆相近的函数概念，降低做题的正确率。针对这一现象，教师如引入概念图教学方法，能引导学生思考概念的联系，提高教学的系统性。概念图（concept map）是一种用节点代表概念，连线表示概念间关系的图示法。这一方法有利于高中生建立函数的概念网络，把新旧知识联系起来，增进对函数的认识和理解，为后续学习奠定坚实基础。

如，在讲解有关值域的概念时，教师可引导学生以“值域”为核心概念，与“定义域”“映射”“集合”等相关概念进行联系理解。随着学习的不断深入，教师还应让学生在原概念图的基础上自主完善有关值域的知识：一是常见函数的值域，如y=kx（k≠0）和y=lgx的值域为R，y=■的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）等；二是常见的求值域方法，如图像法、配方法、单调性法、换元法和复合函数法等。通过运用概念图对概念等知识进行联系和深化，学生才能够更主动、更深入地理解函数的理论知识，为解题奠定坚实基础。

二、以多媒体设备提高函数解题技巧的直观性

近年来，信息技术的发展使得多媒体技术走进高中教学课堂，成为教师实施数学教学的重要途径。多媒体设备的合理运用，不仅能够调动学生的多种感官，提高他们在课堂学习中的注意力、观察力和记忆力，而且能够以动态的方式展示函数应用情景，提高学生对函数解题技巧的理解和应用能力。但是，目前仍有部分教师没有充分利用多媒体设备。这主要表现在两个方面：一是备课不充分。部分教师因信息技术水平较低或信息搜索能力不足等原因而没有在课前准备合适的教学课件、教学视频等资料，使得课上可用资源缺乏；二是对多媒体的应用停留在表面，仅仅展示解题过程而没有深入地分步解释，降低了多媒体设备的利用效率。为了提高函数教学的效率，落实新课改理念，教师应做好课前准备，提高其应用程度。

三、以合作学习提高函数教学的实践性

新课标提出，教师应丰富学生的学习方式，让他们在自主探索的过程中培养积极主动、勇于探索的精神。随着课程改革的不断落实，越来越多的教师在开展函数教学时运用活动教学模式，让学生在活动中学习函数知识。然而，由于部分教师对合作学习、探究学习等的理解并不全面，在实际教学中没有充分考虑学生的能力和学校的资源情况，把函数的有关知识生搬硬套到实践活动中，出现教学的表面化、泛滥化，甚至虚假化，降低了函数教学的效率。针对这些问题，教师应尝试促进活动教学与授受教学的相互渗透，结合函数教学的目标和内容等实际情况，在活动中融入授受教学，深化教学知识的讲解和剖析。如，在讲解有关对数函数的知识时，教师可让学生分组探究以下问题：

某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，则：（1）写出该城市人口总数x（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）。

在合作学习的过程中，教师不要过多地干预学生的探索，而应给足够的空间让他们自行探索，如在第一题中，学生可能会先求出1年后、2年后、3年后该城市人口总数，然后推导出x年后该城市人口总数为y=100×（1+1.2%）x；解答第二题时，教师可提示学生小组先列方程：

100×（1+1.2%）x=120

高等函数的概念篇（5）

一、函数概念学习困难的原因分析

教学实践表明，函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一。尽管在实际教学中采取了适当渗透、螺旋上升的方法，分段而有循环地安排函数知识，但学生的函数概念水平仍然较低。造成困难的原因主要有两个方面。

（一）函数概念本身的原因

数学发展史表明，函数概念从产生到完善，经历了漫长而曲折的过程。这不但因为函数概念系统复杂、涉及因素众多，更重要的是伴随着函数概念的不断发展，数学思维方式也发生了重要转折：思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图、表语言之间可以灵活转换。

1.“变量”概念的复杂性和辩证性

函数涉及较多的子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则，等。其中，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。有的教师将“变量”解释为“变化的量”，显然这是同义反复，于学生理解“变量”的意义并没有帮助。实际上，“变量”的关键在于“变”，而“变”在现实中与时、空相关，但数学中对时、空是没有定义的。

2.函数概念表示方式的多样性

函数概念表示的多样性，一方面表现在定义域、值域表示的多样性，可以用集合、区间、不等式等不同形式表示；另一方面表现在它可以用图像、表格、对应、解析式等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来。

3.函数符号的抽象性

y＝f(x)表示了一种特殊的对应关系，其中每一个字母都有特定的含义。但这种含义仅从字面上是看不出的。我们不能通过“f”来想象对应法则的具体内容，也不能通过x（或y）来想象定义域（或值域）到底是什么。这种抽象性大大增加了函数学习的难度。

（二）学生思维发展水平方面的原因

心理学认为，学生掌握概念的一般特点是：概念的识别优于概念特征的说明，概念外延的掌握优于概念内涵的掌握。对概念内涵的掌握，取决于概念本质特征的多少以及它们之间的关系。

二、函数概念的教学

（一）重视函数概念的形成过程

函数概念产生于研究变量之间关系的需要，函数是描述数学和现实问题的有效工具。学生已有经验中存在许多可以用以说明函数产生过程的实例。例如：考察多边形的边数与内角和之间的关系，可以用列表的方式来组织信息：

边数 3、4、 5 、6、 7

内角和 180°、360°、540°、720°、900°

通过引导学生对表格进行观察，有的学生会注意到，边数每增加1，内角和增加180°；通过归纳，有的学生会猜测到边数与内角和之间存在下列关系：S-n＝180°(n－2)。这是一个一次函数。这个过程可以使学生建立起对变量之间变化关系的直观感受，这对理解函数概念是很重要的。

（二）重视对变量概念的理解

“变量”是函数概念的核心，但发展学生对变量概念的理解需要一个较长的过程。在学习函数概念之前，学生从代数式、方程等内容的学习中获得了关于变量的一定理解。例如，他们已学会解一元一次、二次方程及不等式，二元一次方程组；能够作形如的恒等变形；会使用公式S＝πr2求圆的面积；另外，通过解二元一次方程，他们体验到对于方程y＝2x＋1，可以有无数多个有序数对（x，y）满足它，等等。这些是学生学习“变量”概念的基础。教师应当以此为基础，使学生认识“变量可以在某种约束条件下取不同的值”，以及在这个约束条件下变量之间的对应关系，从而发展学生的变量概念。

（三）重视不同表示方式之间的转换

通常，在人们头脑中，函数的表示主要使用解析式，但实际上各种表示（语言的、图像的、表格的、符号的）之间的相互转换，可以加深学生对函数概念的理解。

（四）重视函数概念的实际应用

抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解。在数学内部，可以通过用函数性质比较大小、求解方程、求解不等式、证明不等式等活动，深化对函数概念的理解。

（五）要把握函数的实质

17世纪初期，笛卡尔在引入变量概念之后，就有了函数的思想，把函数一词用作数学术语的是莱布尼兹，欧拉在1734年首次用f(x)作为函数符号。关于函数概念有“变量说”、“对应说”、“集合说”等。变量说的定义是：设x、y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围内变化时，变量y按一定规律随x的变化而变化。我们称x为自变量，变量y叫变量x的函数，记作y=f(x)。初中教材中的定义为：如果在某个变化过程中有两个变量x、y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值与之对应，那么y就是x的函数，x叫自变量，x的取值范围叫函数的定义域，和x的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域。它的优点是自然、形像和直观、通俗地描述了变化，它致命的弊端就是对函数的实质——对应缺少充分地刻画，以致不能明确函数是x、y双方变化的总体，却把y定义成x的函数，这与函数是反映变量间的关系相悖，究竟函数是指f ，还是f(x)，还是y=f(x)?使学生不易区别三者的关系。

灵活的构想独特巧妙，数形结合思想得到充分体现。教学中注重学生解题思路的独特性、新颖性的肯定和提倡，充分给予尝试、探索的机会，以活跃思维、发展个性。

几年来，所教学生在经过有目的的培养后，思维品质都有了很大的提高。相应的，学生的学习质量也有了很大提高。许多学生进入大学、甚至走上工作岗位后，常常来信谈及虽然数学知识有许多已经遗忘，但老师教的数学思维方式却常令他们在工作、学习、生活中得益不少。随着课程教材改革的推进，突出思维品质的培养已成为广大教师和教育工作者的共识。我将继续探索下去，以求获得更多的教育理论与教育方法。

高等函数的概念篇（6）

1、APOS理论研究综述

APOS理论起源于杜宾斯基（E.Dubinskv）试图对皮亚杰的数学学习的“自反抽象”理论进行拓展的一种尝试。

APOS理论分别是由英文action（操作）、process（过程）、object耐象）和scheme（图式）的第一个字母所组合而成，也是APOS理论的四阶段模型。这种理论认为，在数学教学中，如果引导个体经过思维的操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组成图式，从而理清问题情景，顺利解决问题，这就是APOS理论。

目前APOS理论在国外比较盛行，已经在很多方面得到了广泛的应用，诸如：函数概念，包括由Marilyncarlsom，Dubinskv，Guer-shonharel等人所做的研究；抽象代数问题，包括由Dubinsky，而Leron以及由Rumec中部分成员所做的工作；离散数学问题，如数学演绎、置换、对称以及表示存在和所有的量词；微积分问题；统计学中的问题。

2、新课程下高中函数概念的教学

高中函数概念教学应达到的目标：理解并真正掌握用集合的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数中的作用；将函数作为一般对象去进行研究或实施演算，完成函数概念的对象化并逐渐形成函数概念较为完整的图式，从而在深层次上理解函数（重在理解函数思想）。

3、APOS理论对函数概念教学的应用

第一，注重函数概念的现实背景和数学活动的开展。在学习数学概念时，APOS理论强调学生首先需要处理的数学问题应具有丰富的社会现实背景，并认为概念的理解始于活动。因此，在进行函数概念的教学时，教师应注意概念产生的现实背景，精心组织学生开展数学活动，让学生通过活动来获得对概念的初步认识。

普通高中数学课程标准实验教科书·数学·必修I（A版），在函数的概念一节中安排了三个实例：（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度^（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：h=130t-5t2。这个例子可以让学生体会炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=｛t/0≤f≤26｝，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B=｛h/O≤h≤845｝。（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题（图2）。

根据图中曲线可知，时间f的变化范围是数集A=｛t／1979≤t≤2001｝，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集B=｛s/O≤s≤26｝。（3）“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况（表1所示）。

根据上表，可知时间t的变化范围是数集A=｛t／1991≤f≤2001，t∈N*｝，恩格尔系数y的变化范围是数集B=｛y/37.9≤y≤53.8｝。这三个例子，特别是后面两个不但贴近学生的生活实际，而且让学生通过对其语言描述与演算，从中抽象出数量关系。第二，重视函数概念的形成过程。APOS理论指出，个体是在“过程”中对“活动”进行反省抽象，发现概念的本质属性。由此出发，学生在函数概念学习的过程中，不但要给予他们实例，而且也要应引导学生去分析、归纳实例。而在此时，适当的引导学生思考：对于数集中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应。记作f：AB。从而就可以试图让学生用集合与对应的语言刻画函数，抽象概括出函数的概念。

第三，重视函数概念的对象化。APOS理论强调，只有当个体能够把概念形成的过程视作一个新的对象，并进行研究或灵活运用时，一个完整的理解才算真正成型。对函数概念而言，它只有在学习者头脑中呈现出“过程——对象”一体化时，才算真正形成。因此，为了让学生能够更好的理解函数概念，须让学生做到以下两方面：一是研究函数的表示方法，即是从定义域内任取一个值，唯一得到一个函数值，对应地只能描出一个点，这使得学生可以很容易地把握对应关系的特点；同时让学生绘制函数图像，这种方法使学生在函数的不同表示方法之间进行转换，丰富了学生对概念的认识以及研究函数的性质。二是通过对函数实施高层次的演算，让函数概念在学生的头脑中真正实现对象化。

高等函数的概念篇（7）

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2012）10-0179-03

一、高中数学教学函数内容的变化

函数教学是贯穿高中数学教学的一条主线，知识点多，覆盖面广，思想丰富，容易与其他知识建立联系，综合性强，每年高考有关函数问题的考查都占有相当大的比例。近两年，高中数学教学贯彻《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》），并按要求实施教学改革，函数内容的安排较以往有了一些变化。

1.对部分作了内容强化。①强化了函数模型的背景和应用的要求。函数概念的教学要求以实际背景和定义两个方面引导或帮助学生理解，在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解。指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别――更侧重于指数型函数与对数型函数的教学。②强化了分段函数的教学，要求能简单应用分段函数。③强化了知识之间的联系。《标准》要求结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的关系；根据具体函数的图像，加强对数形结合、几何直观等数学思想方法学习的要求。

2.削弱了部分内容。①削弱了对定义域、值域过于繁难的，弱化一些人为的过于技巧化的训练。②削弱了对反函数概念的理解，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不要求一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。

3.增加了部分内容。增加了幂函数（y=x，y=x2，y=x3，y=■，y=x ）；函数与方程；函数模型及其运用。要求引导学生在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深对函数概念的理解。

二、2010、2011年高考数学全国大纲卷、课标卷函数类试题的比较及特点分析

通过比较，我们发现，近两年高考数学命题关于函数内容有以下特点：

1.覆盖率高。近两年的高考题，涉及到了函数的所有知识点，试题不强调知识的覆盖率，但函数知识的覆盖率始终没有减少。

2.层次性多。容易题、中等难度题和难题中都出现有函数题，其形式多为选择题和解答题。容易题一般涉及函数本身内容，对能力的要求不高；中等难度和较难题多为综合程度较大的问题，大多为函数与其他知识联系，多种方法互相渗透。

3.综合性强。为了突出函数在中学数学中的重要地位，近年来高考强化了函数对其他知识的渗透，加大了以函数为载体，多种方法、多种能力的综合程度，特别是函数、导数及其知识的综合应用。

4.角度、方式新颖。函数试题设置问题的角度和方式不断创新。重视函数与方程、数形结合、分类讨论等数学思想与方法的考查。由于函数类型较多，概念、公式较多，综合性较强，使函数考题新颖、生动、灵活。

这些特点及变化，体现了《标准》“不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”的思想。

三、对高中数学课程中函数教学的建议

科学的教学，是培养学生数学思维能力、提高学生数学水平的有效途径，也是实现素质教育目的重要手段，为使高中数学函数教学更好地与《标准》对接，增强学生对函数的理解能力，进一步提高学生的数学思维能力与思维水平，我们有必要对教学方式与手段进行改进。

1.重视整体规划，分步实施。学生在数学学习过程中第一次遇到的最具有一般性的抽象概念是函数。教学实践证明，学生对函数概念的理解是一个由模糊到逐渐清晰的过程，对函数概念的理解需要一定的时间，积累一定的经验，由教师引导学生反复感知，增加感知频率，才能逐步理解，达到熟练掌握灵活运用的程度。面对这一教学任务，教师应当作好教学规划，分解教学目标与任务，对函数教学进程进行科学设计，细化各学段的学习内容，指导学生在运用中学习函数，在实践中不断理解函数思想。

2. 重视建构函数模型。《标准》明确：“学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型过程的方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。”

在高中函数教学时，教师要引导学生进行函数建模活动，将一些基本函数模型建构在学生心中，打牢学习函数、理解函数和解决其他函数问题的基础，可以起到事半功倍的作用。教学中，教师可以引导学生学习掌握一些关键知识，以起到四两拨千斤的作用。比如，学习并知晓函数模型的具体背景，用实际背景视角理解函数概念；可以借助几何研究函数的基本变化规律；还可以用代数分析优势帮助学生把握函数的变化。帮助学生在脑中建构起一批典型而具体的函数模型，就可以逐步实现对函数本质的理解，长期学习与实践，灵活运用函数思考和解决问题的目标也就能够达到。

3. 重视引导学生理解函数与其他内容的内在联系。按照教材的编排体例及教学内容安排，函数贯穿于整个高中数学课程中。从《标准》目标设定可以看出，函数思想非常突出地体现在方程、不等式、数列、线性规划、算法、随机变量等数学内容中。

高等函数的概念篇（8）

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）06-0130-02

1.概念课型的界定

数学概念课型是以“事实学习”为中心内容的课型。该课型体现学生的学习活动是在进行“代表学习”和“概念学习”。通过“概念学习”，把作为新知识中的概念，正确地初步地转化为学生自身认知结构的概念体系里的概念。通过“代表学习”，对概念的文字、语言叙述或概念的定义能初步理解，掌握这些数学概念所对应的数学符号及这些符号的书写、使用方法。初步了解由这些数学符号组成的语言含义，并能初步把它转译成一般语言。

2.高中数学概念课的核心任务与教学定位

2.1高中数学概念课的核心任务

高中数学概念课教学的核心任务是对数学对象的抽象概括。

正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵――对象的“质”的特征，及其外延――对象的“量”的范围。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。但在这之前，有一个通过实例、练习及口头描述来理解的阶段。比如，儿童对自然数，对运算结果――和、差、积、商的理解，就是如此。到小学高年级，开始出现以文字表达一个数学概念，即定义的方式，如分数、比例等。有些数学概念要经过长期的酝酿，最后才以定义的形式表达，如函数、极限等。定义是准确地表达数学概念的方式。

许多数学概念需要用数学符号来表示。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，对学生理解和形成数学概念起着极大的作用，它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化了。许多数学概念的定义就是用数学符号来表达，从而增强了科学性。

许多数学概念还需要用图形来表示。有些数学概念本身就是图形，如平行四边形、棱锥、双曲线等。有些数学概念可以用图形来表示，比如基本初等函数的图像等。有些数学概念具有几何意义，如函数的导数。数形结合是表达数学概念的又一独特方式，它把数学概念形象化、数量化了。

总之，数学概念是在人类历史发展过程中，逐步形成和发展的。学生对数学概念的学习，应有一个抽象概括的过程，从文字语言、符号语言及图形语言等不同角度抽取概念本质属性，在准确把握概念外延的基础上，形成清晰的学习数学知识结构的认识。

2.2高中数学概念课的教学定位

数学概念课的教学中应引导学生经历从具体实例抽象概括出数学概念的过程，经历对实际背景的感知与抽象、概括的过程。

（1）对每一个数学概念，都应该准确地给它下定义。对一些基本（原始）概念，不宜定义的也应给予清晰准确的“描述”。通过给概念下定义的教学，让学生从定义的表达形式及逻辑思维中去领会该事物与其它事物的根本区别。并注意对同一概念的下定义的不同方案，从而深化对概念的理解。

（2）对概念（定义）的理解必须克服形式主义。课内应通过大量的正、反实例，变式等，反复地让学生进行分析、比较、鉴别、归纳，使之与邻近概念不至混淆，并要解决好新旧概念的相互干扰。

（3）概念教学还必须认真解决“语言文字”与“数学符号、式子”之间的互译问题，为以后在数、式运算中应用数学概念指导运算打下基础。使学生把代表某一概念的数学符号与概念内涵直接挂钩。

（4）克服学生普遍存在的“学数学只管计算，何必花时间学概念”之类的错误认识。重视概念课教学的启发性和艺术性，重视创设情境，激发学习兴趣，引导学生对概念学习的高度重视。同时应采用多种形式的训练（如选择答案、填空、变式等），从多个侧面去加深对概念的理解与应用。

3.高中数学概念课课型分析

课型1：从整体背景到局部知识的结构教学（以《集合的含义与表示》为例）

（1）背景引入――介绍数学对象的相关背景。

介绍集合论及其发展过程的相关背景。

（2）材料感知――借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念。

问题1：我们学习过哪些集合？

问题2：你能再举出一些集合的例子吗？

教师引导学生回忆、举例，并对学生活动进行评价。

（3）分类辨析――以实例为载体分析关键词的含义（使用反例，鼓励学生大量举例）。

问题3：你能说出你所举例子的特点吗？

教师引导学生独立思考，举出一些能够构成集合及不能构成集合的例子，概括所举例子的特点。如果学生仍不能有效地提炼出集合的三个基本特征，教师可以作如下的提示：“请所有的男同学站起来；请所有的高个子站起来”，以此来帮助学生理解集合的“确定性”。

（4）提炼本质――提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括不同例证的共同特征。

问题4：你能概括出所举例子所具有的共同特征吗？

师生共同概括所举例子的特征，得出结论。

（5）抽象命名――概念的明确与表示：下定义，给出准确的数学语言描述，即把实际问题数学化（文字的、符号的）。

引导学生抽象概括出集合的含义及集合中元素的特征――确定性、互异性、无序性。

（6）巩固应用――用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤。

问题5：我们可以从哪些角度来研究集合？

学生阅读教科书，自己尝试整理相关的知识内容，归纳出元素与集合的关系，常用数集的记号以及表示集合的三种方法：自然语言、集合语言（列举法或描述法）及图形语言。

（7）概念的“精致”――纳入概念系统，建立与相关概念的联系。

课本例1与例2；课本第5页练习1，2。

学生独立思考，解决问题，全班交流讨论，教师析疑。

除集合外，以上教学流程适用于一般数学对象的抽象概括，如命题、向量、数（复数）、数列（包括等差数列、等比数列）、角、事件等，它们具有相同的学习“基本套路”，即按“背景――概念――表示――分类――性质（关系及运算）――应用”展开。

课型2：从上位概念到下位概念的结构教学（以《不等关系与不等式》为例）

（1）背景引入――提供一些学生感兴趣和富有时代感的素材。

问题1：如图抛物线中，试找出相关的不等关系。

（2）概念形成――让学生自己举例或提供大量材料，引导学生对这些材料进行辨析，学会透过表面现象发现它们的本质特点，形成上位概念。

问题2：数学和日常生活中存在大量不等关系，你能举出一些含有不等关系的例子吗？

学生每人至少各举一个数学及日常生活中的例子并在小组交流，独立归纳概括出不等式（组）的概念。

（3）辨析比较――教师要注意引导学生在比较中辨析和体会哪种分类更合理、更准确，并注意特殊情况的研究和思考。

问题3：你能对以上所举例子进行分类吗？

第一层次：独立进行分类，并以小组为单位对不同分类标准的合理性进行讨论。

第二层次：全班进行交流和讨论。

教师引导学生在比较中辨析和体会哪个分类更合理、更准确，并注意特殊情况的研究和思考。

（4）抽象命名――引导学生根据各种分类结果的本质特点，对各种关系进行命名，从而得到下位概念的各种类型。

提炼出不等式的概念，并对不等式进行分类。

根据字母所在位置进行分类：整式不等式，分式不等式，无理不等式，……

在整式不等式中，根据字母的个数进行分类：一元不等式，二元不等式，……；根据字母的次数进行分类：一次不等式，二次不等式，……

在此基础上，学生说出一元一次不等式、一元二次不等式及二元一次不等式的概念及形式，以及不等式组的概念，并能举例加以说明。

（5）巩固应用――用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤。

问题探究（课本素材）

（6）整体认识――从整体上认识与概念相关知识内容及研究套路。

教师引导学生回顾之前学习过的方程（等式）的知识内容，如等式的性质，一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程等，梳理相关知识结构。

类比方程（等式）的相关内容，构建不等式的知识网络。

课型3：探索数学对象运动变化的规律（以《函数的概念》为例）

（1）概念的引入――通过复习回顾或日常生活中的实例引入概念，学生经历材料感知的基础上初步认识概念。

问题1：函数的概念是什么？我们已经学习过哪些函数？

提出问题引导学生思考，通过对一些基本初等函数，如正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数等的认识，揭示函数是用于描述变量之间依赖关系的模型。

（2）概念的形成――引导学生从数学活动或数学实例中概括出概念的本质。

问题2：y=1是函数吗？y=x与y=■是同一个函数吗？

展示课本三个实例并提问：

问题3：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？三个实例变量之间有什么共同点？

（3）概括概念――学生尝试给概念下定义，在小组交流、全班研讨中不断完善对概念的精确描述。

问题4：你还能举出一些相关的例子吗？你能归纳概括出一般结论吗？

除了课本中的三个实例，让学生大量举例（可以是已经学习过的基本初等函数），通过聚类分析提炼抽象本质属性，获得函数概念。

（4）理解概念――从概念的内涵与处延、概念的要素理解概念。

问题5：我们可以从哪些方面理解函数的定义？

引导学生明确以下几点：①函数的要素：定义域、值域和对应关系。②函数的表示法：解析式、图象、表格。③函数记号y=f（x）的内涵。

（5）应用概念――用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤。

问题6：初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？

提出问题，引导学生思考，启发学生利用表格对一次函数、二次函数、反比例函数的要素进行归纳与类比，并可利用信息技术工具（几何画板）画出函数的图像帮助理解上述函数的三个要素。

（6）形成认知――归纳总结概念的形成过程，概括应用概念解决问题的方法步骤。

问题7：你对“函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型”这句话有什么体会？构成函数的要素有哪些？你能举出生活中一些函数的例子吗？

高等函数的概念篇（9）

2.数学概念是数学学科体系的基本内容

先来明白什么是概念？从广义上说，概念是对客观事物的本质属性加以反映的思维形式。人们在认识客观现实过程中，从感觉到的事物共同特征中抽象出本质属性而形成概念。例如："人"这个概念，抽象出人的本质属性"能制造工具并使用工具进行劳动"之后，就得出了"人"的概念，"人是能制造工具并使用工具进行劳动的高等动物"。什么是数学概念呢？数学概念就是现实世界中某类事物的空间形式和数量关系及其特有的属性（或本质属性）在思维中的反映。例如，2013年6月第2版的中职数学课本（数学基础模块上册P44）的函数定义虽然叙述得很长，但是，"函数"的本质属性分开来说就是两点：①在一个变化过程中有两个变量X和Y，其中变量X在它的取值范围数集D内先变化大小。②对于数集D中的每一个X值，按照某个确定的对应法则f，都对应着一个Y值。符合这两点要求的Y就是自变量X的函数。一个数学概念既是对前面知识的总结，又是新知识的出发的。例如，得出函数概念之后，对函数值Y因自变量X的变化而变化作进一步研究，就发现了许多的函数性质而得出一系列的数学概念：函数的增减性、奇偶性、周期性等等。从小学数学到中职数学的概念超过一千个，以数学概念为出发点展开形成了数学的全部内容，数学概念是数学学科体系的基本内容，没有数学概念便没有数学这门学科。数学中研究的任何对象都是从对象的概念形成开始的，并以此为出发点研究对象的判定和性质。所有定理、法则的逻辑推导，都是以概念为基础的。理解数学概念不仅是掌握数学知识的前提，同时还是学习其它一些学科所必需的。例如，比例、坐标系等概念广泛应用于物理、化学、天文、测量等科学技术之中。学生理解了数学概念就有了自我学習数学的基础，就会提高学习兴趣并能跳出题海。而且学生在理解数学概念的过程中，还能形成解决问题的数学思想方法。可见，重视数学概念教学就是重视素质教育，抓好数学概念教学就是提高中职生素质。中国科学院数学与系统科学研究院研究员李邦河院士说过：数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！

3.数学概念的特点和中职生的学习情况

由于数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式，它是排除了这类事物对象的具体物质内容（如重量、颜色、气味等）之后的抽象，所以数学概念具有高度的概括性和抽象性，而且有的数学概念是在原有数学概念基础上进一步概括形成的。例如，函数概念是在原有的概念"变量"、"集合"、"对应"的基础上形成的。低抽象度概念一般可以看作高抽象度概念的具体模型，可见，数学概念的抽象程度、概括程度还表现出层次性，这就给中职生学习数学概念造成较大的困难。而且数学是一门知识连贯性特别强的学科，前面基础知识的学习必然会影响后面内容的学习，可是，中职生的数学基础知识普遍较差，主要原因就是没有理解过去学的基本数学概念。

4.以例探讨进行中职数学概念教学

高等函数的概念篇（10）

1.高中数学概念的特点和重要性

1.1高中数学概念的特点

高中数学与概念能够将事物间的数量关系以及空间属性客观地反映出来。数学概念是数学事物的本质属性，，具有鲜明的概括性，当学生掌握了数学概念就意味着学生对数学知识能从感性概念上升到理性认识。高中概念是具体与抽象性的统一，每个数学概念都是有具体的内容组合而成的。相对于其他学段的数学概念而言，高中阶段的数学概念具有更好的统一性，数学是抽象中的抽象，很多新学习的数学概念都是以原有的数学概念为基础的，并且原有的数学概念会嵌入到新的数学概念中，最终达到高中数学概念的统一性。

1.2高中数学概念学习的重要性

新课程标准强调，在数学学习过程中，学生要熟练掌握数学概念，对数学的基本思想与核心概念有充分地了解，将其融入到数学学习中，从而加深学生对数学知识理解的深度。学生想要学好数学知识，首先要掌握数学概念，这是学习数学基础知识的首要环节。学生数学素养不同主要因为学生对数学概念的理解和应用存在着差异性，而学好数学概念有利于提升学生的数学素养，加深?W生对知识的理解，从而提高高中数学教学质量。

2.高中数学概念的具体教学方法

2.1借助多媒体吸引学生学习，帮助学生理解本质属性

教师在展开数学概念教学时可以适当地借助多媒体设备，因为高中数学概念的抽象性更强。仅通过教师文字讲解不能起到良好的效果，学生依旧很难理解数学相关概念。因此，教师要适当地采用多媒体，利用图片的直观性进行概念讲解，让学生掌握数学概念。如：在讲解抛物线这些知识，教师可以采用多媒体播放篮球、羽毛球以及抛物的运动轨迹给学生看，让学生对抛物线有个更深层次的理解，从而掌握抛物线的概念。

同时，在进行数学概念教学时，教师要让学生明确本质属性，使学生掌握概念的实质意义。如，在学习“函数”概念时，教师可以利用学生先前学过的映射知识点基础上去学习新知识。学生对定义域、值域以及对应的图像与发展进行明确，这些都属于概念的本质属性，函数也存在相同的属性。学生学习数学都要以数学概念为基础，如：对实数集进行判断时，y=，实际上x=0时没有确定的y值对应，这和映射概念中的x可以去任意值不相符，因此，该函数表达式不属于实数范围内，通过这样的方式能有效地掌握数学概念本质属性。帮助学生更好地掌握数学概念。

2.2引导学生认清数学概念中的逻辑关系

在数学教学过程中，教师进行数学概念讲解主要通过知识间的联系性帮助学生理解知识。数学概念不仅有具体的联系，其内部还存在着逻辑关系，所以，教师在讲解数学概念时要善于掌握数学知识间的内在联系，遵循由易到难的讲课顺序，如果，教师一开始就讲解较难的数学概念，学生理解起来会比较困难，会打击学生学习的积极性。因此，教师在讲解数学概念时，要抓住数学概念的内在联系性，由易到难讲解。如：在讲解“等比数列”知识点时，等比数列与等差数列存在着联系，教师可以先复习等差数列，然后引入等比数列概念教学。通过两者之间的比较与联系，加深学生对两个概念的印象。

2.3使学生能够准确地理解数学概念的内涵

高等函数的概念篇（11）

一、函数内容处理方式的分析

1、强调函数背景及对其本质的理解。

无论是引入函数概念，还是学习三类函数模型，课程标准都要求充分展现函数的背景，从具体实例进入知识的学习。以往教材中，将函数作为一种特殊的映射，学生对于函数概念的理解建立在对映射概念理解的基础上。学生既要面对同时出现的几个抽象概念：对应、映射、函数，还要理清它们之间的关系。实践表明，在高中学生的认知发展水平上，理解这些抽象概念及其相互之间的关系存在很大困难。而从函数的现实背景实例出发，加强概念的概括过程，更有利于学生建立函数概念。一方面，丰富的实例既是概念的背景又是理解抽象概念的具体例证；另一方面，在实例营造的问题情境下，学生能充分经历抽象概括的过程，理解概念内涵。

2、加强函数思想方法的应用。

函数是刻画现实世界变化规律的重要数学模型。因此，函数在现实世界中有着广泛的应用。加强函数的应用，既突出函数模型的思想，又提供了更多的应用载体，使抽象的函数概念有更多的具体内容支撑。比如，新增加的内容“不同函数模型的增长”和“二分法”，前者通过比较函数模型的增长差异，使学生能够更深刻地把握不同函数模型的特点，在面对简单实际问题时，能根据它们的特点选择或建立恰当的函数模型反映实际问题中变量间的依赖关系；后者充分体现了函数与方程之间的联系，它是运用函数观点解决方程近似解问题的方法之一，通过二分法的学习，能使学生加深对函数概念本质的理解，学会用函数的观点看待和解决问题，逐渐形成在不同知识间建立联系的意识。

二、函数内容教学中的几个关键问题

1、如何选择生活实例。

无论是加强概念背景，还是突出知识的联系与应用，能达到很好效果的重要因素就是要选择合适的实例。那么，如何选择实例才能有助于学生的学习呢？对于起到不同作用的背景实例和应用实例，标准并不完全相同。但总的来说，一是实例的背景知识应该尽量简单，这样可以避免因背景的复杂性而影响对数学知识本身的理解；二是实例应丰富，这样有利于全面、准确地理解知识，不会产生偏差；三是实例应贴近学生生活、具有一定的时代性，这样才会引起学生的共鸣，激发学习的兴趣。比如，介绍函蹈拍钍保教材选择了用解析式表示炮弹飞行的问题、用图象表示南极臭氧空洞的问题、用表格表示恩格尔系数的问题，第一个问题是学生在物理中就很熟悉的，后两个问题是日常生活中经常提及的，背景相对来说比较简单，学生就不会因为需要了解过多的背景知识而冲淡对函数概念的学习。而且重要的是，这样的三个问题包括了不同的函数表现形式，利用它们概括函数概念，就可以消除初中学习中可能存在的一些认识偏差，使学生认识到无论表示形式如何，只要对于每一个x，都有一个y与之对应，就是函数，而这正是函数的本质特征。再如，根据汽车票价制定规则写出票价和里程间的解析式，并利用解析式为售票员制作出我们在汽车上经常看到的“阶梯形票价表”这类问题，贴近学生生活并具有现实的应用价值，能引发学生的兴趣和学习的积极性。

2、如何展开函数概念。

对于突破函数概念这个难点，可以在整段函数内容的学习中采用显化过程、加强联系的方法。那么具体地，在从三个方向巩固函数概念理解时，如何展开像函数的单调性、二分法这些概念，才能让学生掌握它们，从而达到巩固理解函数概念的目的呢？函数的性质就是研究函数的变化规律，这种规律最直观的获得来自于图象，图象的上升、下降就是单调性。问题在于如何帮助学生从几何直观上升到严格的数学定义。同样地，二分法也需要经历一个由直观认识到数学定义的过程。为此，就需要将直观到严格数学定义的过程划分成几个层次，为学生搭建认识的台阶，使他们逐步地获得概念。比如，介绍函数单调性时，首先给出一次函数和二次函数的图象，观察它们的图象特征，即上升或下降；然后用问题“如何描述函数图象的‘上升’‘下降’呢”引导学生用自然语言描述出图象特征；最后思考“如何利用解析式f（x）=x2描述‘随着x的增大，相应的f（x）随着减小’……”，将自然语言的描述转化成数学符号语言的描述，并一般化得到单调性的数学定义。通过这样的三步，利用数形结合的方法展开单调性的概念，既有助于学生通过自己的努力获得概念，而且也从数和形两个方面理解了概念。